基于不同租期下的預(yù)防性維修優(yōu)化策略

郁 寶 琪

(上海理工大學(xué) 管理學(xué)院，上海 200093)

0 引 言

隨著科學(xué)技術(shù)和生產(chǎn)力水平的發(fā)展，設(shè)備的更新速度越來(lái)越快，設(shè)備的成本和維修費(fèi)用也隨之增加。企業(yè)為了減少生產(chǎn)成本、設(shè)備購(gòu)置費(fèi)用、日后的設(shè)備維修費(fèi)用等多種費(fèi)用的開(kāi)支，轉(zhuǎn)而去租賃市場(chǎng)租賃設(shè)備。一種以設(shè)備租賃代替設(shè)備購(gòu)買(mǎi)，以企業(yè)租賃為主的租賃維護(hù)正在制造服務(wù)業(yè)快速發(fā)展[1]。為了擴(kuò)大租賃市場(chǎng)的規(guī)模，吸引更多的承租者，學(xué)者們提出了各種對(duì)租賃設(shè)備的優(yōu)化策略。Jaturonnatee等[2]研究了租賃設(shè)備期望成本最小的順序預(yù)防性維修策略。李林[3]在考慮租賃維護(hù)的故障懲罰機(jī)制和修復(fù)非新效果的基礎(chǔ)上，建立了一種設(shè)備租賃期限與順序預(yù)防性維護(hù)策略的聯(lián)合優(yōu)化模型。楊?lèi)?ài)峰等[4]考慮了對(duì)租賃設(shè)備進(jìn)行不定期的預(yù)防維修且每次進(jìn)行相同的維修強(qiáng)度模型，建立了利潤(rùn)最大化的預(yù)防性維修方案。Yeh 和Chen[5]提出了基于故障率分布為Weibull分布的租賃設(shè)備周期預(yù)防維護(hù)策略模型；Yeh 等[6]還研究了關(guān)于租賃設(shè)備兩階段的周期預(yù)防維護(hù)策略[6]。吳常潔等[7]對(duì)租賃設(shè)備，考慮了雙向故障懲罰機(jī)制的周期性預(yù)防維修決策。董克和呂文元[8-10]針對(duì)舊設(shè)備的特殊性，提出了周期性預(yù)防維修決策。胡飛，宗群[11]提出來(lái)出租人需要承擔(dān)懲罰成本的周期性預(yù)防維修決策。金琳等[12]研究了以出租方維修成本最小為目標(biāo)的等周期和變周期相結(jié)合的多階段預(yù)防維護(hù)模型。以上研究都是針對(duì)單設(shè)備租賃，也沒(méi)有考慮客戶的滿意度，事實(shí)上，當(dāng)維修服務(wù)質(zhì)量高于客戶的滿意度時(shí)，會(huì)使得出租方迎來(lái)更多的顧客，對(duì)此董克和呂文元[13]，提出了一種考慮客戶滿意度的可變大修維護(hù)策略模型。張?jiān)普萚14]研究了多設(shè)備租賃條件下基于服務(wù)質(zhì)量評(píng)估的預(yù)防性維修策略?xún)?yōu)化模型?，F(xiàn)有文獻(xiàn)對(duì)租賃設(shè)備的維修策略研究，考慮的預(yù)防性維護(hù)成本主要是常數(shù)和線性函數(shù)，但是，在日常生活中，預(yù)防性維護(hù)成本也可能是非線性函數(shù)。對(duì)此，董克和陳圓圓[15]提出了一種預(yù)防維護(hù)成本為非線性形式的租賃設(shè)備等周期預(yù)防維護(hù)策略模型。由此可知，學(xué)者們很少研究不同租期的租賃設(shè)備的預(yù)防性維修策略。在前人的基礎(chǔ)上，旨在研究不同的租期的租賃設(shè)備，在研究不同租期的租賃設(shè)備的同時(shí)，將服務(wù)質(zhì)量考慮到模型中，建立了出租方的利潤(rùn)模型，優(yōu)化了故障率閾值θ，利用遺傳算法來(lái)優(yōu)化了修復(fù)程度δ和不同租期下的維修次數(shù)nj，以使出租方的利潤(rùn)最大。

1 模型參數(shù)與假設(shè)

1.1 模型參數(shù)

CΛ：發(fā)生故障的單位成本

Cr：小修開(kāi)銷(xiāo)的單位成本

Tm：小修時(shí)間

τ：小修維修時(shí)間的閾值

Cτ：小修超時(shí)的單位罰金

r(t)：設(shè)備的故障率密度函數(shù)

Lj：設(shè)備的第j(j=1,2,…,k)種租期

ti：預(yù)防性維修的時(shí)刻(i=0,1,…,nj)

δ：預(yù)防性維修的修復(fù)程度

nj：第j種租期的預(yù)防性維修次數(shù)

Λj：第j種租期的故障次數(shù)

Fs：客戶的主觀期望，服從N(μs,σs)

lj：租期為j的客觀服務(wù)績(jī)效

Sf：客戶的滿意度閾值

αj：租期為j的潛在客戶數(shù)

W：?jiǎn)挝蛔饨?/p>

V：設(shè)備的購(gòu)置價(jià)

Vd：設(shè)備退役時(shí)的凈殘值

td：設(shè)備的壽命

Cpm(δ)：預(yù)防性維修的單位成本

E(TR)：租賃商的總收入

E(TC)：租賃商的總支出

E(TP)：租賃商的總利潤(rùn)

1.2 模型的假設(shè)

在以下條件下成立：

(1)設(shè)備發(fā)生故障后，對(duì)設(shè)備進(jìn)行小修，相對(duì)于租賃時(shí)間，小修的時(shí)間和預(yù)防性維修的時(shí)間可以忽略不計(jì)。

(2)當(dāng)設(shè)備的故障率達(dá)到θ時(shí)，進(jìn)行一次預(yù)防性維修，且每次修護(hù)程度都為δ，其中δ≤θ。

2 模型建立

2.1 懲罰成本

租賃商為了減少企業(yè)內(nèi)部購(gòu)置固定資產(chǎn)的成本開(kāi)支選擇租賃設(shè)備，在設(shè)備投入生產(chǎn)的過(guò)程中，由于種種原因設(shè)備會(huì)發(fā)生故障，如果出租方對(duì)設(shè)備修理不及時(shí)，以及在規(guī)定時(shí)間內(nèi)沒(méi)有完成修復(fù)工作，都會(huì)造成租賃商的經(jīng)濟(jì)損失，因此，出租方需要對(duì)租賃商給予一定的經(jīng)濟(jì)補(bǔ)償，即出租方所要承擔(dān)的懲罰成本?？紤]以下兩種懲罰成本：

(1)在租賃期L內(nèi)，設(shè)備發(fā)生一次故障，出租方的懲罰成本為CΛ，不考慮設(shè)備故障的損壞的程度，假定此懲罰成本是一個(gè)大于0的固定值。

2.2 預(yù)防性維修成本

設(shè)備投入使用時(shí)，后期發(fā)生故障的可能性會(huì)變大，此時(shí)出租方需要支付更多的罰金，為此，出租商會(huì)采取預(yù)防性維修策略，以便減少設(shè)備發(fā)生故障的次數(shù)。在租期Lj(j=1,2,…,k)內(nèi)，發(fā)生了nj次預(yù)防性維修，設(shè)ti(i=1,2,…,nj)為預(yù)防性維修時(shí)刻，且有0

Cpm(δ)=a+bδ

其中a是固定成本，bδ是可變成本，且a>0,b>0。

2.3 故障維修次數(shù)與預(yù)防性維修次數(shù)

假設(shè)設(shè)備的故障率為r(t)且r(0)=0，即考慮的是新設(shè)備開(kāi)始租賃。則在時(shí)間段[0,t]內(nèi)，設(shè)備的故障次數(shù)為

假定當(dāng)設(shè)備的故障率達(dá)到故障率閾值θ時(shí)，進(jìn)行一次預(yù)防性維修,其維修的修復(fù)度為δ，其中0<δ≤θ。以下考慮租期為L(zhǎng)1下的故障次數(shù)Λ1和預(yù)防性維修次數(shù)n1。

在租期為L(zhǎng)1內(nèi)，設(shè)備的故障率達(dá)到故障率閾值θ，在t1時(shí)刻進(jìn)行第一次預(yù)防性維修,其維修的修復(fù)度為δ，則在t1時(shí)刻，設(shè)備的故障率為θ，即r(t1)=θ。當(dāng)設(shè)備的故障率又一次達(dá)到故障率閾值θ，在t2時(shí)刻進(jìn)行第二次預(yù)防性維修其維修的修復(fù)度為δ，則在t2時(shí)刻，設(shè)備的故障率為θ+δ，即r(t2)=θ+δ。依次類(lèi)推，即在tn1時(shí)刻，設(shè)備的故障率為θ+(n1-1)δ,即r(tni)=θ+(n1-1)δ。所以在ti時(shí)刻，設(shè)備的故障率為r(ti)=θ+(i-1)δ，由此可以求解出ti=r-1[θ+(i-1)δ]，其中0

從圖1可以知道在時(shí)間段[ti,ti+1]內(nèi)，設(shè)備的故障次數(shù)為

所以，在整個(gè)租期L1中，設(shè)備的故障次數(shù)為

δ(t2-t1)-2δ(t3-t2)-…-n1(L1-tn1)=

同理可得，租期為L(zhǎng)j的設(shè)備故障次數(shù)為

因此，總的故障次數(shù)為

圖1 對(duì)預(yù)防性維修設(shè)備故障率變化情況有個(gè)清晰地描述

2.4 維修服務(wù)質(zhì)量

格魯羅斯認(rèn)為維修服務(wù)質(zhì)量是客戶的客觀服務(wù)績(jī)效和客戶的主觀期望的差值[16]，客戶的客觀服務(wù)績(jī)效可用設(shè)備的可靠性來(lái)衡量，衡量可靠性的指標(biāo)有設(shè)備的可靠度，平均無(wú)故障時(shí)間，有效度，故障率等。采用平均無(wú)故障時(shí)間來(lái)作為可靠性的衡量指標(biāo)，對(duì)于給定的租期L，則有：

控制服務(wù)績(jī)效的取值范圍為[0,1]，所以定義客戶的客觀服務(wù)績(jī)效為

由于假定的租期不同，對(duì)于租期Lj(j=1,2,…,k)記其客觀服務(wù)績(jī)效為

假設(shè)客戶的維修服務(wù)的主觀期望Fs服從正態(tài)分布N(μs,σs)，其中μs表示客戶群體的期望均值，σs表示客戶群體的標(biāo)準(zhǔn)差，假設(shè)不管租期長(zhǎng)短，客戶的主觀服務(wù)期望都不變。則在租期Lj維修服務(wù)質(zhì)量?j也服從正態(tài)分布N(μj,σj)，其中μj=lj-μs,σj=σs。

當(dāng)維修服務(wù)質(zhì)量達(dá)到了客戶心中的滿意值時(shí)，則客戶有意愿租賃設(shè)備，否則，無(wú)意愿租賃設(shè)備。假設(shè)客戶心目中的維修服務(wù)質(zhì)量的閾值為Sf，則在租期Lj有意愿租賃設(shè)備的概率為

已知設(shè)備購(gòu)置成本為V，基于以上分析，可以知道出租方的總支出為

nj(a+bδ)+V}αj

(1)

2.5 租賃設(shè)備的收入

已知設(shè)備的單位租金為W，則出租商的租金收入為

(2)

(3)

則租賃商的總收入為

(4)

2.6 利潤(rùn)模型

總利潤(rùn)是總收入與總支出的差值，即式(4)-式(1),得

E(TP)=E(TR)-E(TC)=

(5)

通過(guò)分析，可以得知出租商的總利潤(rùn)是關(guān)于故障率閾值θ，修復(fù)程度δ，以及預(yù)防性維修次數(shù)nj的函數(shù)，接下來(lái)將對(duì)這3個(gè)決策變量進(jìn)行優(yōu)化，使出租商獲得的利潤(rùn)最大。

3 模型優(yōu)化

涉及3個(gè)決策變量，優(yōu)化其中一個(gè)決策變量時(shí)，故需保持另兩個(gè)決策變量不變。首先選擇優(yōu)化的決策變量是故障率閾值θ，接著采用遺傳算法來(lái)共同優(yōu)化預(yù)防性維修次數(shù)nj和修復(fù)程度δ。

3.1 故障率閾值的優(yōu)化

定理1當(dāng)維修程度與不同租期下的預(yù)防性維修次數(shù)固定時(shí)，當(dāng)θ=δ時(shí)，總利潤(rùn)函數(shù)有最大值。

首先證明單租期為L(zhǎng)時(shí)，設(shè)備的利潤(rùn)為E(TP)=pr·αr，將其對(duì)θ求一階導(dǎo)有：

其中,

考慮到：

則有-g3(μr-x)=g3(μr+x).

|μr-Sf|<|+∞-μr|=+∞

所以

這說(shuō)明E(TP)關(guān)于θ在θ≥δ上單調(diào)遞減函數(shù)，所以當(dāng)θ=δ時(shí)，E(TP)有最大值。

同理，當(dāng)θ=δ時(shí)，不同租期下的利潤(rùn)函數(shù)也取其最大值，所以式(5)就可寫(xiě)成：

nj(a+bδ) ]·αj

3.2 修復(fù)程度和預(yù)防性維修次數(shù)的優(yōu)化

遺傳算法(Genetic Algorithm)是模擬達(dá)爾文先生生物進(jìn)化理論的自然選擇和遺傳學(xué)機(jī)制的生物進(jìn)化過(guò)程的計(jì)算模型，是一種模擬自然進(jìn)化過(guò)程搜索最優(yōu)解的方法[17]。由于遺傳算法對(duì)所求解的問(wèn)題沒(méi)有太多的約束，不管是線性還是非線性，是離散還是連續(xù)，而且約束的變量可以是多個(gè)，需要優(yōu)化的預(yù)防性維修次數(shù)和修復(fù)程度，一個(gè)是離散決策變量，一個(gè)是連續(xù)決策變量，運(yùn)用遺傳算法可以很好的解決此問(wèn)題。其基本思想為，先確定需要求解的適應(yīng)度函數(shù)，接著初始化遺傳算法的參數(shù)，然后對(duì)群體進(jìn)行選擇，交叉和變異運(yùn)算，經(jīng)過(guò)多次迭代，可以得到此問(wèn)題的最優(yōu)解。

4 案例分析

假定出租方對(duì)某大型的設(shè)備進(jìn)行租賃，并且符合上文中所提供的維修方案?？紤]有3種租期的情況，且假設(shè)設(shè)備的故障率服從兩參數(shù)的韋布爾分布h(t)=λβ(λt)β-1，其中λ,β分別為其尺度參數(shù)和形狀參數(shù)以及小修時(shí)間Tm服從兩參數(shù)韋布爾分布G(t)=1-(φt)m。

其參數(shù)取值如下：

L1=3,L2=4,L3=5,W=700;

V=1 000,Vd=20,td=20,τ=20;

Cr=300,CΛ=100,μs=0.83,0.85或0.87;

Cτ=200,λ=0.5,β=1.5,a=100,b=50;

α1=α2=α3=400,sf=0.02,σs=0.02。

其結(jié)果如表1所示，

表1 不同主觀期望均值μs下的預(yù)防維修策略

從表1可知：隨著主觀期望均值μs從0.83增加到0.85和0.87，其修復(fù)程度δ從0.233 5下降到0.213 2和0.158 6，這對(duì)出租方來(lái)說(shuō)是降低了他們的維修難度，但是，租賃人數(shù)從1 183下降到1 142和1 164，其利潤(rùn)從1.511 51×106下降到1.447 6×106和1.343 94×106。當(dāng)主觀期望均值μs保持不變時(shí)，租期不同，服務(wù)績(jī)效波動(dòng)不大，但是單個(gè)設(shè)備的維修開(kāi)銷(xiāo)顯著增加，這主要是因?yàn)轭A(yù)防性維修次數(shù)的增加，使得出租方對(duì)能零配件的需求增加。

5 總結(jié)與展望

目前，在租賃市場(chǎng)上租期不同更加符合企業(yè)對(duì)租賃設(shè)備的需求。在日常生活中，服務(wù)質(zhì)量越好，吸引的顧客也越多，出租方獲取的利潤(rùn)也就更多?；诓煌馄诤头?wù)質(zhì)量下的多設(shè)備租賃預(yù)防性維修優(yōu)化策略，從出租方的角度，考察了租金收入，設(shè)備租期結(jié)束后的剩余價(jià)值收入和購(gòu)買(mǎi)設(shè)備的成本，懲罰成本，小修成本及預(yù)防性維修成本等對(duì)利潤(rùn)模型進(jìn)行了搭建，優(yōu)化了故障率閾值以及利用遺傳算法來(lái)共同優(yōu)化了修復(fù)程度和不同租期下的預(yù)防性維修次數(shù)，結(jié)合實(shí)例分析得出客戶的主觀期望均值增大時(shí)，出租方的利潤(rùn)在減少。這是因?yàn)樵O(shè)備的維修開(kāi)銷(xiāo)增大，對(duì)設(shè)備的零配件的需求增加了，而如何提高維修服務(wù)質(zhì)量又能降低設(shè)備的維修開(kāi)銷(xiāo)是今后研究的方向。其實(shí)影響租賃設(shè)備的人數(shù)，除了服務(wù)質(zhì)量，還有租賃設(shè)備的口碑，租賃設(shè)備的租金以及租賃設(shè)備的運(yùn)輸成本等，這些都可以作為下一步研究的內(nèi)容。