對偶四元數(shù)法在穩(wěn)健點云配準中的應用

李明峰，陸海芳，趙湘玉

(南京工業(yè)大學測繪科學與技術學院，江蘇 南京 211800)

點云配準是三維激光掃描數(shù)據(jù)處理的關鍵步驟之一，其配準精度將直接影響后續(xù)數(shù)據(jù)處理及三維建模質(zhì)量。點云配準的實質(zhì)是將某一坐標系下的數(shù)據(jù)轉換到另一坐標系，該過程可視為剛體的旋轉和平移。剛體運動估計方法分為迭代法和解析法，迭代法通過構造歐拉角、正交矩陣或單位四元數(shù)形式的旋轉矩陣，建立牛頓迭代模型，求解三維坐標轉換參數(shù)。該方法計算精度高，但解算過程煩瑣，計算效率較低，且對初值選取要求較高，選取不當易造成迭代結果不收斂；解析法先通過奇異值分解、正交矩陣或單位四元數(shù)法求解旋轉矩陣，再獲取平移向量。該方法計算效率高，但由于分步求解旋轉矩陣和平移向量，易產(chǎn)生耦合誤差，因此計算精度較低[1-4]。

研究表明，基于對偶四元數(shù)的點云配準方法能夠統(tǒng)一描述剛體旋轉和平移運動，直接求解旋轉矩陣和平移向量，避免了旋轉和平移參數(shù)分步求解產(chǎn)生的耦合誤差[5]，計算精度高且無需迭代，計算效率高，是一種簡便高效的點云配準方法。但該方法并未顧及參與運算的點云特征點含有粗差的情況。

為克服粗差影響，本文結合穩(wěn)健估計中選權迭代思想，提出一種基于對偶四元數(shù)的穩(wěn)健點云配準方法。該方法首先遵循加權最小二乘原則，構建基于對偶四元數(shù)的穩(wěn)健點云配準模型；然后運用拉格朗日乘數(shù)法推導轉換參數(shù)計算公式，并根據(jù)矩陣最大特征值對應的特征向量求解旋轉矩陣和平移向量；根據(jù)坐標轉換殘差重新確定各公共特征點的權值，進行下一輪參數(shù)計算，反復迭代，直至相鄰兩次參數(shù)估計值之差在限值范圍內(nèi)為止；最終求得轉換參數(shù)在抗粗差前提下的最優(yōu)估計。

1 基于對偶四元數(shù)的穩(wěn)健點云配準模型

對偶四元數(shù)是元素為四元數(shù)的對偶數(shù)，其表達式為

(1)

(2)

式中，R為旋轉矩陣；T為平移向量;

(3)

設待配準點云集合中的特征點為Di(Xi,Yi,Zi)T，目標點云集合中對應特征點為DTi(XTi,YTi,ZTi)T，i=0,1,2,…,n表示兩個點云集合中第i對同名特征點，n表示同名特征點對數(shù)。點云坐標轉換通用模型為

DTi=RDi+T

(4)

對于每一對同名特征點，進行坐標轉換后存在誤差vi=(vxi,vyi,vzi)，vi=RDi+T-DTi，即

(5)

利用式(2)將式(5)表達成對偶四元數(shù)形式

(6)

基于加權最小二乘原則，進行點云配準的結果就是使點云集合中所有特征點的加權誤差平方和最小，即令下式誤差函數(shù)值最小

(7)

2 基于對偶四元數(shù)的穩(wěn)健點云配準方法

2.1 穩(wěn)健點云配準參數(shù)解算

將式(7)展開，整理可得

(8)

結合式(3)，采用拉格朗日求極值法，則新的目標函數(shù)為

(9)

(10)

(11)

(12)

將式(12)代入式(10)，計算可得

(13)

(14)

(15)

將式(14)和式(15)代入式(8)，化簡得

F(R,T)=C-λ1

(16)

2.2 穩(wěn)健點云配準權函數(shù)

權因子構造函數(shù)簡稱權函數(shù)，是基于對偶四元數(shù)的穩(wěn)健點云配準方法的關鍵，常用權函數(shù)有:

(1) Huber函數(shù)

(17)

(2) Danish函數(shù)

(18)

(3) IGGⅢ函數(shù)

(19)

2.3 穩(wěn)健點云配準解算步驟

基于對偶四元數(shù)的穩(wěn)健點云配準方法解算步驟如下：

(1) 讀取原始數(shù)據(jù)：公共特征點在待配準點云集合中坐標Di(Xi,Yi,Zi)T及其對應目標點云集合中坐標DTi(XTi,YTi,ZTi)T。

(3) 根據(jù)式(2)組成旋轉矩陣R和平移向量T。

(4) 根據(jù)式(6)計算坐標轉換殘差，并根據(jù)所選權函數(shù)重新計算各公共特征點的權因子，構造新的等價權元素。

(5) 將新的等價權元素代入式(13)，重復步驟(2)～(4)，當相鄰兩次坐標轉換參數(shù)差值均在限差范圍內(nèi)時，停止迭代。

3 試驗驗證

為了驗證基于對偶四元數(shù)的穩(wěn)健點云配準方法的實用性，采用Focus3DX330型三維激光掃描儀對布設球形標靶的某場景進行掃描，利用FARO Scene軟件提取相鄰兩測站對應靶球的中心坐標見表1。

表1 相鄰兩測站靶球中心坐標 m

分別采用對偶四元數(shù)法(DQ)和基于對偶四元數(shù)的穩(wěn)健點云配準方法(RDQ)解算轉換參數(shù)，RDQ法中權函數(shù)依次運用Huber函數(shù)(Huber-DQ)、Danish函數(shù)(Danish-DQ)和IGGⅢ函數(shù)(IGGⅢ-DQ)，各方法的解算精度σ0和迭代次數(shù)p見表2。

由表2可知：

(1) RDQ的3種方法中，Huber-DQ法和Danish-DQ法k0=1.0、IGGⅢ-DQ法k0=1.0，且k1=2.5時，各方法對應解算精度最高，最高解算精度均高于DQ法，其中IGGⅢ-DQ法最高解算精度高于Danish-DQ法，Danish-DQ法最高解算精度高于Huber-DQ法；當3種方法各自的調(diào)和系數(shù)在合理范圍內(nèi)取其他值時，解算精度均與DQ法相同。

(2) 從各個方法最高解算精度對應的迭代次數(shù)可看出，Huber-DQ法、Danish-DQ法和IGGⅢ-DQ法均犧牲了計算效率，提高了計算精度。

為了驗證RDQ法的抗差性，給待配準坐標系下的標靶中心坐標依次加入粗差(0.008,0.010,0.012)m(點位誤差為17.55 mm)，分別運用DQ法、Huber-DQ法、Danish-DQ法和IGGⅢ-DQ法計算粗差在不同位置下的轉換精度(σ0)和迭代次數(shù)(p)，結果見表3。粗差在不同位置下各個標靶的點位誤差如圖1所示。

由表3可知：

(1) 在特征點數(shù)據(jù)含粗差情況下，DQ法解算精度大大降低；無論粗差點位于何位置，RDQ法的解算精度均高于DQ法，其中IGGⅢ-DQ法精度略高于Danish-DQ法，Danish-DQ法精度顯著高于Huber-DQ法。說明通過選權迭代，粗差影響減較小，解算精度提高；相比Huber-DQ法，IGGⅢ-DQ法和Danish-DQ法抗差能力更強。

表2 各方法的轉換精度與迭代次數(shù)

表3 粗差在不同位置下各方法的解算精度及迭代次數(shù)

(2) 就迭代收斂效率而言，IGGⅢ-DQ法和Danish-DQ法迭代次數(shù)相當，均少于Huber-DQ法。說明IGGⅢ-DQ法和Danish-DQ法解算效率相當，均優(yōu)于Huber-DQ法。

由圖1可知：無論粗差點位于何位置，相較于DQ法，RDQ的3種方法均更能有效定位粗差位置，其中IGGⅢ-DQ法和Danish-DQ法不僅能夠準確定位粗差點，而且計算得到的點位誤差與加入的粗差相近，不含粗差的點，其點位誤差也相對較小。

4 結 語

本文針對點云特征點含有粗差的問題，遵循加權最小二乘原則，結合穩(wěn)健估計中選權迭代思想，提出了基于對偶四元數(shù)的穩(wěn)健點云配準方法，試驗結果表明：

(1) 在基于對偶四元數(shù)的穩(wěn)健點云配準方法中，Huber-DQ法識別和剔除粗差的能力較弱且解算效率較低，IGGⅢ-DQ法和Danish-DQ法不僅具有較強的粗差識別和剔除能力，解算效率也相對較高。

(2) 基于對偶四元數(shù)的穩(wěn)健點云配準方法克服了對偶四元數(shù)法抗差性弱的缺點，而且在不含粗差的情況下提高了點云配準精度，是一種更有效的點云配準方法，具有良好的應用價值。