問題導學促活課堂 核心素養(yǎng)生根發(fā)芽*
——以“函數(shù)的單調(diào)性”教學設(shè)計為例

廣西師范大學數(shù)學與統(tǒng)計學院(541006)劉存華 周瑩

一、問題提出

《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版)》明確指出：“數(shù)學核心素養(yǎng)是數(shù)學課程目標的集中體現(xiàn),是在數(shù)學學習的過程中逐步形成的”.[1]可見,學生的數(shù)學核心素養(yǎng)不是灌輸知識,也不是訓練解題,而是在“過程中”才能得以培養(yǎng).但當前一線數(shù)學課堂仍存在“段中燒”、“一言堂”的現(xiàn)象,尤其在概念教學中經(jīng)常出現(xiàn)“開門見山下定義、幾項注意述內(nèi)涵、題海戰(zhàn)術(shù)做訓練”的現(xiàn)象.如此教學容易導致學生對知識的形成一知半解,對概念的本質(zhì)理解不透,“四基”將成為貧瘠的土地,核心素養(yǎng)無法生根發(fā)芽.此時,教師就需要以問題為導向促活課堂,提升教學質(zhì)量,發(fā)展學生“四基”,讓數(shù)學核心素養(yǎng)生根發(fā)芽.

二、基于數(shù)學學科核心素養(yǎng)的數(shù)學教學設(shè)計

數(shù)學核心素養(yǎng)需要落實在每一次課堂當中,需要進行精心地設(shè)計才能將課堂這個主陣地的利用程度達到最大化.因此,很有必要探討基于數(shù)學學科核心素養(yǎng)的教學設(shè)計.本文在整合、優(yōu)化第八屆全國數(shù)學青年教師優(yōu)質(zhì)課的6 篇“函數(shù)的單調(diào)性”教學設(shè)計的基礎(chǔ)上,結(jié)合相關(guān)文獻,嘗試進行了基于數(shù)學學科核心素養(yǎng)的教學設(shè)計：

(一)課例背景

“函數(shù)的單調(diào)性”選自《高中數(shù)學人教A 版》(必修1)1.3.1 節(jié),主要內(nèi)容是通過“數(shù)”與“形”的結(jié)合來理解概念,根據(jù)圖象判斷函數(shù)的單調(diào)性以及應(yīng)用定義證明某些函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性.學生在此之前學過基本函數(shù)的概念及表示,可以大致感知函數(shù)增減性的概念,并具備一定的抽象、概括和語言表達能力.本節(jié)課的重點是構(gòu)建增(減)函數(shù)的數(shù)學化定義,難點是用定義規(guī)范證明函數(shù)的單調(diào)性.

(二)教學目標

拉夫爾-泰勒指出：“闡述清楚的目標包括行為方面和內(nèi)容方面兩個維度,有時可借助二維表格簡明清晰地闡述目標”,因此本設(shè)計根據(jù)《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版)》的要求并結(jié)合教學內(nèi)容、學生情況,將教學目標分解如下：(見表1)

表1 教學目標

(三)教學模式

將數(shù)學學習心理學中的概念形成模型[2]與周瑩教授的“六何”認知鏈[3][4]整合成模型,并依此進行教學設(shè)計.模型如下：(見圖1)

圖1 教學模型

(四)教學過程

1.追溯從何,引入新知

對于“函數(shù)單調(diào)性從哪里來? ”的思考,設(shè)計了生活情境來引入新知,然后通過觀察具體函數(shù)例子,得出共性.

問題1展示小孩“上樓梯”的動畫,并問道：在爬樓梯時,小孩的位置隨臺階的變化是如何變化的?

問題2展示本地某天的氣溫變化圖像,提出問題：溫度與時間有什么聯(lián)系? (見圖2)

圖2 溫度變化折線圖

圖3 一般函數(shù)圖象

設(shè)計意圖托爾斯泰曾說過：“成功的教學,所需的不是強制,而是激發(fā)學生學習的興趣”.此環(huán)節(jié)從生活著手創(chuàng)設(shè)情境,激發(fā)學生的學習興趣.學生對實際例子中“上升”、“下降”的描述,完成對函數(shù)單調(diào)性概念的首次感知.

問題3觀察函數(shù)f(x)=x、f(x)=-x+ 1 以及f(x)=x2的圖象(投影函數(shù)圖象),回答問題：

(1)從左往右看,圖象有什么樣的“上升”、“下降”規(guī)律?

(2)圖象的這種“上升”、“下降”規(guī)律,反映了當自變量的變化時,函數(shù)值是如何變化的?

設(shè)計意圖直觀感知,導入概念.通過從具體函數(shù)的圖象觀察“上升”、“下降”,讓學生感知單調(diào)性的圖形特征,培養(yǎng)學生直觀想象能力,由此完成對單調(diào)性的第二次認識.

2.把握是何,形成概念

對于“單調(diào)性是什么? ”的思考,對上述函數(shù)進行提問,從而抽象本質(zhì),形成定義.

問題4如何描述函數(shù)“上升”、“下降”的變化趨勢?

設(shè)計意圖學生根據(jù)自己的了解用自然語言描述“上升”、“下降”,從而由“圖象直觀”轉(zhuǎn)變到“定性描述”,不同方式的描述有利于提高語言表達能力.

問題5以函數(shù)f(x)=x2+1 為例,請用數(shù)學符號語言描述“f(x)在(0,+∞)上為增函數(shù),也就是在(0,+∞)上f(x)隨x的增大而增大”?

引導：第一步：將“x增大”符號化,類比“x增大”得到“f(x)的增大”;第二步：將“隨”字符號化;第三步：再將隱含語言“區(qū)間”符號化;

設(shè)計意圖通過提問和引導,學生可以突破思維的瓶頸,初步掌握符號語言描述概念：“在區(qū)間(0,+∞)上任取兩個數(shù)x1,x2,當時x1＜x2,都有f(x1)＜f(x2)”來描述“在(0,+∞)上f(x)隨著x的增大而增大”,把對單調(diào)性的認識由感性認識轉(zhuǎn)化到理性認知層面.完成對概念的第三次認識的同時,樹立了學生的自信,激發(fā)了探索欲望.

問題6請模仿對增函數(shù)下定義的方法,用準確的符號語言描述“f(x)在(-∞,0)上是減函數(shù)”?

問題7如何用數(shù)學語言準確刻畫函數(shù)在區(qū)間D上遞增(或遞減)呢? (見圖3)[5]

設(shè)計意圖從對初中特殊函數(shù)直觀圖形的研究逐漸過渡到對一般函數(shù)單調(diào)性的抽象定義研究.運用數(shù)學符號進行描述,感受兩種語言在描述上的不同關(guān)鍵點,培養(yǎng)學生在圖形語言、自然語言和符號語言之間的轉(zhuǎn)換能力.通過類比推理,形成增減函數(shù)概念的過程,培養(yǎng)邏輯思維能力.激發(fā)類比思想的同時,滲透分類整合的方法,讓學生學會完善知識結(jié)構(gòu)過程.

3.聯(lián)結(jié)與何,拓展概念

增(減)函數(shù)的定義與單調(diào)區(qū)間有何關(guān)系? 怎么用定義證明單調(diào)性? 設(shè)置以下提問：

問題8你能分析一下增(減)函數(shù)定義的要點嗎?

問題9例題：試用單調(diào)性的定義證明f(x)=x2+2 在[0,+∞)上是增函數(shù).

設(shè)計意圖問題8 使得學生加深對增(減)函數(shù)的認識.在此過程中還需要規(guī)范學生的語言表達,同時引導學生理解概念的內(nèi)涵和外延以及關(guān)鍵詞,為接下來運用概念進行解題、證明做準備.問題9 探究單調(diào)性定義與單調(diào)區(qū)間、證明步驟關(guān)系的過程中,培養(yǎng)學生的直觀想象、數(shù)學抽象素養(yǎng).在講解“用定義證明”的例題時,使學生掌握用定義證明函數(shù)單調(diào)性的方法和書寫的規(guī)范步驟,同時培養(yǎng)學生的邏輯推理和數(shù)學運算素養(yǎng).

4.操作如何,應(yīng)用概念

學生學習了單調(diào)性的概念和單調(diào)區(qū)間之后,效果如何?課堂中穿插習題進行考察：自學教材P29頁例題完成題目：

問題10整個上午(8：00—12：00)天氣越來越暖,中午時分(12：00—13：00)突然下雨,天氣變得涼爽許多.雨后變晴,溫度回升,直到太陽落山(18：00),太陽落山之后又變涼了.請畫出8：00—24：00 期間氣溫與時間之間的函數(shù)圖象,并指出單調(diào)區(qū)間.

設(shè)置意圖自學例題,培養(yǎng)學生的自學能力;學以致用,及時訓練,可根據(jù)學生反饋調(diào)整教學.學生動手繪制函數(shù)圖象并利用圖象準確指出單調(diào)區(qū)間,體會函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)圖像之間的聯(lián)系與轉(zhuǎn)化,加深對函數(shù)單調(diào)性的抽象概念的理解,進一步培養(yǎng)學生的數(shù)學抽象素養(yǎng).

5.重視變何,理解概念

問題11根據(jù)上述例題,完成以下變式訓練：

變式1用定義證明函數(shù)y=x2+2 在(-∞,0)上是減函數(shù).

變式2用定義證明函數(shù)上是減函數(shù).

變式3用判斷函數(shù)在(8,20)上是增函數(shù)還是減函數(shù)? 你能證明你的判斷嗎?

設(shè)計意圖運用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性,進行代數(shù)推理的過程時體驗其嚴謹性、邏輯性,感悟數(shù)學思維,培養(yǎng)學生的邏輯推理素養(yǎng).變式1 與例題的函數(shù)相同,通過類比可進行解答;變式2 在變式1 的基礎(chǔ)上更換了函數(shù),增加計算難度;變式3 在函數(shù)形式、單調(diào)區(qū)間上都增加了難度.總之,梯度化的變式訓練中,能夠更深入地理解單調(diào)遞增(減)函數(shù)的定義以及證明方法.

6.把握有何,構(gòu)建體系

問題12今天的內(nèi)容就要收尾,我們來梳理一下整個學習的思路流程好不好? (師生梳理教學環(huán)節(jié),見圖4)

圖4 教學環(huán)節(jié)圖

問題13接下來我們最后一個任務(wù)是根據(jù)教學環(huán)節(jié)做總結(jié),哪位高手能來說說個人收獲呢? (師生共同總結(jié),繪制思維導圖,見圖5)

圖5 課堂小結(jié)思維導圖

設(shè)計意圖用串聯(lián)教學環(huán)節(jié)的方式回顧,可以讓學生了解課堂梗概,掌握學習研究的流程,達到“授之以漁”之功效.緊接著依據(jù)“教學環(huán)節(jié)圖”總結(jié)本節(jié)知識、技能以及思想方法,將其納入認知系統(tǒng),完善數(shù)學知識體系.

三、教學反思

(一)在目標、策略的設(shè)置上,定位核心素養(yǎng)

教學目標是施教的方向標和目的地,要培養(yǎng)數(shù)學核心素養(yǎng),必須在目標的設(shè)立時將“三維目標”進行拆解,融入核心素養(yǎng).哪個知識點蘊含核心素養(yǎng)? 哪個過程發(fā)展核心素養(yǎng)?都需要在目標中通過“行為”和“內(nèi)容”進行精準定位,提高目標可視化、可操作性.教學策略作為方法論,將“六何認知鏈”與“概念形成模型”整合起來進行指導教學環(huán)節(jié)的設(shè)立,使得每個環(huán)節(jié)符合學生的學習心理,利于達成教學目標,發(fā)展素養(yǎng).

(二)在教學活動的開展中,培養(yǎng)核心素養(yǎng)

依據(jù)核心素養(yǎng)的表現(xiàn)形式,開展教學活動,培養(yǎng)核心素養(yǎng)：在獲得概念和形成方法中培養(yǎng)數(shù)學抽象;在探索論證和表述交流中培養(yǎng)邏輯推理;在確定思路和演繹推理的過程中培養(yǎng)數(shù)學運算素養(yǎng).以具體函數(shù)為例,抽象出共性和本質(zhì),由圖形語言和自然語言到符號語言的過程發(fā)展數(shù)學抽象素養(yǎng);理解函數(shù)單調(diào)性中的邏輯用語、類比增函數(shù)定義得到減函數(shù)定義等過程發(fā)展邏輯推理素養(yǎng);用定義證明函數(shù)單調(diào)性的過程發(fā)展數(shù)學運算素養(yǎng).

(三)在問題的精心設(shè)計下,發(fā)展核心素養(yǎng)

依據(jù)目標和教學模型設(shè)計問題,“師導生探”式教學營造活躍的課堂氛圍;以“最近發(fā)展區(qū)”為理念設(shè)計問題,兼具合理性與挑戰(zhàn)性,調(diào)動學生的積極性.設(shè)計問題進行反饋,檢測學生的核心素養(yǎng)發(fā)展程度.如問題10 的設(shè)置可反映“數(shù)學抽象”素養(yǎng)是否得以發(fā)展.通過提出問題、解決問題的方式,不斷的促活課堂,發(fā)展核心素養(yǎng).培養(yǎng)學生的核心素養(yǎng)任重而道遠,需要教師提高對其重視程度,不斷的嘗試新方法,發(fā)掘新渠道,探究出一條發(fā)展學生數(shù)學核心素養(yǎng)的有效之路.