微積分思想在幾何中的應(yīng)用

趙佳

摘 要：微積分思想在幾何中的應(yīng)用主要分為一元函數(shù)微分學(xué)、二元函數(shù)微分學(xué)、定積分和二重積分分別在幾何中的應(yīng)用.一元函數(shù)微分學(xué)可以求平面曲線的切線和法線方程;二元函數(shù)微分學(xué)可以求空間曲面的切線、法平面、法線、切平面;定積分可以求平面曲線的弧長，平面圖形的面積，空間立體的體積;二重積分可以求曲頂柱體的體積和平面區(qū)域的面積.

關(guān)鍵詞：微分學(xué) 積分學(xué) 幾何 應(yīng)用

一、微分學(xué)在幾何中的應(yīng)用

微分學(xué)在幾何中的應(yīng)用主要包括一元函數(shù)微分學(xué)在幾何中的應(yīng)用和二元函數(shù)微分學(xué)在幾何中的應(yīng)用.本文以一元函數(shù)微分學(xué)在幾何中的應(yīng)用為例進行說明。

一元函數(shù)微分學(xué)主要包括導(dǎo)數(shù)與微分兩個基本概念，下面主要介紹導(dǎo)數(shù)在幾何中的應(yīng)用.

1.導(dǎo)數(shù)的定義及其幾何意義

定義1 ?設(shè)函數(shù)在點的某一鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量在點處取得一增量（且仍在該鄰域內(nèi)）時，相應(yīng)的函數(shù)也有增量

如果極限存在，則稱函數(shù)在點處可導(dǎo)，并稱此極限值為在處的導(dǎo)數(shù)，記作，或|，即。[1]

導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)是曲線在點處切線的斜率.

2.一元函數(shù)微分學(xué)在幾何中的應(yīng)用：主要介紹利用導(dǎo)數(shù)幾何意義求平面曲線切線和法線方程，主要分為用隱函數(shù)、用顯函數(shù)和用參數(shù)方程表示平面曲線的切線與法線方程。文中以用顯函數(shù)表示的平面曲線的切線與法線方程為例。

如果函數(shù)在點處可導(dǎo)，則曲線在點處的切線斜率為，切線方程為

如果，則法線斜率為，法線方程為

若，則法線方程為

例：求三次曲線在點處的切線方程與法線方程.[3]

解：由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，所求切線的斜率為函數(shù)在的導(dǎo)數(shù)值，即

||

由直線的點斜式方程，得所求切線方程為

即

曲線在點處的法線斜率為

法線方程為

即

結(jié)論：微積分在幾何中的應(yīng)用主要分為一元函數(shù)微分學(xué)、二元函數(shù)微分學(xué)、定積分、二重積分分別在幾何中的應(yīng)用，這些應(yīng)用主要包括求平面曲線的切線方程和法線方程;求空間曲面的切線和法平面方程，法線和切平面方程;求平面曲線的弧長，平面圖形的面積，空間立體的體積;求曲頂柱體的體積：求平面區(qū)域的面積等等。本文以微分學(xué)在幾何中的應(yīng)用中一元函數(shù)微分學(xué)為例進行剖析，當(dāng)然，微積分還有其他應(yīng)用，這就需要我們不斷地去探索，去研究 。

參考文獻

[1]李安平，王國正，董福安，高等數(shù)學(xué)[M]，西安：西安工業(yè)大學(xué)出版社，（2000）：29-80.

[2]王金金，李廣民，任春麗等，高等數(shù)學(xué)[M]，北京：清華大學(xué)出版社，（2007）：51-321.