2019年高考全國I卷函數(shù)與導(dǎo)數(shù)試題分析與備考建議

廣東省華南師范大學(xué)附屬中學(xué)(510630) 黎海燕

今年全國I卷“函數(shù)與導(dǎo)數(shù)”試題題型與往年相比無明顯變化，比如冪、指、對函數(shù)值的大小比較，函數(shù)的圖像，函數(shù)的性質(zhì)(包括函數(shù)單調(diào)性，奇偶性，對稱性，周期性等)函數(shù)的切線方程，零點問題，極值問題，不等式恒(能)成立等.試題從較為全面地考查了學(xué)生的函數(shù)的基本知識、綜合素養(yǎng)和學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力—“函數(shù)”始終貫穿高中數(shù)學(xué)的函數(shù)和方程、分類討論、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想方法.今年的試題難度較往年有所下降，試題分布較往年有較大的調(diào)整，如何更科學(xué)有效地備考? 我們有必要繼續(xù)研究高考的命題規(guī)律和解題策略.[1]

一、2019年高考全國I卷函數(shù)與導(dǎo)數(shù)試題評析

(一)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的客觀題評析

題目1(全國I卷文、理科第3題)已知a = log20.2，b=20.2，c=0.20.3，則( )

A.a ＜b ＜c B.a ＜c ＜b C.c ＜a ＜b D.b ＜c ＜a

評析本題屬基礎(chǔ)題，是高考的常考題型，考查冪指對函數(shù)值大小比較的通解通法，充分體現(xiàn)基本初等函數(shù)冪指對函數(shù)在函數(shù)中的重要地位.

題目2(全國I卷文、理科第5題)函數(shù)f(x)=在[-π,π]的圖像大致為( )

評析本題是函數(shù)圖像的識圖問題，這類問題在高考試題中屢屢出現(xiàn)，主要考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性和綜合運用函數(shù)知識分析問題和解決問題的能力.但本題可用排除法和特殊值法巧解，只需考慮函數(shù)的奇偶性和f(π)的符號即可解決，屬容易題.

題目3(全國I卷文、理科第13題)曲線y =3(x2+x)ex在點(0,0)處的切線方程為____.

評析函數(shù)圖像的切線問題是高考的高頻考點，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義是切線的斜率，本題是“已知切點”求切線方程的問題，屬基礎(chǔ)題.

(二)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的解答題評析

題目4(全國I卷理科第20題)已知函數(shù)f(x)=sin x-ln(1+x).f′(x)為f(x)的導(dǎo)數(shù).證明：

(1)f′(x)在存在唯一極大值點；

(2)f(x)有且僅有2 個零點.

評析本題的函數(shù)模型是正弦函數(shù)與對數(shù)函數(shù)組合，考查函數(shù)的極值和函數(shù)零點問題.本題不同于往年高考壓軸題，函數(shù)不含參數(shù)，無需對參數(shù)分類討論.雖然三角函數(shù)在往年全國高考壓軸題中從未出現(xiàn)過，但萬變不離其宗，函數(shù)是學(xué)生熟悉的，解題方法和過程也是學(xué)生熟悉的，還是用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖像和性質(zhì)的問題.本題第(1)問難度較往年加大，首先，審題易出錯，求的是f′(x)的極值點存在性問題；其次，導(dǎo)數(shù)零點不能直接求出，需用零點存在性定理設(shè)出零點，是一個抽象的零點，但不管是抽象的零點還是具體的零點，都是一個數(shù)，前者需作存在性說明，后者直接求解得到，對往下說明函數(shù)極值點的個數(shù)并無影響.第二問難度較往年低，要求學(xué)生有較好的函數(shù)基本功.

(1)的解法一設(shè)g(x)=f′(x)，則當(dāng)時，g′(x)單調(diào)遞減，而可得g′(x)在有唯一零點，設(shè)為α.則當(dāng)x ∈(-1,α)時，g′(x)＞0，當(dāng)時，g′(x)＜0，所以g(x)在(-1,α)單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，故g(x)在存在唯一極大值點，即f′(x)在存在唯一極大值點.

說明重視“導(dǎo)函數(shù)是一個函數(shù)”的理解，研究f′(x)的極值，則需對f′(x)求導(dǎo)，判斷f′(x)的導(dǎo)函數(shù)的符號，從而得到f′(x)的單調(diào)性.由于不能直接判斷出f′(x)的導(dǎo)函數(shù)的符號，需研究f′(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖像，關(guān)鍵是獲得f′(x)的導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，這里靈活運用減函數(shù)+減函數(shù)=減函數(shù)的性質(zhì)，快速獲得了f′(x)的導(dǎo)函數(shù)為單調(diào)減函數(shù)，避免了對f′(x)的導(dǎo)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)的過程.

(1)的解法二設(shè)g(x)=f′(x)，則令g′(x)= 0，得sin x =令h(x)= sin x，u(x)=其中x ∈因為h(x)在單調(diào)遞增，u(x)在單調(diào)遞減，且h(0)＜u(0)，h所以h(x)與u(x)在有且只有1 個交點，設(shè)交點的橫坐標(biāo)為α.當(dāng)x ∈(-1,α)時，h(x)＜u(x)，即u(x)- h(x)＞0，也 即g′(x)＞ 0； 當(dāng)時，h(x)＞ u(x)，即u(x)- h(x)＜0，也即g′(x)＜0.所以g(x)在(-1,α)單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，故g(x)在存在唯一極大值點，即f′(x)在存在唯一極大值點.

說明在判斷導(dǎo)函數(shù)的符號時，關(guān)鍵是導(dǎo)函數(shù)的零點求解或零點存在性說明，將函數(shù)零點問題轉(zhuǎn)化為方程問題，并對方程等價轉(zhuǎn)化，通過研究兩個函數(shù)的交點來研究方程的根的存在性，體現(xiàn)化復(fù)雜為簡單的轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合的思想方法.

(2)的解法一(i)當(dāng)時，由(1)知，f′(x)在(-1,α)單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，而f′(0)= 0，所以，f′(x)在(-1,α)存在唯一零點x = 0，f′(x)在也存在唯一零點，設(shè)為β.因此，當(dāng)x ∈(-1,0)時，f′(x)＜0； 當(dāng)x ∈(0,β)時，f′(x)＞0；當(dāng)時，f′(x)＜0，故f(x)在(-1,0)單調(diào)遞減，在(0,β)單調(diào)遞增，在單調(diào)遞增減.又f(0)= 0，且從而x = 0 是f(x)在的唯一零點.

(iii)當(dāng)x ∈(e-1,+∞)時，f(x)=sin x-ln(1+x)≤1-ln(1+x)＜1-ln(1+e-1)= 0，所以f(x)＜0，從而f(x)在(e-1,+∞)沒有零點.綜上，f(x)有且僅有2 個零點.

說明1在(ii)中，可改成(或相應(yīng)地f(e-1)＜0 可改為f(π)＜0(或在(iii)中，x ∈ (e - 1,+∞)改成x ∈(π,+∞)(或x ∈).

說明2第一問已得到了f′(x)在的大致圖像，從而不難得到f(x)在的大致圖像及零點的情況，所以本題關(guān)鍵是研究f(x)在的零點情況，由y = sin x 的有界性和y = ln(1+x)的單調(diào)性(單調(diào)遞增)，可得f(x)在(e-1,+∞)沒有零點，所以，只需研究在的零點情況，不難發(fā)現(xiàn)f(x)在有且只有一個零點.在培養(yǎng)學(xué)生分類討論的思維能力中，應(yīng)培養(yǎng)學(xué)生化整為零的解題習(xí)慣，和將新問題與已解決的問題作對比的解題意識，學(xué)會“站在巨人的肩膀上看問題”.

(2)的解法二令f(x)= 0，得sin x = ln(1 + x).令h(x)=sin x，v(x)=ln(1+x)，故f(x)有且僅有2 個零點等價于h(x)與v(x)有且只有兩個交點.

(i)當(dāng)x = 0 時，h(x)= v(x)= 0.當(dāng)x ∈(-1,0)時，因為sin x ＞x ＞ln(1+x)，所以h(x)與v(x)在(-1,0)無交點，從而h(x)與v(x)在(-1,0]只有1 個交點(0,0).

(iv)當(dāng)x ∈(e - 1,+∞)時，因為h(x)≤1，v(x)＞v(e-1)= 1，所以h(x)與v(x)在(e-1,+∞)無交點.綜上，h(x)與v(x)有且只有2 個交點，從而f(x)有且僅有2 個零點.

說明零點問題本質(zhì)是方程問題，好處是可將函數(shù)零點的個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程的根的個數(shù)問題，因為對方程進(jìn)行適當(dāng)?shù)牡葍r轉(zhuǎn)化后，可數(shù)形結(jié)合地研究兩個簡單函數(shù)的交點個數(shù)來得到方程的根的個數(shù)，直觀地發(fā)現(xiàn)本題的解題思路，體現(xiàn)化復(fù)雜為簡單的轉(zhuǎn)化思想.

題目5(全國I卷文科第20題)已知函數(shù)f(x)=2 sin x-x cos x-x，f′(x)為f(x)的導(dǎo)數(shù).

(1)證明：f′(x)在區(qū)間(0,π)存在唯一零點；

(2)若x ∈[0,π]時，f(x)≥ax，求a 的取值范圍.

評析本題的函數(shù)模型是正、余弦函數(shù)與一次函數(shù)組合，考查函數(shù)零點問題和含參不等式恒成立問題.第一問難度不大，但審題易出錯，求的是f′(x)的零點問題.第二問是含參不等式恒成立問題，考查數(shù)形結(jié)合的方法，難度不大.

解(1)設(shè)g(x)= f′(x)，則g(x)= cos x+x sin x-1，g′(x)=x cos x.當(dāng)時，g′(x)＞0；當(dāng)時，g′(x)＜0，所以g(x)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.又故g(x)在(0,π)存在唯一零點.所以f′(x)在(0,π)存在唯一零點.

說明考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及零點的存在性定理.

(2)的解法一由題設(shè)知f(π)≥aπ，f(π)= 0，可得a ≤0.由(1)知，f′(x)在(0,π)只有一個零點，設(shè)為x0，且當(dāng)x ∈(0,x0)時，f′(x)＞0；當(dāng)x ∈(x0,π)時，f′(x)＜0，所以f(x)在(0,x0)單調(diào)遞增，在(x0,π)單調(diào)遞減.又f(0)= 0，f(π)= 0，所以，當(dāng)x ∈[0,π] 時，f(x)≥0.又當(dāng)a ≤0，x ∈[0,π]時，ax ≤0，故f(x)≥ax.因此，a 的取值范圍是(-∞,0].

說明1恒成立問題，利用一般與特殊的關(guān)系，特殊值法縮小參數(shù)討論范圍，得到a ≤0 的必要性，只需證明a ≤0 的充分性.

說明2由第一問，f(x)的圖像與性質(zhì)已確定，因此由第二問中不等式兩邊的函數(shù)f(x)和y = ax 的圖像可得a 的取值范圍是(-∞,0].數(shù)形結(jié)合的方法直觀地判斷出a 的取值范圍是(-∞,0]，獲得了對參數(shù)a 的范圍討論的分界點0.

說明3往年高考中，第一問獲得的函數(shù)圖像與性質(zhì)，第二問常常會用到，所以在問題的轉(zhuǎn)化中需以保留或還原第一問獲得的函數(shù)為解題的切入點，在2019年廣州綜合測試(二)文21 也考查了這種化歸思想.

(2)的解法二(分離變量法)當(dāng)x = 0 時，不等式成立.當(dāng)時，f(x)≥ ax 等價于則令 k(x)=2x cos x + x2sin x - 2 sin x，則k′(x)= x2cos x.當(dāng)x ∈時，k′(x)＞0； 當(dāng)時，k′(x)＜0，所以k(x)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.又k(0)=0，-2 ＞0，k(π)= -2π，故k(x)在(0,π)存在唯一一個零點，設(shè)為x1.當(dāng)x ∈(0,x1)時，h′(x)＞0； 當(dāng)x ∈(x1,π)時，h′(x)＜0，所以h(x)在(0,x1)單調(diào)遞增，在(x1,π)單調(diào)遞減.又limx→0+h(x)= 0，h(π)= 0，所以當(dāng)x ∈[0,π]時，h(x)≥0.因此a 的取值范圍是(-∞,0].

說明不等式進(jìn)行“參變分離”后，即轉(zhuǎn)化為求一個不含參的新函數(shù)的最值問題，再把這個最值與a 進(jìn)行比較即可[2].求新函數(shù)的最值過程中，熟練運用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖像和性質(zhì)，每一次求導(dǎo)為了獲得導(dǎo)函數(shù)的符號，從而獲得原函數(shù)的單調(diào)性并作出原函數(shù)的大致圖像進(jìn)一步解決問題.

(2)的解法三由題設(shè)知f(π)≥πa，f(π)= 0，可得a ≤0.設(shè)h(x)=f(x)-ax=2 sin x-x cos x-x-ax.則h′(x)=cos x+x sin x-a-1，h′′(x)=x cos x.當(dāng)時，h′′(x)＞0；當(dāng)時，h′′(x)＜0，所以h′(x)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.又h′(0)= -a ＞0，-a-1 ＞0，h′(π)=-2-a.

當(dāng)a ＜-2 時，得h′(π)＞0，所以h′(x)＞0，從而h(x)在[0,π]上單調(diào)遞增，所以h(x)≥h(0)=0；

當(dāng)-2 ≤a ≤0 時，得h′(π)＜0，所以h′(x)在(0,π)內(nèi)存在唯一一個零點，記為x1.當(dāng)x ∈(0,x1)時，h′(x)＞0；當(dāng)x ∈(x1,π)時，h′(x)＜0，所以h(x)在(0,x1)單調(diào)遞增，在(x1,π)單調(diào)遞減.又h(0)= 0，h(π)= -aπ ≥0，所以當(dāng)x ∈[0,π]時，h(x)≥0.

綜上所述，a 的取值范圍是(-∞,0].

說明解法三對不等式恒等變形(移項)后，構(gòu)造新函數(shù)來解決問題，雖然沒有解法一簡便，但由于新函數(shù)h(x)= f(x)- ax 的二階導(dǎo)與f(x)的二階導(dǎo)相同，所以h(x)= f(x)-ax 的一階導(dǎo)函數(shù)圖像是f(x)的一階導(dǎo)函數(shù)圖像上下平移所得，類似第一問研究f(x)的函數(shù)圖像與性質(zhì)的過程，不難得到h(x)的函數(shù)圖像的討論.

二、近三年全國I卷函數(shù)與導(dǎo)數(shù)試題的考點分析

表1 近三年全國I卷函數(shù)與導(dǎo)數(shù)試題考點與分值統(tǒng)計表(理科)

表2 近三年全國I卷函數(shù)與導(dǎo)數(shù)試題考點與分值統(tǒng)計表(文科)

通過對近三年全國I卷函數(shù)與導(dǎo)數(shù)試題考點分析，可以發(fā)現(xiàn)，全國I卷對函數(shù)與導(dǎo)數(shù)內(nèi)容的考查總體穩(wěn)定.客觀題考查冪指對的函數(shù)值大小比較，函數(shù)的圖像，曲線的切線方程基本問題，基本方法和通解通法；解答題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖像和性質(zhì)的常見題型(函數(shù)極值、零點問題、不等式恒成立問題)和常用思想方法(數(shù)形結(jié)合、分類討論，轉(zhuǎn)化與化歸).與往年不同之處在于，客觀題的題號較大幅度地前移，主觀題的題號也由往年的21題移至20題，難度大大降低.理科試題由往年的“一大兩小共22 分”變?yōu)椤耙淮笕」?7 分”，文科試題保持“一大三小共27 分”，且文、理科的客觀題首次使用一模一樣的試題.解答題不同于往年以冪、指、對式和含參的二次三項式、含參的分式組成的函數(shù)為載體，首次引進(jìn)了新的組合元素—三角函數(shù)，但不變的是方法，需培養(yǎng)學(xué)生解決新問題的心理素質(zhì).

三、備考建議

1.認(rèn)真研究考試大綱，全面?zhèn)淇几呖济}的依據(jù)是《考試大綱》，不是往年高考真題，復(fù)習(xí)備考必須把考綱要求的內(nèi)容都認(rèn)真復(fù)習(xí)一遍，不放過任何一個可能考查到的知識點，注意在知識的交匯處設(shè)計問題，培養(yǎng)學(xué)生綜合處理問題的能力.[3]因此，不能將高考函數(shù)壓軸題考查的函數(shù)模型定格在往年高考的模型中，今年全國I卷文理20題的函數(shù)模型都引進(jìn)了三角函數(shù)，跳出了以冪指對式和含參的二次三項式、含參的分式組成的函數(shù)局限.體現(xiàn)了高考對創(chuàng)新型人才的選拔標(biāo)準(zhǔn)，但變的是形式，不變的是方法.在復(fù)習(xí)備考中，教師應(yīng)精選以各種函數(shù)模型為載體的函數(shù)與導(dǎo)數(shù)壓軸題進(jìn)行教學(xué)，讓學(xué)生深刻體會“換湯不換藥”、“萬變不離其宗”的解題過程，同時，也能開闊學(xué)生視野，在高考中習(xí)以為常地面對新問題.

2.重視概念教學(xué)在函數(shù)與導(dǎo)數(shù)壓軸題中，有很多重要的概念—導(dǎo)數(shù)、極值點、函數(shù)零點、不等式恒成立、不等式能成立、基本初等函數(shù)的圖像與性質(zhì)等.在復(fù)習(xí)備考中，首先讓學(xué)生深刻的理解好以上概念，才能更好地解決問題.

導(dǎo)數(shù)(1)導(dǎo)數(shù)是一個函數(shù)，導(dǎo)數(shù)的全稱是導(dǎo)函數(shù)，只是簡稱導(dǎo)數(shù)而已，能理解導(dǎo)數(shù)符號f′(x)是一個函數(shù)符號，是一個關(guān)于x 的函數(shù).(2)導(dǎo)數(shù)是原函數(shù)圖像中任意一點切線的斜率，是原函數(shù)圖像中切線的斜率關(guān)于x 的函數(shù)，導(dǎo)數(shù)大于零，原函數(shù)遞增，導(dǎo)數(shù)小于零，原函數(shù)遞減.另外，同一起點的兩個函數(shù)圖像增長的快慢可通過比較兩個函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)大小關(guān)系，如h(x)= sin x，v(x)= ln(1+x)的圖像在的交點情況說明，類似同一起跑線上的追及問題，函數(shù)圖像增長的快慢，類比加速度的大小，h′(x)＞v′(x)，說明h(x)比v(x)增長地快，h′(x)＜v′(x)，說明h(x)比v(x)增長地慢.

極值點若x=x0是函數(shù)f(x)的極值點，需同時滿足兩個條件：(1)f′(x0)=0，(2)f(x)在x=x0附近導(dǎo)函數(shù)異號.極值是f(x)在x = x0附近的局部性質(zhì)，通過舉反例，讓學(xué)生深刻理解極值的兩個條件缺一不可，并在解題中規(guī)范表達(dá).

函數(shù)零點全面理解函數(shù)零點的概念和零點存在性定理，尤其是函數(shù)零點與方程的根的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系，有利于學(xué)生在解題中靈活轉(zhuǎn)化問題，化繁為簡.判斷零點個數(shù)問題，除了滿足零點存在性定理，還需注意函數(shù)單調(diào)性說明.

不等式恒成立需讓學(xué)生從兩個維度認(rèn)識不等式恒成立問題：(1)不等式(2)恒成立.對于不等式，需讓學(xué)生認(rèn)識到不等式可以恒等變形，可將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題，將陌生問題轉(zhuǎn)化為熟悉問題.對于恒成立，應(yīng)讓學(xué)生認(rèn)識到恒成立是一個一般性結(jié)論，特殊情況也成立，可代入特殊值縮小參數(shù)討論的范圍.也可將恒成立所在的區(qū)間劃分為若干個區(qū)間，對某些區(qū)間容易證明不等式恒成立，只需重點討論其余區(qū)間.

不等式能成立需讓學(xué)生從兩個維度認(rèn)識不等式恒成立問題：(1)不等式(2)能成立.對于能成立，應(yīng)讓學(xué)生認(rèn)識到能成立是個存在性問題，不等式有解的問題.

基本初等函數(shù)的圖像和性質(zhì)熟練基本初等函數(shù)的圖像和性質(zhì)，以及基本初等函數(shù)之間的大小關(guān)系.如x ∈(-1,0)時，sin x ＞x ＞ln(1 + x)； x ∈(0,+∞)時，ex＞x+1，ex＞x2(如圖1)，ln x ≤x-1 ＜x ＜x2(如圖(如圖3)，(如圖(如圖5)； x ∈(-∞,0)時，(如圖6).在研究函數(shù)趨向性時，常常利用以上函數(shù)關(guān)系將指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)放縮成冪函數(shù).

圖1

圖2

圖3

圖4

圖5

圖6

3.重視培養(yǎng)學(xué)生獨立思考能力和解決問題的能力在函數(shù)題中，常考查學(xué)生轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、分類討論的思想方法.在備考中，除了讓學(xué)生掌握這些數(shù)學(xué)思想方法，還要讓學(xué)生認(rèn)識到這些數(shù)學(xué)思想方法在解題中的相互作用，數(shù)形結(jié)合可讓學(xué)生直觀地理解問題和解決問題，直觀地發(fā)現(xiàn)分類討論的區(qū)間劃分.而在數(shù)形結(jié)合中，學(xué)生擅長畫簡單的函數(shù)圖像，所以將問題中的函數(shù)類型轉(zhuǎn)化為簡單的函數(shù)類型是解題的突破點.同時，還要培養(yǎng)學(xué)生新舊問題對比、化整為零地解決問題的思想方法和能力.在函數(shù)壓軸題的備考教學(xué)中，建議堂上示范加堂上訓(xùn)練，必要時一題一課，切記“貪心嚼不爛”.給學(xué)生足夠的獨立思考時間，讓學(xué)生在及時理解思路和發(fā)現(xiàn)疑難，反思、總結(jié)、優(yōu)化方法中提升解決問題的能力.

4.重視運算能力熟記求導(dǎo)公式和求導(dǎo)運算法則并做專題的求導(dǎo)運算訓(xùn)練.在高考中，求導(dǎo)正確至少得1 分，在激烈的競爭中，1 分之差在總分排名中常常有幾千名的差別.其次，求導(dǎo)正確是解函數(shù)題的重要前提和基礎(chǔ)，高考中，運算能力弱的學(xué)生常常因運算出錯而影響解題進(jìn)度，使解答進(jìn)入困境.[4]