仿凸集在線性空間中的若干性質(zhì)

汪文意，李雪霜

(重慶師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，重慶 401331)

凸集是凸分析中的主要研究對(duì)象之一,在很多實(shí)際問題中有廣泛應(yīng)用.但由于大多實(shí)際問題中，很多集合都是非凸的,于是各種廣義凸集開始受到人們的重視,比如: 仿凸集[1]和近似凸集[2-5].1960年Minty和Rockafellar首次引進(jìn)了近似凸集的概念,研究其性質(zhì)[3-4].隨后，Sarah等人在文獻(xiàn) [2] 和 [5] 中對(duì)近似凸集進(jìn)行了系統(tǒng)的研究.2012年,曠華武在文獻(xiàn) [6] 中引入仿凸集的概念,研究其性質(zhì)，并將它應(yīng)用到凸集分離定理和Minkowski泛函的性質(zhì)研究中.

本文以文獻(xiàn)[1] 和 [7] 中凸集的性質(zhì)作為理論基礎(chǔ),在文獻(xiàn)[2]近似凸的相關(guān)性質(zhì)下,針對(duì)仿凸集進(jìn)行進(jìn)一步的研究.首先給出仿凸集和近似凸集的相關(guān)概念和若干性質(zhì).其次在線性空間中引入近似相等的概念,證明了近似凸集和仿凸集在一定條件下的等價(jià)性.結(jié)合在線性變換下凸集相對(duì)代數(shù)內(nèi)部和相對(duì)代數(shù)閉包的性質(zhì),針對(duì)仿凸集的相對(duì)代數(shù)內(nèi)部和相對(duì)代數(shù)閉包進(jìn)行研究.最后總結(jié)了本文所做的工作.

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè)Rn為n維歐幾里得空間,B是Rn中的單位閉球,X為線性空間.C?Rn，intC,clC分別表示C的拓?fù)鋬?nèi)部和拓?fù)溟]包,定義C的相對(duì)拓?fù)鋬?nèi)部為

riC=

{x∈affC:?ε>0,(x+εB)∩(affC)?C}.

其中，affC為C的仿射包.

文獻(xiàn)[2] 在Rn中給出如下廣義凸集的定義, 并稱之為近似凸集.

定義1[2]集合E?Rn，如果存在凸集C?Rn,使得

C?E?clC.

則稱E為近似凸集.

定義2[2]設(shè)C和D是Rn中的集合.稱C和D近似相等,如果

riC=riD且clC=clD.

記作：C≈D.

引理1[2]設(shè)E是Rn中的一個(gè)近似凸集,則

E≈clE≈riE≈convE≈C.

引理2[2]設(shè)E是Rn中的近似凸集,則intE=int(clE).

下面在線性空間X中引入一些基本概念和性質(zhì).

設(shè)C?X，C的代數(shù)內(nèi)部、相對(duì)代數(shù)內(nèi)部和代數(shù)閉包分別定義為:

Cri=

Cc=

文獻(xiàn)[1] 利用相對(duì)代數(shù)內(nèi)部給出如下廣義凸集的概念，稱之為仿凸集.

定義3[1]K?X,如果Kri≠φ且

[a,b)?Kri,?a∈Kri,b∈Kc,

則稱K是仿凸集.

引理3[1]設(shè)K是X中的仿凸集,則

(1)Kri,Kc都是凸集;

(2)Ari=(Ac)ri=(Ari)ri,Ac=(Ari)c=(Ac)c.

引理4[7]對(duì)于拓?fù)渚€性空間X中相對(duì)拓?fù)鋬?nèi)部非空的凸集C,有如下性質(zhì)

(1)riC=Cri;

(2)clC=Cc.

引理5[8]設(shè)C是X中的凸集,A:X→Y是一個(gè)線性變換,則

(AC)ri=A(Cri),且A(Cc)?(AC)c.

2 線性空間中仿凸集的性質(zhì)

可將定義1中近似凸集的概念推廣到線性空間中，得到如下推廣定義.

定義4 設(shè)E?X，如果存在集合C?X，使得

C?E?Cc.

則稱E為近似凸集.

定義5 設(shè)C和D是X中的集合.稱C和D近似相等,如果

Cri=Dri且Cc=Dc

記作：C≈D.

考慮線性空間中近似凸集和仿凸集的等價(jià)性，再對(duì)文獻(xiàn) [2] 中相應(yīng)性質(zhì)進(jìn)行推廣.

定理1 設(shè)K?X,Kri≠φ.K為近似凸集當(dāng)且僅當(dāng)K為仿凸集.

證充分性：設(shè)K為仿凸集,由引理3可知Kri為凸集.取C=Kri，則

(Kri)c=Kc.

再由Kri?K?Kc可知

C=Kri?K?Kc=(Kri)c=Cc.

這表明C?K?Cc.從而K為近似凸集.

必要性：設(shè)K為近似凸集，則存在凸集C?X使得C?K?Cc.從而Cc?Kc?(Cc)c=Cc.又因?yàn)镃為凸集,故Kc=Cc為凸集.同理可得：Kri=Cri為凸集.對(duì)于凸集Kc,有

[x,y)?(Kc)ri=(Cc)ri=Cri=Kri

?x∈(Kc)ri=Kri，?y∈(Kc)c=(Cc)c=Kc.

這表明K為X中仿凸集.

注1 在必要性證明中,當(dāng)X=Rn時(shí)，K為近似凸集時(shí)，Kri≠φ顯然成立.對(duì)于凸集C有Cri≠φ.則由引理1有C≈K,故Kri=Cri≠φ.

對(duì)于凸集有引理4的結(jié)論.可以證明對(duì)于仿凸集該結(jié)論也成立.

定理2 設(shè)K為拓?fù)渚€性空間X中的仿凸集,且K的相對(duì)拓?fù)鋬?nèi)部非空,則

(1)riK=Kri;

(2)clK=Kc.

證(1)設(shè)K為仿凸集,故由引理3可知Kri和Kc為凸集.再由引理4,對(duì)于凸集Kri和Kc有

ri(Kri)=(Kri)ri=Kri,ri(Kc)=(Kc)ri=Kri,

因?yàn)閞i(Kri)?riK?ri(Kc), 從而ri(Kri)=riK=ri(Kc).即,riK=ri(Kri)=Kri,所以riK=Kri.

(2)對(duì)于凸集Kri和Kc有

cl(Kri)=(Kri)c=Kc,cl(Kc)=(Kc)c=Kc.

因?yàn)閏l(Kri)?clK?cl(Kc),所以clK=cl(Kri)=Kc.

定理3 證明了在線性空間里近似凸和仿凸的等價(jià)性,故引理2的結(jié)論對(duì)于仿凸集也成立.

定理4 設(shè)K為X中的仿凸集,intK≠φ,則intK=Ki=Kri.

證由引理2和定理2可知,intK=int(Kc).因?yàn)镵為仿凸集,故由引理3有Kri=(Kc)ri.對(duì)于凸集Kc,由int(Kc)≠φ推出(Kc)i≠φ.從而aff(Kc)=X.則

intK=int(Kc)=(Kc)i=(Kc)ri=Kri.

再由intK?Ki?Kri可知intK=Ki=Kri.

基于文獻(xiàn)[2] 中命題3.8的結(jié)論，有如下結(jié)論.

定理5 設(shè)K?X是仿凸集,則有

(1) 如果K是開集,則K是凸集;

(2) 如果K是閉集,則K是凸集;

(3) 若對(duì)?x,y∈KKri,有[x,y]?K,則K是凸集.

證(1)當(dāng)K為仿凸集時(shí),intK≠φ,從而由定理3知intK=Ki=Kri.又由K開集知K=Ki,則K=Kri為凸集.

(2)設(shè)K是仿凸集且K為閉集,故K=Kc.?x∈Kri?K,?y∈Kc=K,有[x,y)?Kri?K,而y∈K,則[x,y]?K.從而K為凸集.

(3)對(duì)?x,y∈K,如果x,y中有一個(gè)屬于Kri,不妨設(shè)x∈Kri,y?Kri,由仿凸的定義知，[x,y)?Kri?K.再由y∈K,知[x,y]?K.已知?x,y∈K/Kri時(shí),有[x,y]?K.因此K為凸集.

下面考慮線性變換下仿凸集的性質(zhì).由引理5線性變換下凸集的性質(zhì)，可得到仿凸集的類似性質(zhì).

定理6 設(shè)K是X中的仿凸集,A:X→Y是一個(gè)線性變換,則

(1)(AK)ri=A(Kri),A(Kc)?(AK)c;

(2)AK是仿凸集.

證(1)對(duì)于凸集Kri和Kc,由引理5可知

(A(Kri))ri=A(Kri)ri=A(Kri)，(A(Kc))ri=A(Kc)ri=A(Kri),

而(A(Kri))ri?(AK)ri?(A(Kc))ri,這表明(AK)ri=(A(Kri))ri=A(Kri).

對(duì)于凸集Kri,由引理5可知，A(Kc)=A(Kri)c?(A(Kri))c，而(A(Kri))c?(AK)c.從而有A(Kc)?(AK)c.

(2)設(shè)K是仿凸集,對(duì)?x∈Kri,?y∈Kc,有[x,y)?Kri.從而

Ax∈A(Kri)=(AK)ri,Ay∈A(Kc)?(AK)c,有A[x,y)?A(Kri),即

[Ax,Ay)?A(Kri)=(AK)ri,

這說明AK是仿凸集.

定理7 設(shè)K?X是仿凸集.對(duì)?λ∈R，有(λK)ri=λKri.

證由K為仿凸集知Kri和Kc為凸集.設(shè)線性變換A:x→λx,則由定理6得

(A(Kc))ri=A(Kc)ri=A(Kri).

這表明(λKc)ri=λKri.

同理可得:(λKri)ri=λKri.所以(λKc)ri=(λKri)ri.而(λKri)ri?(λK)ri?(λKc)ri,從而

(λKc)ri=(λK)ri=(λKri)ri=λKri.

注2 當(dāng)X=Rn時(shí)，由仿凸集和近似凸集的等價(jià)性，該結(jié)果可退化為文獻(xiàn) [2] 中定理4.1.

定理8 設(shè)Ki，i∈{1,2,…,m}是X中的仿凸集,則

(K1+…+Km)ri=K1ri+…+Kmri,

K1c+…+Kmc?(K1+…+Km)c.

證前半部分由文獻(xiàn)[2]的推論4.4推廣而來,證明方法類似,只證后半部分.

由定理5知A(Kc)?(AK)c

A(Kc)=A(K1×…×Km)c=

A(K1c×…×K2c)=K1c+…+Kmc,

(AK)c=[A(K1×…×Km)]c=

(K1+…+Km)c,

從而

K1c+…+Kmc?(K1+…+Km)c.

3 結(jié)論

本文關(guān)注到一種特殊的廣義凸集—仿凸集，利用文獻(xiàn) [1] 和 [2] 中仿凸集和近似凸集的若干性質(zhì),在線性空間中證明了仿凸集和近似凸集的等價(jià)性,從而在近似凸集的基礎(chǔ)上對(duì)仿凸集的性質(zhì)進(jìn)行研究，并研究了在線性變換下仿凸集的一些性質(zhì).