基于基本概念的高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教學(xué)研究

☉江蘇省蘇州市吳江平望中學(xué) 沈亞平

自從高中數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)被提出，“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)”就日益被教育界重視和關(guān)注，其中許多的理論知識(shí)和研究成果也層出不窮.六大核心素養(yǎng)之首是“數(shù)學(xué)抽象”，這也是教育界的專家學(xué)者所重點(diǎn)研究和探索的對(duì)象.

我國(guó)著名教授史寧中曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：“數(shù)學(xué)在本質(zhì)上研究的是抽象的東西，數(shù)學(xué)的發(fā)展所依賴的最重要的基本思想就是‘?dāng)?shù)學(xué)抽象’.”大家都能夠熟知，數(shù)學(xué)概念在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中是基礎(chǔ)，是一切數(shù)學(xué)思維存在和產(chǎn)生的基本形式.從某種意義上來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)概念的形成過(guò)程其實(shí)也就是數(shù)學(xué)思維產(chǎn)生的過(guò)程，這也就是數(shù)學(xué)素養(yǎng)的養(yǎng)成過(guò)程.中國(guó)科學(xué)院院士李邦河曾經(jīng)這樣說(shuō)過(guò)：“數(shù)學(xué)的根本在于概念，而不在于技巧，一定程度上，數(shù)學(xué)技巧也是數(shù)學(xué)概念的一部分.”教師在教學(xué)過(guò)程中，怎樣巧妙安排和設(shè)計(jì)教學(xué)問題，以貼近生活的具體事實(shí)為例，抽取一類有著共同屬性或者本質(zhì)屬性的數(shù)學(xué)現(xiàn)象，從中發(fā)現(xiàn)其規(guī)律性，形成數(shù)學(xué)概念.這就要求教師自己有著對(duì)“數(shù)學(xué)抽象”素養(yǎng)的理解力，能夠在自己的課堂上巧妙運(yùn)用數(shù)學(xué)原理來(lái)解決現(xiàn)實(shí)生活中的問題，同樣也可以運(yùn)用生活中的同一類型的現(xiàn)象引導(dǎo)學(xué)生去探索其數(shù)學(xué)本質(zhì)，從而提升數(shù)學(xué)整體素養(yǎng).據(jù)此，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，切實(shí)有效地提升學(xué)生“數(shù)學(xué)抽象”素養(yǎng)，是每一個(gè)數(shù)學(xué)教師及教育工作人員應(yīng)該正視的嚴(yán)肅話題.本文就結(jié)合教學(xué)實(shí)踐的兩個(gè)具體案例來(lái)加以淺析.

案例1：

教師：回憶之前所學(xué)的函數(shù)內(nèi)容，哪些函數(shù)圖像是軸對(duì)稱的，又有哪些函數(shù)圖像是中心對(duì)稱的？

學(xué)生1：在三角函數(shù)中，y=sinx的圖像是中心對(duì)稱的，y=cosx的圖像是軸對(duì)稱的.

學(xué)生2：反比例函數(shù)的圖像是中心對(duì)稱的，標(biāo)準(zhǔn)方程為y=ax2+c的二次函數(shù)的圖像是軸對(duì)稱的.

教師：很好，那請(qǐng)兩個(gè)學(xué)生上來(lái)畫出軸對(duì)稱的二次函數(shù)的圖像及中心對(duì)稱的反比例函數(shù)的圖像.

學(xué)生：作出的圖像如圖1、圖2所示.

圖1 軸對(duì)稱

圖2 中心對(duì)稱

教師：同學(xué)們現(xiàn)在以小組形式簡(jiǎn)單討論一下，如何應(yīng)用表達(dá)式來(lái)表達(dá)出函數(shù)的對(duì)稱性.

學(xué)生：我們小組經(jīng)反復(fù)推斷，通過(guò)特殊值看出f（x）=x2，f（-x）=f（x），而對(duì)于反比例函數(shù)來(lái)說(shuō)f（-x）=-f（x）.

教師：有哪個(gè)小組可以證明一下這個(gè)結(jié)論.

學(xué)生：f（-1）=f（1）；f（-2）=f（2）；f（-3）=f（3），歸納發(fā)現(xiàn)，f（-x）=（-x）2=x2=f（x），所以f（-x）=f（x）.

教師：同學(xué)們分析得很不錯(cuò)，我們把圖像關(guān)于y軸對(duì)稱的函數(shù)稱為偶函數(shù).定義為：一般地，設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)锳，如果對(duì)于任意的x∈A，都有f（-x）=f（x），那么稱函數(shù)y=f（x）是偶函數(shù).請(qǐng)根據(jù)偶函數(shù)的定義推斷出奇函數(shù)的定義.

本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)與學(xué)生思維非常貼切，從形到數(shù)很自然地過(guò)渡，學(xué)生通過(guò)課堂學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念所形成的數(shù)學(xué)思維也經(jīng)受了簡(jiǎn)單的洗禮，解決數(shù)學(xué)問題的能力初步產(chǎn)生，課堂效果還行，達(dá)到了基本教學(xué)目標(biāo).不過(guò)，在對(duì)偶函數(shù)加以定義時(shí)，教師直來(lái)直去，學(xué)生也沒有深入地思考，并沒有真正理解和發(fā)現(xiàn)生活中有趣的偶函數(shù)現(xiàn)象，教師也太于積極主動(dòng)，顯得很急躁，將定義灌輸?shù)綄W(xué)生大腦中，這樣就使學(xué)生放棄了積極主動(dòng)提問的可能性和深入思索生活中有趣的偶函數(shù)現(xiàn)象，無(wú)形中喪失了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣.鑒于此，教師應(yīng)該讓學(xué)生主動(dòng)去歸納、抽象偶函數(shù)的概念，引導(dǎo)學(xué)生定義呼之欲出的偶函數(shù)定義，從而無(wú)形中加深數(shù)學(xué)體驗(yàn)和提升數(shù)學(xué)抽象能力.

為了更好地提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)抽象能力，體驗(yàn)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的無(wú)窮樂趣，從有趣的生活現(xiàn)象來(lái)探索數(shù)學(xué)本質(zhì)，因此筆者對(duì)這節(jié)課重新加以設(shè)計(jì)，讓學(xué)生加深了對(duì)基本知識(shí)的理解，還獲得了新的能力，使概念教學(xué)中的數(shù)學(xué)抽象更深入學(xué)生心中.筆者帶著問題，查閱了大量的資料，并進(jìn)行了有效的吸收歸納，反復(fù)思考實(shí)踐，下面就是反思后的課堂實(shí)踐.

案例2：

教師：對(duì)稱滲透在生活中的方方面面，哪位同學(xué)可以舉例說(shuō)明一下？

學(xué)生：蝴蝶、中國(guó)結(jié)、電視、窗戶.

教師：這些都是軸對(duì)稱的圖形，同學(xué)們知道有哪些是中心對(duì)稱的嗎？

學(xué)生：思考后，足球、光碟、乒乓球、方向盤.

教師：可以看出生活中中心對(duì)稱的圖形基本上都是圓和球類的，那么在數(shù)學(xué)函數(shù)中，也有很多中心對(duì)稱及軸對(duì)稱的抽象圖形.還要請(qǐng)同學(xué)們舉例，哪些函數(shù)是軸對(duì)稱的，哪些是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的？

學(xué)生：（畫圖與案例1相同）

教師：假設(shè)f（x）=x2，x∈R，設(shè)點(diǎn)A（x0，y0）是f（x）上一點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱的坐標(biāo)是什么，這兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)又有什么特點(diǎn)呢？

學(xué)生：對(duì)稱點(diǎn)為A′（-x0，y0），兩個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同都為y0.

教師：那么如何用表達(dá)式表示出來(lái)呢

學(xué)生：y0=f（x0），對(duì)于點(diǎn)A′，y0=f（-x0），所以f（x0）=f（-x0）

教師：那么能否換個(gè)定義域再看圖像的對(duì)稱性？結(jié)合數(shù)軸，同學(xué)們討論下定義域該滿足怎樣的條件？

學(xué)生：定義域也一定要關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱才行，要不然就對(duì)應(yīng)不上了.

教師：如果對(duì)于函數(shù)y=f（x），x∈R，滿足f（-1）=f（1），可以說(shuō)函數(shù)關(guān)于y軸對(duì)稱嗎？請(qǐng)舉例說(shuō)明.

學(xué)生：不可以，如圖3所示，此函數(shù)f（-1）=f（1）=1，但不是軸對(duì)稱的函數(shù).我覺得函數(shù)圖像上應(yīng)該每一個(gè)點(diǎn)都符合f（x0）=f（-x0）才行.

教師：若你們已知f（x）=x2，x∈R是偶函數(shù)，請(qǐng)結(jié)合函數(shù)圖像來(lái)總結(jié)和補(bǔ)充出偶函數(shù)的定義.

學(xué)生：對(duì)于定義域內(nèi)任意x0，都 有f（x0）=f（-x0），那 么y=f（x）是偶函數(shù).

圖3

教師：總結(jié)得非常好，但是x0是一個(gè)常量，要變成變量來(lái)表示.因此設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)锳，如果對(duì)于任意的x∈A，都有f（-x）=f（x），那么稱函數(shù)y=f（x）是偶函數(shù).

案例2中，共有兩點(diǎn)進(jìn)行了優(yōu)化，其中：

1.對(duì)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的培養(yǎng)要重視“數(shù)學(xué)過(guò)程”教學(xué)

有效的概念教學(xué)并不是讓學(xué)生去記去模仿，而是要設(shè)計(jì)問題，使學(xué)生手腦口并用，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，去歸納、去猜想、去研究和發(fā)現(xiàn)新的問題，通過(guò)概括和反思，不斷地修正自己的答案，盡可能地接近真理，不斷地在活動(dòng)中，訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，形成用數(shù)學(xué)概念來(lái)解決數(shù)學(xué)問題的能力.學(xué)習(xí)函數(shù)奇偶性概念最容易讓學(xué)生苦惱的是常量如何轉(zhuǎn)化為變量的.在案例2中，筆者引導(dǎo)學(xué)生自己動(dòng)手操作，自主探索，相互合作，深入思考留存在腦海中的數(shù)學(xué)問題，并引導(dǎo)學(xué)生從圖像出發(fā)，借助函數(shù)圖像來(lái)解決函數(shù)問題，把握函數(shù)定義中的“任意”，這樣學(xué)生就須經(jīng)歷從數(shù)到形，又經(jīng)歷從形到數(shù)的過(guò)程，并最終得出相對(duì)簡(jiǎn)潔的數(shù)學(xué)表達(dá)式，在此過(guò)程中，學(xué)生的感知能力、概括能力、應(yīng)用能力無(wú)形中得到了提高，而知識(shí)的變遷、誤區(qū)的矯正、歸納總結(jié)能力也得以強(qiáng)化，逐漸加深了對(duì)“數(shù)學(xué)抽象”的理解，學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力也在一步步地提升，并在逐層探究中加以充實(shí)，這都與“數(shù)學(xué)過(guò)程”是密不可分的.因此，對(duì)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的培養(yǎng)要充分重視“數(shù)學(xué)過(guò)程”教學(xué)，只有在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)之后的探究才是高質(zhì)量的、有效的數(shù)學(xué)抽象探究.

2.對(duì)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的培養(yǎng)要不斷提升學(xué)生的“概括能力”

數(shù)學(xué)抽象就是從事物的物理表象著手，最終得出研究實(shí)質(zhì)的過(guò)程，從數(shù)量之間的關(guān)系、圖形之間的關(guān)系得出數(shù)學(xué)概念之間的關(guān)系，從事物的具體表象中抽象規(guī)律或者結(jié)構(gòu)，并且應(yīng)用數(shù)學(xué)符號(hào)或者是數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)來(lái)表達(dá).數(shù)學(xué)的總結(jié)概述輕松地展現(xiàn)了筆者思維的快慢、深淺及靈活程度，而這些也正和學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)培養(yǎng)提高的要求是一致的，所以說(shuō)想要提升學(xué)生的概括能力可以從提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)著手.學(xué)生的數(shù)學(xué)概括能力是否提高能夠從側(cè)面反映出研究問題是否有效果.案例2和案例1最為不同的地方是學(xué)生按照經(jīng)驗(yàn)得出偶函數(shù)的定義，這就是將數(shù)學(xué)概念進(jìn)行了抽象化.數(shù)學(xué)概念的抽象化處理，有助于學(xué)生更深入地了解知識(shí)點(diǎn)，也有助于學(xué)生熟悉概念、解題方式及知識(shí)體系，對(duì)事物的數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)有了更為深刻的了解.