例談?dòng)谩巴恕钡乃枷朐O(shè)計(jì)解題教學(xué)

肖文軍

【摘要】：“問題”是數(shù)學(xué)教學(xué)的心臟。解題教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心之一，是落實(shí)新課程標(biāo)準(zhǔn)的顯性標(biāo)志，如何提高學(xué)生解題能力是數(shù)學(xué)課堂的主要任務(wù)。本文通過具體課例說明如何采用“退”的思想，稚化問題起點(diǎn)，通過逐步“疊加”的方式體現(xiàn)數(shù)學(xué)之間的內(nèi)在聯(lián)系，點(diǎn)燃學(xué)生思維的火花，激發(fā)求知欲，提高解題能力，使得數(shù)學(xué)解題教學(xué)扎實(shí)高效。

【關(guān)鍵詞】：問題設(shè)計(jì) “退”的思想

一、從復(fù)雜問題“退”到簡單問題

復(fù)雜問題有時(shí)是簡單問題的疊加，即條件不斷增加構(gòu)成，我反其道行之，將問題“退”到比較容易入手的問題進(jìn)行分析，再逐步向復(fù)雜問題過渡。

本學(xué)期，我上八年級，教《一次函數(shù)》這個(gè)章節(jié)時(shí)，一次備課，我做題、選題時(shí)發(fā)現(xiàn)了這樣一個(gè)問題：

問題呈現(xiàn)（2014四川內(nèi)江）如圖，已知A1、A2、A3、…、An、An+1是x軸上的點(diǎn)，且OA1=A1A2=A2A3=…=AnAn+1=1，分別過點(diǎn)A1、A2、A3、…、An、An+1作x軸的垂線交直線y=2x于點(diǎn)B1、B2、B3、…、Bn、Bn+1，連接A1B2、B1A2、B2A3、…、AnBn+1、BnAn+1，依次相交于點(diǎn)P1、P2、P3、…、Pn.△A1B1P1、△A2B2P2、△AnBnPn的面積依次記為S1、S2、S3、…、Sn，則Sn為__________.

問題分析：這是2014年四川內(nèi)江中考題選擇題的壓軸題，圖形復(fù)雜，計(jì)算量大，如果直接給學(xué)生做，以我校學(xué)生的基礎(chǔ)和能力，能把題目看懂都很不錯(cuò)了。我考慮到這是一次函數(shù)與面積的綜合題，解題思路和方法使用比較多，于是按照由復(fù)雜“退”到簡單的思想，進(jìn)行了如下教學(xué)設(shè)計(jì)：

1、如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A1在x軸上，OA1 =1，過A1

作x軸的垂線交直線y=2x于點(diǎn)B1，求△A1B1O的面積。

2、如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A1在x軸上，OA1= A1A2=1，分別過點(diǎn)A1、A2作x軸的垂線交直線y=2x于點(diǎn)B1、B2，連接A1B2、B1A2相交于點(diǎn)P1，求（1）點(diǎn)P1的坐標(biāo)，（2）求△A1B1P1的面積？

設(shè)計(jì)說明：先將圖形變?yōu)樽罨镜腞t△A1B1O的面積，將n個(gè)點(diǎn)變?yōu)?個(gè)點(diǎn)，將問題“退”到最起點(diǎn)（如圖1）。在圖1在基礎(chǔ)上，疊加新的條件，逐步向要達(dá)成的目標(biāo)過渡，為了更準(zhǔn)確的提示學(xué)生，特別加上了求點(diǎn)P1的坐標(biāo)這一個(gè)小問，使得問題再次被“退”到更底的臺(tái)階。

教后反思：學(xué)生在經(jīng)歷了1、2兩個(gè)小題的探究學(xué)習(xí)后，學(xué)會(huì)了解決問題的方法。達(dá)到了克服難題恐懼心理的情感目標(biāo)，可以讓更多的學(xué)生收獲成就感，為促進(jìn)學(xué)生的進(jìn)一步發(fā)展奠定了基礎(chǔ)。

二、 從一般位置“退”到特殊位置

特殊圖形具有特殊的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，在解決有關(guān)動(dòng)點(diǎn)的問題時(shí)，經(jīng)常需要從特殊圖形入手，利用特殊圖形蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系去尋找解題的思路與方法。

問題呈現(xiàn)：如圖3，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，點(diǎn)P是邊AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P分別向?qū)蔷€AC，BD作垂線，垂足分別為E、F.求PE+PF的值.

問題分析：從結(jié)論分析，這是要求點(diǎn)到直線的距離的和的問題，點(diǎn)P的位置又不是特殊的位置，學(xué)生很難直接求解。但考慮到P是動(dòng)點(diǎn)，所以可以將點(diǎn)P的位置特殊化。于是按照由一般“退”到特殊的思想，進(jìn)行了如下教學(xué)設(shè)計(jì)：

1、如圖4，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，過點(diǎn)D向?qū)蔷€AC，BD作垂線，垂足為G.求DG的值.

設(shè)計(jì)說明：將點(diǎn)P的位置“退”矩形ABCD的頂點(diǎn)D后，問題由兩條線段的和“退”為一條線段的長，解題方法也凸顯——等積法。為我們找到一般解法提供了思路，即在圖3中連接P和對角線的交點(diǎn)O。

課堂收獲：學(xué)生在經(jīng)歷了矩形中的問題后，化“退”為“進(jìn)”提出了這樣的新問題：

問題1、如圖5，在□ABCD中，對角線AC⊥AB，AB=3，AD=4，點(diǎn)P是邊AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P分別向?qū)蔷€AC，BD作垂線，垂足分別為E、F.求PE+PF的值.

問題2、如圖6，在菱形ABCD中，∠ABC=60°， AD=4，點(diǎn)P是邊AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P分別向?qū)蔷€AC，BD作垂線，垂足分別為E、F.求PE+PF的值.

正方形、梯形呢？還有類似的圖形、結(jié)論、解法嗎？留給學(xué)生課后繼續(xù)拓展。

教后反思：我們將問題“退”到最基本圖形、最核心的方法后，學(xué)生不僅收獲了這個(gè)題目的解法，還創(chuàng)造性的提出了這個(gè)問題在特殊四邊形的系列化問題，產(chǎn)生一個(gè)個(gè)既類似又有區(qū)別的問題，將之作為師生講練的載體和思維雙向交流、演繹的基礎(chǔ)，通過這一“退”，即復(fù)習(xí)了知識(shí)點(diǎn)又提高了學(xué)生的思維能力。

三、用“退”的思想設(shè)計(jì)解題教學(xué)的感悟

1、積累解題方法

“退”的思想，是一種思考解題教學(xué)設(shè)計(jì)的方法，什么樣的問題值得“退”?！巴恕钡绞裁闯潭龋芊耋w現(xiàn)方法。是否具有推廣意義。都是今后在教學(xué)實(shí)踐中值得繼續(xù)思考的問題。像問題2這樣，一種方法解決多個(gè)類似圖形的問題，這樣可以有效構(gòu)建知識(shí)之間的體系，將特殊四邊形，等積法，勾股定理等知識(shí)一次性復(fù)習(xí)到位，提升了解題教學(xué)的效能。

2、避免題海戰(zhàn)術(shù)

避免題海戰(zhàn)術(shù)的最好方法就是進(jìn)行問題串設(shè)計(jì)：我在執(zhí)教八年級一次函數(shù)一節(jié)時(shí)，上了一節(jié)《一次函數(shù)與三角形面積》的公開課。