2019年高考全國I卷立體幾何試題解析與備考建議

廣東省廣州市執(zhí)信中學(xué)(510062) 周 奇

立體幾何作為提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要載體，一直是高中數(shù)學(xué)的主干內(nèi)容，也是歷年高考必考的重點(diǎn)內(nèi)容之一.全國高考I卷試題對立體幾何的考查不偏不難，重基礎(chǔ)，考能力.然而從今年高考閱卷反饋的信息來看，文科學(xué)生在立體幾何題的解答題平均得分為4.5 分左右，理科學(xué)生為7.5 分左右，“空間想象”、“推理論證”和“運(yùn)算求解”等數(shù)學(xué)能力與素養(yǎng)還有待進(jìn)一步夯實(shí)提高.筆者有幸參加了2019年廣東省高考評卷工作，以下結(jié)合立體幾何題的解析和評卷過程中反映的問題，就如何在教學(xué)過程中培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力、提高推理論證能力和運(yùn)算求解能力等，談?wù)剛€(gè)人的認(rèn)識(shí)和思考，不足之處敬請批評指正.

1.試題呈現(xiàn)

2019年高考全國I卷對立體幾何的考查只有1 道小題(選擇題或填空題)，另加1 道解答題.在小題的考查上，文科和理科分別作為壓軸題出現(xiàn)，即文科第16題和理科第12題.解答題的題型比較常規(guī)，在所選幾何體上盡可能不與近幾年重復(fù)(此次載體是一個(gè)直四棱柱，近幾年除2016年理科I卷以三棱柱為載體外，其它均為椎體)，但仍然是常見的幾何體.

題目1(2019年高考全國I卷文科第16題)已知∠ACB = 90°，P 為平面ABC 外一點(diǎn)，PC = 2，點(diǎn)P 到∠ACB 兩邊AC,BC 的距離均為那么P 到平面ABC的距離為____.

題目2(2019年高考全國I卷理科第12題)已知三棱錐P -ABC 的四個(gè)頂點(diǎn)在球O 的球面上，PA = PB = PC，△ABC 是邊長為2 的正三角形，E,F 分別是PA,AB 的中點(diǎn)，∠CEF =90°，則球O 的體積為( )

題目3(2019年高考全國I卷文科第19題)如圖1，直四棱柱ABCD -A1B1C1D1的底面是菱形，AA1= 4，AB = 2，∠BAD = 60°，E,M,N 分別是BC,BB1,A1D 的中點(diǎn).

(1)證明：MN//平面C1DE；

(2)求點(diǎn)C 到平面C1DE 的距離.

題目4(2019年高考全國I卷理科第18題)如圖2，直四棱柱ABCD -A1B1C1D1的底面是菱形，AA1= 4，AB = 2，∠BAD = 60°，E,M,N 分別是BC,BB1,A1D 的中點(diǎn).

(1)證明：MN//平面C1DE；

(2)求二面角A-MA1-N 的正弦值.

圖1

圖2

2.解法研究

2.1 問題分析

《普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試大綱—數(shù)學(xué)(文、理科)》(以下簡稱《考試大綱》)對考生能力要求包括空間想象能力、抽象概括能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力、數(shù)據(jù)處理能力以及應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí).立體幾何突出考查了考生的空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力.

空間想象能力是對空間形式的觀察、分析、抽象的能力，主要表現(xiàn)為識(shí)圖、畫圖和對圖形的想象能力.識(shí)圖是指觀察研究所給圖形中幾何元素之間的相互關(guān)系；畫圖是指將文字語言和符號(hào)語言轉(zhuǎn)化為圖形語言以及對圖形添加輔助圖形或?qū)D形進(jìn)行各種變換；對圖形的想象主要包括有圖想圖和無圖想圖兩種.題目1 和題目2 首先要求考生通過題目的文字語言和符號(hào)語言轉(zhuǎn)化為圖形語言，即畫出合適的圖形，通過圖形根據(jù)題目所求內(nèi)容展開進(jìn)一步的想象，對圖形作出適當(dāng)變換，其中畫圖和對圖形的進(jìn)一步想象是對空間想象能力較高層次的要求.題目3 和題目4 要求考生結(jié)合題目文字和符號(hào)語言對題目所給出圖形中幾何元素之間的相互關(guān)系進(jìn)行觀察研究，需要根據(jù)題目所求對圖形添加輔助圖形，主要體現(xiàn)了對考生識(shí)圖和對圖形想象的要求.在空間想象能力方面，題目3 和4 的要求低于題目1 和2 的要求.

推理論證能力是指根據(jù)已知的事實(shí)和已獲得的正確數(shù)學(xué)命題，論證某一數(shù)學(xué)命題真實(shí)性的推理能力.題目3 和4作為解答題，不僅要求考生求解出正確的結(jié)論，而且對其推理論證的表述也有較高的要求；題目1 和2 作為選擇題或填空題，雖然對推理論證的表述不作要求，考查形式主要看考生最后得出的結(jié)論，但是對其根據(jù)圖形得出正確命題所需要的推理論證過程的要求仍然是較高的.

運(yùn)算求解能力是指根據(jù)法則、公式進(jìn)行正確運(yùn)算、變形和數(shù)據(jù)處理，能根據(jù)問題的條件尋求與設(shè)計(jì)合理、簡捷的運(yùn)算途徑，能根據(jù)要求對數(shù)據(jù)進(jìn)行估計(jì)和近似運(yùn)算.題目1 和2、題目3 和4 的第二問均需要在進(jìn)行充分論證的基礎(chǔ)上進(jìn)行運(yùn)算求解，再利用所求得的數(shù)據(jù)進(jìn)行的推理論證，并通過進(jìn)一步的列式和列方程進(jìn)行求解，最終得出正確結(jié)論.因此在運(yùn)算求解能力的考查上，這4 道題都有較高要求.

2.2 解法剖析

題目1 的解法剖析

《考試大綱》提出了對考生空間想象力的識(shí)圖和畫圖要求，考生在解決此題時(shí)對識(shí)圖和畫圖的不同認(rèn)知，會(huì)直接導(dǎo)致其采取以下幾種不同解法：

解法1依題意，如圖3所示其中PE⊥CA 于E，PF⊥CB 于F.取EF 中點(diǎn)O，連接PO、CO.由已知可得△PEC ∽= △PFC，從而得到CF = CE，再由PE = PF，可得EF⊥面POC.過P 作CO 的垂線，垂足為H，可得PH 垂直平面ACB，所以PH 的長度即為點(diǎn)P 到平面ABC 的距離.由勾股定理可得：所 以△PCO 中，cos ∠PCO =所 以Rt△PCH 中，PH =即P 到平面ABC 的距離為

圖3

圖4

解法3(等體積法)證明過程同解法1，設(shè)點(diǎn)P 到平面ABC 的距離為h，則由VP?EFC= VE?PCO+VF?PCO可得EF 得

點(diǎn)評解法1 較好地將題目文字語言翻譯成圖形語言，并展開空間想象，根據(jù)基本圖形得到線面垂直，從而得出了題目所求高的具體位置，再根據(jù)圖形的線面位置關(guān)系進(jìn)行運(yùn)算求解.這樣的解題過程直觀易懂、清晰明了，但是發(fā)現(xiàn)高PH 的位置和通過解三角形來計(jì)算PH 的長度的過程對空間想象和運(yùn)算求解要求都較高.解法2 在畫圖的環(huán)節(jié)中先作出高，再以垂足H 為頂點(diǎn)構(gòu)造出正方形，后續(xù)的運(yùn)算求解比解法1 簡便了很多.可見，將文字語言和符號(hào)語言轉(zhuǎn)化為圖形語言，進(jìn)而對圖形添加輔助圖形和對圖形進(jìn)行各種變換這一過程的不同，使得運(yùn)算求解的過程也有很大的不同.

解法3 所用的等體積法是高中立體幾何求解點(diǎn)到面的距離最常用的方法之一，尤其是文科學(xué)生因?yàn)槿狈臻g向量這一工具，所以等體積法應(yīng)用得更加廣泛，學(xué)生對此也較為熟練.此題應(yīng)用等體積法運(yùn)算求解之前的推理論證過程作為填空題不需要將嚴(yán)格的表述過程寫出來，但在分析空間位置關(guān)系得出計(jì)算體積所需要的位置關(guān)系時(shí)是不可或缺的.

題目2 的解法剖析

圖5

解法1如圖5，連接FC，設(shè)PE =EA=x，根據(jù)題意得：PB = PC =PA = 2x，EF = x.在△PAC 中，由余弦定理得：cos ∠APC =所以在△PEC 中，由余弦定理可得：EC2=x2+2.在Rt△CEF 中，由EC2+EF2=CF2得：所以PA = PB = PC =過P 作PH⊥面ABC，垂足為H，根據(jù)題意可得點(diǎn)H 為△ABC 的外心，即CF 三等分點(diǎn)，所以三棱錐P -ABC 的外接球球心O 在PH 上.連接AO、AH，所以設(shè)外接球半徑為R，在Rt△AHO 中，由AH2+OH2= OA2得：所以球O 的體積為

此解法是大多數(shù)考生在考場上最直接最容易想到的方法.但如果算到PA = PB = PC =后，對數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，就會(huì)發(fā)現(xiàn)三棱錐P -ABC 中頂點(diǎn)P 的位置是如何被確定下來的.

解法2求得PA = PB = PC =的過程同解法1.由AB = BC = AC = 2 可得，PA、PB、PC 兩兩垂直.因此三棱錐P -ABC 與棱長為的正方體是同一個(gè)外接球，從而求得其外接球半徑

現(xiàn)階段，國內(nèi)ESP教學(xué)老師大多是英語語言學(xué)或文學(xué)專業(yè)出身的大學(xué)英語教師，雖具有不錯(cuò)的英語語言能力、較豐富的英美國家文化知識(shí)和相關(guān)英語教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，但他們所儲(chǔ)備的學(xué)科知識(shí)與教授ESP課程所需專業(yè)知識(shí)（如金融、法律、力學(xué)、醫(yī)學(xué)）之間有不小的距離。換言之在ESP課程所需的相關(guān)學(xué)科知識(shí)上，他們沒有足夠?qū)I(yè)知識(shí)儲(chǔ)備和專業(yè)技能訓(xùn)練，更不用說去關(guān)注教授專業(yè)的最新發(fā)展。在知識(shí)體系缺乏的情況下，讓大學(xué)英語教師直接進(jìn)入ESP教學(xué)，無論對學(xué)生還是對教師都是極大的挑戰(zhàn)，教學(xué)效果難以得到有效保證。

解法2 在于對過程中數(shù)據(jù)進(jìn)行處理時(shí)，結(jié)合已知數(shù)據(jù)進(jìn)行了進(jìn)一步的“推理論證”，較大程度地簡化了求外接球半徑的計(jì)算過程.

若進(jìn)一步思考題目的本質(zhì)：確定頂點(diǎn)P 的位置的關(guān)鍵因素是條件“E,F 分別是PA,AB 的中點(diǎn)，∠CEF = 90°”，因此如何用好條件CE⊥EF，便是解題最關(guān)鍵的突破口了.

解法3由PA = PC，BA = BC 可得PB⊥AC.因?yàn)镋F//PB 且EF⊥CE，所以PB⊥CE.又因?yàn)镃E、AC為平面PAC 內(nèi)兩條相交直線，所以PB⊥平面PAC，從而可得PB⊥PA，PB⊥PC.進(jìn)而由PA⊥BC，PC⊥AB 得到PA⊥平面PBC，PC⊥平面PAB.所以PA、PB、PC 兩兩垂直.以下解題過程同解法2.

線面垂直是高中立體幾何中的一個(gè)基本關(guān)系，當(dāng)中蘊(yùn)含了非常豐富的對圖形進(jìn)行識(shí)別和想象的內(nèi)容.本題也是一個(gè)由平面幾何中垂直平分線性質(zhì)定理衍生出的基本圖形：空間內(nèi)共底的兩個(gè)等腰三角形頂角的頂點(diǎn)連線與底邊所在的直線垂直.當(dāng)然，此題由向量方法利用條件CE⊥EF 也很容易得到PA、PB、PC 兩兩垂直：

解法4根據(jù)題意由可得：所以因?yàn)锽P⊥CA，即所以即BP⊥CP.進(jìn)而可得BP⊥AP，AP⊥CP，所以PA、PB、PC 兩兩垂直.

點(diǎn)評以上四種解法分別代表了考生在面對一道立體幾何題時(shí)，對題意和空間圖形的理解的不同而采取的相對復(fù)雜或簡捷的方法.如果考生在空間想象中對畫圖和對圖形的識(shí)別達(dá)到一定的深度，對幾何、代數(shù)方法運(yùn)用靈活自如，由邊長相等發(fā)現(xiàn)共底的等腰三角形組成的基本圖形，那么在構(gòu)建本題圖形架構(gòu)時(shí)就更容易得出CE⊥EF 為確定點(diǎn)P 位置的條件，從而得到PA、PB、PC 兩兩垂直，即可發(fā)現(xiàn)三棱錐的特殊性，得到借助正方體來解決三棱錐外接球問題的思路.這一解題思路將空間想象、推理論證和運(yùn)算求解有機(jī)結(jié)合，有效地簡化了解題過程.

另外值得一提的是，題目2 中由共底的等腰三角形得到垂直關(guān)系的基本圖形的理解和應(yīng)用跟題目1 是相同的，由此可見高考命題者在文、理科試題命制過程中的煞費(fèi)苦心.

題目3 和4 第(1)問的解法剖析

解法1如圖6，連結(jié)B1C，ME，因?yàn)镸,E 分別為BB1,BC 的中點(diǎn)，所以ME//B1C，且ME =又因?yàn)镹 為A1D 的中點(diǎn)，所以由題設(shè)知A1B1//DC，A1B1= DC，可得B1C//A1D，B1C = A1D，故ME//ND，ME = ND，因此四邊形MNDE 是平行四邊形，所以MN//DE.又MN 不在平面C1DE 內(nèi)，所以MN//面C1DE.

圖6

圖7

解法2如圖7，設(shè)F 為AD 的中點(diǎn)，連接BF，NF.因?yàn)镹、F 分別為A1D、AD 的中點(diǎn)，所以NF//AA1，因?yàn)镸 是BB1中點(diǎn)，所以因?yàn)锳A1//BB1，AA1= BB1，所以NF//MB，NF = MB，故四邊形NFBM 為平行四邊形，所以MN//BF.又在菱形ABCD 中，F(xiàn) 是AD 的中點(diǎn)，E 是BC 的中點(diǎn)，AD//BC，AD = BC，所以DF//BE，DF = BE，故四邊形BFDE為平行四邊形，于是BF//DE，所以MN//DE，又MN 不在平面C1DE 內(nèi)，所以MN//面C1DE.

解法3如圖8，連接AC，BD，A1C1，B1D1，設(shè)它們的交點(diǎn)分別為O 和O1.因?yàn)樗倪呅蜛BCD 是菱形，所以AC⊥BD，分別以O(shè)A，OB，OO1為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則M(0,1,2)，所以

圖8

解法4建系和寫出部分向量坐標(biāo)的過程同解法3.設(shè)n=(x,y,z)為平面C1DE 的法向量，由

點(diǎn)評以含有60°角的菱形作為底面的直四棱柱是本題的載體，因?yàn)槿齻€(gè)中點(diǎn)確定了MN 和平面DC1E 的位置關(guān)系，所以在接下來的證明中只需要恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用好中點(diǎn)和直四棱柱的條件就可以實(shí)現(xiàn)目標(biāo).本題題目條件給出了圖形，屬于“有圖想圖”的類型，考生應(yīng)結(jié)合題目條件對圖形的線面位置關(guān)系進(jìn)行識(shí)別，并構(gòu)建適當(dāng)?shù)妮o助線進(jìn)行解題.解法1 和解法2 體現(xiàn)了兩種不同的解題習(xí)慣：直接構(gòu)造以MN 和DE為對邊的四邊形，通過證明其為平行四邊形證得MN//DE；或平移MN 至底面ABCD 中，再證明其平行于DE，通過平行的傳遞性得到MN//DE.解法1 和解法2 在高考復(fù)習(xí)過程中都屬于常用的方法.就證明的簡潔度而言，解法2 稍顯冗長.解法3 和解法4 屬于以空間向量作為工具證明線面位置關(guān)系的方法，在熟悉建系和寫出相關(guān)量的坐標(biāo)的情況下，此方法不失為一個(gè)好方法.另外值得一提的是：在線面平行的判定中，由面面平行去達(dá)成也是常用的方法，但是此題由面面平行去求證時(shí)的輔助線構(gòu)造起來比較麻煩，過程相對復(fù)雜，表述顯得冗長，耗時(shí)較多，評卷過程中有考生用到此方法，但絕大部分都存在解題過程的缺漏，導(dǎo)致“對而不全”的失分，因此對于本題此方法不作推薦.

題目3 第(2)問解法剖析

解法1如圖9，過C 作C1E 的垂線，垂足為H，連接

DB.

圖9

由直四棱柱ABCD - A1B1C1D1知C1C⊥平面ABCD，可得DE⊥C1C.因?yàn)樵诹庑蜛BCD 中，∠BAD =60°，且E 為BC 的中點(diǎn)，可得DE⊥BC.因?yàn)锽C ∩C1C =C，所以DE⊥平面C1CE.從而得到CH⊥DE.因?yàn)镈E ∩C1E = E，所以CH⊥平面C1DE.故CH 的長度為點(diǎn)C 到平面C1DE 的距離.在R t △C1CE 中，因?yàn)镃1C =4，CE =1，所以故

從而點(diǎn)C 到平面C1DE 的距離為

解法2設(shè)C 到平面C1DE 的距離為h，由VC?C1DE=VC1?CDE得：

故

即C 到平面C1DE 的距離為

解法3同第(1)問解法3 建立空間直角坐標(biāo)系，先求出平面C1DE 的法向量再由得：點(diǎn)C 到平面C1DE 的距離為

點(diǎn)評解法1 通過分析線面垂直關(guān)系得出所求高的位置，從而通過直接求解線段的長度來求得點(diǎn)到平面的距離.此方法對考生的空間想象能力和推理論證能力的要求較高，運(yùn)算求解能力要求相對較低；解法2 屬于等體積法求解點(diǎn)到平面的距離.此題作為文科數(shù)學(xué)的解答題，文科考生對等體積法運(yùn)用較為熟練，因此絕大部分考生選擇了此方法求解，但解題過程要求按照“畫圖→論證→運(yùn)算”的要訣來進(jìn)行；解法3 屬于空間向量法，要求考生熟悉建系的方法和正確寫出相關(guān)量的坐標(biāo)以及正確運(yùn)用空間向量求解點(diǎn)面距離的公式.

題目4 第(2)問解法剖析

解法1同第(1)問解法3 建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得平面A1MA 的法向量平面A1MN 的法向量由得二面角A-MA1-N 的正弦值為

圖10

解法2如圖10，作AQ⊥A1D，垂足為Q，連接QM.由已知可得DE⊥面A1ADD1.從而得到DE⊥AQ，即MN⊥AQ.所以AQ⊥面A1MD，從而得到AQ⊥A1M，由已知可得AM⊥A1M，從而得到A1M⊥面AQM，所以A1M⊥QM，所以∠QMA 為所求二面角的平面角，在Rt△A1AD 中可得所以在△AMQ 中，所求正弦值為

解法3如圖11，過點(diǎn)D 作DF⊥AB，垂足為F，根據(jù)題意可得DF⊥面A1ABM，過點(diǎn)D 作DG⊥A1M，垂足為G，連結(jié)GF，由A1M⊥DF 可得A1M⊥面DFG，所以A1M⊥GF，所以∠DGF 為平面A1DM 與平面A1ABM 所成角的平面角.由勾股定理可得DM =從而得到所以

圖11

圖12

解法4如圖12，取AB 中點(diǎn)F，連結(jié)FD，則DF⊥AB，可得DF⊥面AA1M，所以△A1DM 在面A1AM 上的射影為△A1FM，根據(jù)題意可求得，S△A1FM= 3，S△A1DM=則二面角A-MA1-N 的平面角(記為θ)的余弦值所以

點(diǎn)評題目4 第(2)問是一個(gè)求二面角的平面角的問題，難度中等.不論是利用空間向量解題(解法1)，還是幾何法直接找出二面角的平面角的位置(解法2 和3)，或者還是利用投影法去解決，都需要正確把握所求二面角的位置、直棱柱中的線面關(guān)系以及通過“畫圖→論證→運(yùn)算”的步驟來解決問題.解法1 在建系前必須對圖形中線面關(guān)系有一個(gè)整體認(rèn)識(shí)：建系的原點(diǎn)取在什么位置更方便表示點(diǎn)的坐標(biāo).當(dāng)然，建系時(shí)除了解法1 所給出的方法外，還可以以點(diǎn)D、點(diǎn)A 為原點(diǎn)建系.本題求法向量的過程不復(fù)雜，計(jì)算也不繁雜，所以只要正確建好系，問題解決起來比較容易；解法2 和3，需要考生對二面角的平面角的概念理解清晰，結(jié)合本題具體情境，構(gòu)造出方便運(yùn)算的角來求解；解法4 利用正投影與對應(yīng)圖形的面積比來求得二面角余弦值，則需要先認(rèn)識(shí)到面A1MN 等同于面A1DM、面A1AM 等同于面A1ABM，然后由DF 垂直平面A1ABM 來進(jìn)行求解.在這一問中，不同于第一問求證線面平行，線面垂直關(guān)系的應(yīng)用是解決問題的關(guān)鍵，由此也可見命題者在考查知識(shí)點(diǎn)的全面性的良苦用心.

3.備考建議

3.1 落實(shí)對基本概念、基本方法和基本圖形的掌握，提高學(xué)生的應(yīng)試能力

評卷過程中，遇到學(xué)生對基本概念和方法不熟悉的情形比比皆是：比如在推理論證的表述時(shí)不知道條件“直四棱柱”能直接推出和不能直接推出什么結(jié)論；又比如不知道面面平行直接得到線線平行所需要的條件是兩直線必須共面；還比如應(yīng)用線面垂直得到線線垂直來判定另一組線面垂直時(shí)，通過繞到面面垂直來實(shí)現(xiàn)，雖然沒有錯(cuò)誤，但表述冗長且浪費(fèi)時(shí)間等等.解答題所反映的問題，在很大程度上反映了考生失分最主要的原因正是對基本概念、基本方法的掌握不佳.2019年高考試題的風(fēng)向，已經(jīng)進(jìn)一步表明了高考命題對基礎(chǔ)概念、原理、方法的重視.在落實(shí)學(xué)生對基本概念、基本方法的理解時(shí)，對比各概念和方法的聯(lián)系，才能幫助學(xué)生更深刻和靈活地掌握其內(nèi)涵和外延.比如在復(fù)習(xí)面面平行的性質(zhì)定理時(shí)，不妨先從對空間線線位置關(guān)系等概念展開：空間兩直線的位置關(guān)系分為平行、相交和異面，而分別在兩個(gè)平行平面內(nèi)的兩條直線，因?yàn)椴豢赡芟嘟?，所以只需排除“異面”就可以得到“平行?當(dāng)學(xué)生對該性質(zhì)理解得更加自然和深刻時(shí)，運(yùn)用其解決問題的思路才能更加清晰，方法才能更加靈活.

同時(shí)，適時(shí)地總結(jié)一些常用的基本圖形，既能形成對立體幾何基礎(chǔ)概念和原理的有益補(bǔ)充，還能幫助學(xué)生加深對基本概念和基本方法的理解，從而進(jìn)一步提高學(xué)生應(yīng)試能力.基本圖形的總結(jié)也并不用特意費(fèi)時(shí)間而為之，在日常講評習(xí)題的過程中，適時(shí)地做出總結(jié)，更方便教師通過試題幫助學(xué)生進(jìn)行歸納提升，提高習(xí)題講評的效率效果.比如針對2019年高考立體幾何試題可以總結(jié)的基本圖形有：特殊四面體的外接球球心位置、空間內(nèi)共底的兩個(gè)等腰三角形頂角的頂點(diǎn)連線與底邊所在的直線垂直、空間內(nèi)到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角所在平面的正投影在該角的平分線上、到底面各頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在底面的正投影是底面的外心等等.

提高學(xué)生對基本概念、基本方法和基本圖形的掌握程度，可以進(jìn)一步幫助其在考場上快速、準(zhǔn)確地找到解題思路和方法，也可以幫助其在表述解題過程時(shí)思路更加清晰和到位.因此，在日常的備考中，不斷落實(shí)學(xué)生對基本概念、基本方法、基本圖形的掌握，可以更加有效地提高學(xué)生的應(yīng)試能力.

3.2 落實(shí)空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力的培養(yǎng)，提高學(xué)生的解題能力

《考試大綱》對數(shù)學(xué)能力的考查，強(qiáng)調(diào)“以能力立意”，以知識(shí)為載體，從問題入手.立體幾何突出考查空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力.空間想象能力主要體現(xiàn)在對文字語言、符號(hào)語言及圖形語言的互相轉(zhuǎn)化上，推理論證能力強(qiáng)調(diào)科學(xué)性、嚴(yán)謹(jǐn)性、抽象性，運(yùn)算求解能力則主要是對算法和推理的考查.加強(qiáng)對學(xué)生空間想象、推理論證、運(yùn)算求解能力的培養(yǎng)，以更有效地提高學(xué)生對立體幾何的解題能力.比如，師生在課堂上解決立體幾何的問題時(shí)，不妨先不動(dòng)筆，而是一起想象圖形并進(jìn)行心算，以此來引導(dǎo)學(xué)生在頭腦中構(gòu)造圖形、在想象圖形的過程中提高能力.又比如高考題、模擬題經(jīng)常涉及的有關(guān)球的內(nèi)接或外切幾何體問題，想要將立體圖形在紙上畫得標(biāo)準(zhǔn)，沒有一點(diǎn)美術(shù)基礎(chǔ)和時(shí)間的花費(fèi)是很難做到的，而若通過直接想象，在頭腦中構(gòu)造出圖形，根據(jù)解題所需抽出“框架”：某一簡單的幾何體或者平面圖形，再將其畫在紙上進(jìn)行嚴(yán)格的推理論證和運(yùn)算求解，解題效率會(huì)更高；同樣地，對于立體幾何中需要運(yùn)算求解的問題，因?yàn)榻?jīng)常需要對后續(xù)計(jì)算步驟有一定的預(yù)估能力，所以先進(jìn)行一定的心算，再選擇最佳方法進(jìn)行精確的筆算，得出準(zhǔn)確結(jié)果，運(yùn)算求解的效果也會(huì)更好.這樣帶著學(xué)生想象圖形和心算，不僅解題的效率提高、解題效果更好，而且在過程中所形成和鍛煉的能力也會(huì)更強(qiáng).

3.3 重視關(guān)鍵能力、必備品格與價(jià)值觀念的形成，提升學(xué)生的核心素養(yǎng)

在評卷過程中，經(jīng)常有這樣一些例子：學(xué)生在求證線面平行時(shí)，已經(jīng)證明到一組線線平行(求證即將結(jié)束)，卻又繞到其它地方去證明(比如繞到先證明面面平行再證明線面平行).出現(xiàn)這類問題的原因，除了對基本概念基本方法的掌握有問題外，應(yīng)該還有推理論證素養(yǎng)方面的問題.之所以繞路，可能僅僅是因?yàn)榭记熬毩藥椎烙擅婷嫫叫凶C明線面平行的題或者僅僅會(huì)由面面平行去證明線面平行的方法，這正是由于在備考的過程中只重視了“刷題”而沒有重視真正提高學(xué)生的素養(yǎng)來提高其對解題的理解.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是指通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)而逐步形成的具有數(shù)學(xué)特征的關(guān)鍵能力、必備品格與價(jià)值觀念.立體幾何中所包含的各種素養(yǎng)，是需要教師在深刻地理解知識(shí)、了解學(xué)生的基礎(chǔ)上從學(xué)生的角度出發(fā)去培育，也是需要在平時(shí)的教學(xué)過程中，由師生一起分析問題、探究問題，在解決問題的過程中去發(fā)展的.首先，教師要更深刻地去認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)、理解數(shù)學(xué)，就要從真正地研究教材、理解教材開始.比如教材在空間兩異面直線夾角的定義中，先推出了等角定理(如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ))，再推出兩直線的夾角的定義(直線a、b 是異面直線，經(jīng)過空間任意一點(diǎn)O，分別引直線a′//a，b′//b，則把直線a′和b′所成的銳角或直角叫做異面直線a和b 所成的角)，這一編排本身便是一個(gè)邏輯推理：有了等角定理這個(gè)理論準(zhǔn)備，兩異面直線轉(zhuǎn)化為“角”所需的要素“頂點(diǎn)和兩邊”才符合邏輯.在復(fù)習(xí)備考過程中，讓學(xué)生多體會(huì)這種內(nèi)在聯(lián)系，使其逐步形成空間想象和推理論證素養(yǎng)；其次了解學(xué)生即要把握學(xué)生真實(shí)的思維活動(dòng)，了解學(xué)生的想法是如何產(chǎn)生的，比如前面提到的證明線面平行時(shí)“繞路”的例子，教師可以通過分析出現(xiàn)此問題的原因，了解學(xué)生出現(xiàn)錯(cuò)誤或正確的解法背后的思維方式，為提高學(xué)生對立體幾何的學(xué)習(xí)和逐步形成關(guān)鍵能力提供幫助；再次師生一起分析問題、探究問題，在共同解決問題的過程中去形成和發(fā)展良好的品格與價(jià)值觀念.在分析問題和探究問題的過程中培養(yǎng)學(xué)生直觀想象和推理論證能力，借助理性思維來提高其對空間量的認(rèn)知力，并用數(shù)學(xué)的眼光分析空間問題.在教學(xué)實(shí)踐中不斷探索和實(shí)踐，在實(shí)踐中改進(jìn)我們的教學(xué)方法和策略，從真正提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)的角度來提高立體幾何的教學(xué)效率.