小課堂大素養(yǎng)
——以“多參數(shù)函數(shù)問題”習(xí)題課為例

江西省萍鄉(xiāng)市湘東中學(xué) (337016) 彭小奇

一、問題的提出

進(jìn)入高三復(fù)習(xí)后,習(xí)題講評(píng)課成為常態(tài)課型.很多教師為了趕進(jìn)度追求課堂容量,滿堂灌地把答案講完,至于思路如何形成,學(xué)生能否想到,這些題的解決需要學(xué)生具備什么知識(shí)儲(chǔ)備,要形成哪些核心素養(yǎng)卻思之甚少.甚至有部分教師認(rèn)為提升核心素養(yǎng)是高一高二講授新課才應(yīng)該考慮的問題.

本文以多參數(shù)函數(shù)問題的習(xí)題課為例來闡述提升核心素養(yǎng)如何在高三課堂中落地生根.不當(dāng)之處，敬請(qǐng)指正.

二、課堂實(shí)錄

師：通過思考請(qǐng)哪位同學(xué)來說說思路？

師：很好,通過引入?yún)?shù)t能反解出b,a,進(jìn)而達(dá)到消參的目的,最后只剩一個(gè)變量t,轉(zhuǎn)化為我們的常規(guī)問題了.請(qǐng)同學(xué)們動(dòng)手解出答案,待會(huì)投影展示同學(xué)們的規(guī)范解答.

(展示規(guī)范解答后)

師：還有沒有其它方法可行？(沒同學(xué)回答)那請(qǐng)同學(xué)們思考下面的變式.

變式1y=a分別與y=2x+2和y=x+lnx交于A,B兩點(diǎn),則AB最小值=．

師：這個(gè)變式和剛才所講例題是同一類型嗎？還能繼續(xù)引進(jìn)變量再消元的方法嗎？請(qǐng)同學(xué)們?cè)囈辉?

師：幾位同學(xué)非常不錯(cuò),生3沒有思維固化去反解,而是直接用x2表示x1達(dá)到整體消元的目的.生2和生4兩位同學(xué)利用圖形直觀幫助解題,非常好.希望同學(xué)們從多個(gè)角度去思考問題.

例2 已知f(x)=2lnx-ax2+3,?m,n∈[1,5]，當(dāng)n-m≥2時(shí),有f(m)=f(n),則a的最大值為( ).

師：本題由平行x軸的直線與兩函數(shù)圖像相交變?yōu)橐恢本€與一個(gè)函數(shù)圖像相交,兩交點(diǎn)的距離不小于2,反過來求參數(shù)的最值.請(qǐng)同學(xué)們認(rèn)真思考.

師：方法很好,答案也對(duì).先由f(x)極值初步確定a的范圍,通過區(qū)間長度確定m,n的范圍,要有f(m)=f(n),只需f(m+2)=f(m)有解,進(jìn)而利用圖形直觀幫助解題.其他同學(xué)還有什么好的想法嗎？

師：生6在最后求a時(shí)參變分離進(jìn)行優(yōu)化,兩個(gè)函數(shù)之積的單調(diào)性判斷其前提都要為正,大題還是求導(dǎo)判斷更好.

生7：按生5的思路,1≤m≤3≤n≤5,只需f(3)≥f(m)≥f(1),f(3)≥f(n)≥f(5),解不等式即可.

例3 已知a,b∈R,ex≥a(x-1)+b恒成立,則ab的最大值為( ).

師：本題結(jié)構(gòu)非常簡(jiǎn)潔,幾何意義也明顯,請(qǐng)同學(xué)們看看能不能解決？

師：生9從不等式結(jié)構(gòu)出發(fā)分析得到ab的最大值不能確定,轉(zhuǎn)而構(gòu)造函數(shù)求得其最小值f(lna)≥b,達(dá)到消去參數(shù)b的目的.很不錯(cuò),分析到位！本題是2012年全國卷21題核心部分的改編.

這時(shí)一男生迫不及待站起來想發(fā)言.

師：生11不拘泥于減元思路,利用圖形直觀解決本題.非常棒！今天的討論非常熱烈,同學(xué)們不僅僅滿足于把題解出來,從不同角度去分析,給出了非常好的解法,老師也收獲頗多.希望同學(xué)們保持這種精神,多思多想！即將下課,請(qǐng)同學(xué)們課后繼續(xù)研究下面的變式.

三、教學(xué)反思

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》指出：數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn),是具有數(shù)學(xué)基本特征的思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力以及情感、態(tài)度與價(jià)值觀的綜合體現(xiàn),是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和應(yīng)用的過程中逐步形成和發(fā)展的.數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)包括：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析.這些數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)既相對(duì)獨(dú)立、又相互交融,是一個(gè)有機(jī)的整體[1].本堂課所選習(xí)題表象都是多參數(shù)問題,但所用方法各有千秋,有各種方式減元消參,也有保留參數(shù)利用圖形直觀整體解決的.學(xué)生的觀察點(diǎn)不同,其切入點(diǎn)也就不同,所形成的不同核心素養(yǎng)也必將相互交融.

有些教師的搞題型分類課,反復(fù)訓(xùn)練,希望學(xué)生能形成條件反射,見到什么題型就用什么套路,僵化學(xué)生思維.對(duì)于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教學(xué),史寧中教授認(rèn)為應(yīng)該從以下幾個(gè)方面進(jìn)行：把握數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì),把握學(xué)生認(rèn)知的過程;創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境,提出合適的數(shù)學(xué)問題;啟發(fā)學(xué)生思考,鼓勵(lì)學(xué)生與教師交流、學(xué)生之間相互交流；讓學(xué)生在思考和交流中、在掌握知識(shí)與技能的同時(shí),理解知識(shí)的本質(zhì);感悟數(shù)學(xué)思想,積累思維的經(jīng)驗(yàn),形成和發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)[2].

講好數(shù)學(xué)習(xí)題課需要教師深入理解數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),遵循學(xué)生認(rèn)知規(guī)律設(shè)計(jì)合理的問題串,調(diào)動(dòng)學(xué)生積極性,引導(dǎo)學(xué)生多角度探討,最終全方位提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).