一類C-M型功能反應(yīng)的時(shí)滯隨機(jī)捕食系統(tǒng)的性態(tài)

嚴(yán)珊珊,鄭唯唯

(西安工程大學(xué) 理學(xué)院,陜西 西安 710048)

捕食系統(tǒng)是種群生態(tài)學(xué)研究最早、理論成果最為豐碩的領(lǐng)域.捕食系統(tǒng)會(huì)受到多種因素的綜合影響,除階段結(jié)構(gòu)、稀疏效應(yīng)、庇護(hù)效應(yīng)等因素外，還存在生物種群密度變化對(duì)其增長率存在時(shí)間滯后現(xiàn)象[1,2]；捕食者的功能反應(yīng)，其函數(shù)也從單一食餌密度依賴的Holling I-III型，逐步變化為食餌密度與捕食者密度雙重依賴的Beddington-DeAngelis(B-D)及Crowley-Martin(C-M)型等，在具有C-M型功能反應(yīng)的確定性捕食系統(tǒng)的眾多研究文獻(xiàn)中,文獻(xiàn)[3,4]研究了系統(tǒng)全局正解的存在性、正平衡點(diǎn)的局部和全局漸近穩(wěn)定性.

考慮生物種群在其生長過程中,除了受到數(shù)量較少但強(qiáng)度較大的隨機(jī)干擾外,大量存在的是許多較小的、獨(dú)立的隨機(jī)干擾的疊加,基于此類“白噪聲”干擾的隨機(jī)捕食系統(tǒng)成為近年來生物數(shù)學(xué)研究的熱點(diǎn)領(lǐng)域之一[5-9].文獻(xiàn)[10]研究了具有時(shí)滯和隨機(jī)因素的捕食系統(tǒng)模型,利用Lyapunov函數(shù)和It公式得到了系統(tǒng)的正均衡態(tài)必須滿足某個(gè)條件才是全局漸近穩(wěn)定的.該研究僅證明了系統(tǒng)的全局漸近穩(wěn)定性,并未考慮系統(tǒng)的其他性質(zhì).據(jù)此,探討一類具有C-M型功能反應(yīng)的時(shí)滯隨機(jī)捕食系統(tǒng)的性態(tài).構(gòu)建系統(tǒng)模型如下：

(1)

其中，x(t),y(t)分別代表食餌和捕食者在t時(shí)刻的種群密度；b1,b2分別代表食餌和捕食者的內(nèi)稟增長率；a11,a22與a12,a21分別為食餌和捕食者種群的密度制約系數(shù)及種間競(jìng)爭率；τ為時(shí)滯,即τ時(shí)刻前出生的捕食者才具有捕食食餌的能力；β,γ為正常數(shù),Bi(t),i=1,2為完備概率空間(Ω,Φ,ω)的Brown運(yùn)動(dòng),Ω是樣本空間,Φ是樣本空間的σ代數(shù),ω是隨機(jī)事件；σi,i=1,2表示隨機(jī)擾動(dòng)的強(qiáng)度.

1 系統(tǒng)全局正解的存在唯一性

證明(Ⅰ)在t≥0上,對(duì)任意給定的初始函數(shù)

u0(θ)=lnφ1(θ),v0(θ)=lnφ2(θ),

(2)

系統(tǒng)(2)的系數(shù)滿足局部Lipschitz條件和線性增長條件,則在t∈[0,τe)上有唯一局部解(u(t),v(t)),其中,τe是爆破時(shí)間.由It公式可知,

x(t)=eu(t),y(t)=ev(t)

是對(duì)任意給定初始函數(shù)的系統(tǒng)(1)的唯一正局部解.

(Ⅱ)解是全局的,即τe=+.

由上式可知,存在正數(shù)K,使得LV≤K,則

dV≤Kdt+σ1(x(t)-1)dB1(t)+σ2(y(t)-1)dB2(t).

上式兩端從0到τr∧T(表示min(τr,T))積分并且取均值可得

EV(x(τr∧T),y(τr∧T))≤KT+V(x(0),y(0))，

對(duì)每一個(gè)ω∈{τr≤T},有

x(τr,ω)?(1/r,r)或y(τr,ω)?(1/r,r),

所以有

V(x(τr),y(τr))≥(x(τr)-1-lnx(τr))≥[(1/r-1-ln1/r)∧(r-1-lnr)],

或

V(x(τr),y(τr))≥(y(τr)-1-lny(τr))≥[(1/r-1-ln1/r)∧(r-1-lnr)].

則有

而

2 系統(tǒng)解的隨機(jī)最終有界性

定義2如果對(duì)任意ε∈(0,1),存在正數(shù)M=M(ε)>0,使得對(duì)任意正初值,系統(tǒng)(1)的解滿足

則系統(tǒng)(1)的解是隨機(jī)最終有界.

定理2系統(tǒng)(1)的解是隨機(jī)最終有界的.

證明對(duì)任意的正常數(shù)p,令

則對(duì)

對(duì)上式從0到t積分,并取均值可得

則存在正數(shù)K1(p),K2(p), 使得

因此

即

故有

所以

由Chebyshev 不等式對(duì)任意M>0,可得

即系統(tǒng)(1)的解是隨機(jī)最終有界的,結(jié)論得證.

3 種群的滅絕性

記

引理設(shè)x(t)∈C(Ω×[0,+),R+),則有

(1) 如果存在正的常數(shù)μ,T使得

其中，βi,1≤i≤n是常數(shù),則

(2)如果存在正的常數(shù)μ,T和λ≥0使得

定理3設(shè)(x(t),y(t))是系統(tǒng)(1)的任意解,則

(1)當(dāng)r1<0時(shí),食餌種群x(t)滅絕;

(2)當(dāng)Δ?-b1a11r2+b2a21r1<0時(shí),捕食者種群y(t)滅絕.

證明考慮如下系統(tǒng)

(1)令u(x(t))=lnx(t),v(y(t))=lny(t). 對(duì)u(x(t))利用It公式可得

對(duì)上式從0到t積分,再除以t得

(2)同理,對(duì)v(y(t))利用It公式可得

對(duì)上式從0到t積分得

兩邊同時(shí)再除以t得

由于

因此，存在T1>0, 當(dāng)t>T1時(shí),

4 種群的平均持續(xù)生存性

定理4設(shè)(x(t),y(t))是系統(tǒng)(1)的任意解,則

(1)當(dāng)r2>0時(shí),捕食者種群y(t)平均持續(xù)生存;

(2)當(dāng)Δ1?γb1b2a11a22r1-b1a12Δ>0時(shí),食餌種群x(t)平均持續(xù)生存.

證明(1) 對(duì)v(y(t))=lny(t)利用It公式可得

上式從0到t積分,再除以t得

因此，存在T1>T, 當(dāng)t>T1時(shí),有

根據(jù)引理可得

因此,當(dāng)r2>0時(shí),即捕食者種群y(t)是平均持續(xù)生存的.

(2)對(duì)u(x(t))=lnx(t),利用It公式可得

上式從0到t積分,再除以t得

根據(jù)引理可得

當(dāng)Δ1>0時(shí),即食餌種群x(t)是平均持續(xù)生存的.

5 結(jié)束語

考慮時(shí)滯的捕食系統(tǒng)受環(huán)境白噪聲的影響,討論了一類具有C-M型功能反應(yīng)的時(shí)滯隨機(jī)捕食系統(tǒng)模型.運(yùn)用It公式、Lyapunov函數(shù)方法、Chebyshev不等式和隨機(jī)比較定理等方法,證明了系統(tǒng)全局正解的存在唯一性和隨機(jī)最終有界性,討論了系統(tǒng)中食餌和捕食者的滅絕性和平均持續(xù)生存性.該系統(tǒng)模型更貼近時(shí)滯捕食種群生存實(shí)際,為降低環(huán)境白噪聲對(duì)種群生存的影響、制定相應(yīng)保護(hù)措施提供了必要的理論依據(jù).