夸克介子模型的相圖和表面張力*

沈婉萍 尤仕佳 毛鴻

(杭州師范大學(xué)物理系,杭州 311121)

1 引 言

量子色動(dòng)力學(xué)是描述強(qiáng)相互作用的基本理論,可以用來(lái)描述夸克強(qiáng)子相變的動(dòng)力學(xué),特別是與量子色動(dòng)力學(xué)相變緊密相關(guān)的手征對(duì)稱性恢復(fù)和退禁閉等問題.此外,量子色動(dòng)力學(xué)相變的研究與目前正在進(jìn)行的相對(duì)論重離子對(duì)撞實(shí)驗(yàn)和致密星體的內(nèi)部結(jié)構(gòu)研究密切相關(guān),它可以幫助人們深入理解和洞察夸克膠子等離子體的物理性質(zhì)和揭示夸克強(qiáng)子相變的動(dòng)力學(xué)機(jī)制[1?3].但是,量子色動(dòng)力學(xué)是非阿貝爾的規(guī)范場(chǎng)論,由于理論存在漸近自由的性質(zhì)和夸克幽禁的效應(yīng),使得在低能非微擾區(qū)域量子色動(dòng)力學(xué)的直接理論和數(shù)值計(jì)算受到了極大的限制[4,5].為了克服這一問題,在低能非微擾能區(qū),人們通常采用有效模型或者有效理論來(lái)研究量子色動(dòng)力學(xué)真空的非微擾性質(zhì).比較常見的模型有Nambu-Jona-Lasinio (NJL) 模型[6?11],夸克介子模型(the quark-meson model)[12,13]和相對(duì)論平均場(chǎng)模型(the relativistic mean-field mode)[14?16]等.

夸克介子模型是最簡(jiǎn)單的純夸克模型,該模型可以用來(lái)研究量子色動(dòng)力學(xué)的手征相變動(dòng)力學(xué)機(jī)制和對(duì)稱性自發(fā)破缺機(jī)制.基于有限溫度場(chǎng)論方法,在手征極限情況下和零夸克化學(xué)勢(shì)條件下,考慮兩個(gè)夸克味的模型預(yù)言了量子色動(dòng)力學(xué)手征相變是二級(jí)相變,這一結(jié)論與基于普適性的一般結(jié)論是一致的.而當(dāng)考慮了夸克質(zhì)量不等于零的情況,模型準(zhǔn)確地預(yù)言了在夸克化學(xué)勢(shì)密度較小的區(qū)域,量子色動(dòng)力學(xué)手征相變是過渡相變,在夸克化學(xué)勢(shì)密度較大的區(qū)域,量子色動(dòng)力學(xué)手征相變是一級(jí)相變,該方面的預(yù)言與NJL模型和基于格點(diǎn)量子色動(dòng)力學(xué)的理論預(yù)言相一致.因此夸克介子模型是一個(gè)非常成功的低能有效模型.

為了從實(shí)驗(yàn)上研究高密情況下的量子色動(dòng)力學(xué)相變區(qū)域,美國(guó)的相對(duì)論重離子對(duì)撞機(jī)(RHIC)和正在計(jì)劃中的其他相對(duì)論重離子對(duì)撞機(jī)都正朝著高密度和低溫的相變區(qū)域進(jìn)發(fā),并對(duì)高密、低溫相變的理論研究提出了更高的要求.一級(jí)相變區(qū)域的范圍是多少? 當(dāng)溫度從相對(duì)較高的臨界溫度降到低溫的時(shí)候,一級(jí)相變的相變速度是多少? 一級(jí)相變是緩慢的成核相變還是快速的亞穩(wěn)均相分解相變? 諸如此類的問題,需要人們?nèi)フJ(rèn)真仔細(xì)地研究.而在這些問題中,對(duì)于夸克相和強(qiáng)子相表面張力的研究,是一個(gè)非常關(guān)鍵和核心的問題.特別是關(guān)于表面張力的數(shù)值大小,將直接影響中子星的結(jié)構(gòu)形成.

基于兩個(gè)味的夸克介子模型,文獻(xiàn)[17]研究了相對(duì)論重離子對(duì)撞實(shí)驗(yàn)中一級(jí)相變的動(dòng)力學(xué),討論了一級(jí)相變的相變表面張力、一級(jí)相變的臨界半徑和相變的成核率等問題.不過,該文獻(xiàn)在模型的計(jì)算中選取了一個(gè)非常大的夸克介子耦合常數(shù)g,使得模型在整個(gè)相變區(qū)域都是一級(jí)相變,與目前格點(diǎn)量子色動(dòng)力學(xué)和其他模型的理論預(yù)言不一致.另外,模型在具體的計(jì)算過程中,沒有考慮夸克的真空漲落和重整化效應(yīng),使得理論的預(yù)言缺乏實(shí)際可參考的價(jià)值和意義.為了解決上述兩個(gè)問題,本文選取與實(shí)驗(yàn)相一致的理論參數(shù),在考慮夸克的真空漲落和重整化效應(yīng)的基礎(chǔ)上,重新計(jì)算了兩個(gè)味道的夸克介子模型的相圖和一級(jí)相變區(qū)域的表面張力,為今后相對(duì)論重離子對(duì)撞實(shí)驗(yàn)和天體物理中致密星體結(jié)構(gòu)的研究提供參考依據(jù).

本文首先介紹兩個(gè)味的夸克介子模型,然后基于有限溫度量子場(chǎng)論方法,得到模型的有效勢(shì)能隨溫度和密度的變化關(guān)系,進(jìn)而給出模型的相圖結(jié)構(gòu).在一級(jí)相變區(qū)域,利用薄壁(thin-wall)近似方法,計(jì)算了當(dāng)溫度等于一級(jí)相變臨界溫度時(shí),強(qiáng)子相表面張力隨化學(xué)勢(shì)密度的演變關(guān)系,為中子星結(jié)構(gòu)形成和早期演化提供必要的參考依據(jù).

2 夸克介子模型的有效勢(shì)能

首先,考慮介子與夸克耦合的兩個(gè)味道的夸克介子模型,其拉氏密度為[13]

其中q=(u,d) 為組分夸克場(chǎng).這里,s介子和π介子具有對(duì)稱性自發(fā)破缺特征的勢(shì)能表達(dá)式為

標(biāo)量場(chǎng)s和三個(gè)贗標(biāo)量場(chǎng)π=(π1,π2,π3) 一起構(gòu)成一個(gè)四分量的手征性場(chǎng),定義其為Φ=(σ,π).在手征極限的情況下(不考慮夸克質(zhì)量),H為零,該拉氏量在的手征變換下具有不變性.在真空態(tài),模型滿足手征對(duì)稱性自發(fā)破缺的要求,此時(shí)介子場(chǎng)的真空期望值取為其中為介子衰變常數(shù).如果考慮夸克的質(zhì)量貢獻(xiàn),那么模型具備手征對(duì)稱明顯破缺的特征,由PCAC (部分軸矢流守恒)關(guān)系可知:是π介子的質(zhì)量.耦合常數(shù)l由s介子的質(zhì)量確定:對(duì)于s介子的質(zhì)量,通過查閱粒子數(shù)據(jù)組的最新結(jié)果可知,其取值在400 MeV到550 MeV之間,本文取mσ=500 MeV,對(duì)應(yīng)有λ≈13.常數(shù)υ2滿足最后,模型的參數(shù)耦合常數(shù)g由真空中的組分夸克質(zhì)量決定,Mq=gfπ,約為核子質(zhì)量的 1/3 ,本文取g≈3.3.

在有限溫度場(chǎng)論的框架下,有限溫度、有限密度下的有效勢(shì)能是一個(gè)重要而有用的理論工具.考慮一個(gè)在溫度T和夸克化學(xué)勢(shì)μ≡μB/3 下處于熱力學(xué)平衡的熱力學(xué)巨正則體系,其巨正則配分函數(shù)為

接下來(lái)我們采用平均場(chǎng)近似法來(lái)計(jì)算上述的巨正則配分函數(shù).首先,將s和π的介子場(chǎng)用它們的真空期待值替代,換句話說,我們忽略了介子場(chǎng)的量子和熱漲落效應(yīng).其次,將夸克和反夸克作為量子場(chǎng),這樣在上述的積分中可以得到一個(gè)行列式.最后,根據(jù)量子場(chǎng)論標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)學(xué)公式,計(jì)算該行列式,就可以得到體系的熱力學(xué)有效勢(shì)能.具體過程如下:

其中,

該巨正則配分函數(shù)中的費(fèi)米積分產(chǎn)生了一個(gè)可以用標(biāo)準(zhǔn)方法計(jì)算的行列式,從而產(chǎn)生了介子的有效勢(shì)能.取該巨正則配分函數(shù)的對(duì)數(shù),可以得到熱力學(xué)有效勢(shì)能的具體形式是:

其中夸克和反夸克的貢獻(xiàn)為

(7)式中第一項(xiàng)表示的是夸克的真空單圈貢獻(xiàn),由于該積分是發(fā)散的,理論計(jì)算需要通過重整化來(lái)消除發(fā)散項(xiàng),為了計(jì)算方便,在很多文獻(xiàn)中項(xiàng)經(jīng)常被忽略.為了理論的完整性和計(jì)算的可靠性,在接下來(lái)的討論中,我們將考慮項(xiàng)的貢獻(xiàn),即在模型的計(jì)算中加入真空的漲落和模型的重整化效應(yīng).利用維數(shù)正規(guī)化方法進(jìn)行重整化,費(fèi)米子真空單圈的重整貢獻(xiàn)為[18]

其中L是任意重整化標(biāo)度.值得注意的是,熱力學(xué)勢(shì)和所有的物理觀測(cè)值都不依賴于L的選擇,通過重新定義模型中的參數(shù)可以很好地消除L的依賴性.故等式(7)右邊的第一項(xiàng)真空貢獻(xiàn)可以用等式(8)中給出的適當(dāng)?shù)闹卣M(fèi)米子真空貢獻(xiàn)代替.

3 夸克介子模型的相圖結(jié)構(gòu)

在考慮了重整化效應(yīng)和夸克真空漲落貢獻(xiàn)的前提下,通過求解關(guān)于s場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)方程:可以得到在不同夸克化學(xué)勢(shì)密度條件下,s場(chǎng)的真空期望值隨溫度的演化行為.

圖1給出了在不同夸克化學(xué)勢(shì)密度下,s場(chǎng)的真空期望值隨溫度的變化關(guān)系.從圖1可以發(fā)現(xiàn)在μ<299 MeV的情況下,s場(chǎng)的真空期望值隨溫度的演化行為是連續(xù)變化的,只是當(dāng)系統(tǒng)溫度接近手征相變臨界溫度Tc時(shí),s場(chǎng)的真空期望值變化才比較明顯,且當(dāng)溫度很大時(shí),s場(chǎng)只是趨向于零,而不等于零,可以判斷此時(shí)的量子色動(dòng)力學(xué)手征相變是過渡相變.而對(duì)于μ> 299 MeV的情況,當(dāng)溫度接近手征相變臨界溫度Tc時(shí),由于s場(chǎng)的真空期望值隨溫度的變化有一個(gè)明顯的躍變,即從一個(gè)相對(duì)大的數(shù)值直接跳到一個(gè)相對(duì)小的數(shù)值,表明此時(shí)的量子色動(dòng)力學(xué)手征相變是一級(jí)相變.

圖1 在不同夸克化學(xué)勢(shì)密度條件下,s場(chǎng)的真空期望值隨溫度的演化行為Fig.1.Chiral condensate s as a function of temperature at various chemical potential.

為了更加準(zhǔn)確地描述過渡相變和一級(jí)相變的相變特征,下面分別以這兩種相變的典型化學(xué)勢(shì)為例,給出s場(chǎng)的真空期望值與有效勢(shì)能?(σ,T,μ)直接的對(duì)應(yīng)關(guān)系.對(duì)于0 MeV ?μ< 299 MeV時(shí)的過渡相變,以μ=0 MeV為例: 如圖2(a)所示,當(dāng)溫度較小時(shí),勢(shì)能曲線有兩個(gè)極小值和一個(gè)極大值,一個(gè)極小值位于s較小的位置,另外一個(gè)極小值位于s較大的位置,中間有一個(gè)局域的極大值,也就是在兩個(gè)極值之間有一個(gè)勢(shì)壘,s場(chǎng)的真空期望值由勢(shì)能最小時(shí)所對(duì)應(yīng)的s值決定; 當(dāng)溫度逐漸升高時(shí),兩個(gè)勢(shì)能極小值所對(duì)應(yīng)的s逐漸靠攏,當(dāng)T=127 MeV時(shí),兩個(gè)極小值之間的勢(shì)壘消失,此時(shí)模型的有效勢(shì)能只有一個(gè)極小值,此時(shí)的溫度稱為亞穩(wěn)態(tài)分解溫度(spinodal temperature).由于對(duì)于過渡相變,嚴(yán)格來(lái)說兩相之間沒有一個(gè)嚴(yán)格的界限,所以此時(shí)的溫度還不能被定義成相變溫度,通常人們選擇圖1中s場(chǎng)的真空期望值對(duì)溫度T的一階導(dǎo)數(shù)的峰值作為相變溫度,也就是s場(chǎng)的真空期望值隨溫度變化最快的那個(gè)溫度作為過渡相變的臨界溫度,也就是T=152.6 MeV.

圖2 (a) μ=0 MeV和(b) μ=310 MeV時(shí),有效勢(shì)能隨s場(chǎng)的演化行為Fig.2.Effective potential as a function of the chiral condensate s for (a) μ=0 MeV and (b) μ=310 MeV.

當(dāng)299 MeV ?μ? 324 MeV時(shí),可以觀察到一級(jí)相變的特征,以μ=310 MeV為例: 如圖2(b)所示,當(dāng)溫度小于臨界溫度時(shí),系統(tǒng)的有效勢(shì)能有兩個(gè)極小值,并且在這兩個(gè)極小值之間還存在一個(gè)勢(shì)壘,與過渡相變的情況類似,一個(gè)極小值位于s較小的位置,另外一個(gè)極小值位于s較大的位置;當(dāng)系統(tǒng)溫度逐漸升高時(shí),這兩個(gè)勢(shì)能極小值的高度差開始變得越來(lái)越小,等溫度達(dá)到臨界溫度時(shí),兩個(gè)勢(shì)能極小值相等,臨界溫度Tc下勢(shì)能極小值均為–1.45 MeV,對(duì)應(yīng)s場(chǎng)的真空期望值分別為32.16和89.63 MeV,與過渡相變不同的是,此時(shí)兩個(gè)極小值之間的勢(shì)壘還存在,并沒有消失,這個(gè)就是一級(jí)相變和過渡相變的本質(zhì)區(qū)別; 當(dāng)溫度大于臨界溫度Tc時(shí),s場(chǎng)的真空期望值從一個(gè)相對(duì)較大的數(shù)值越變到相對(duì)較小的數(shù)值,從而實(shí)現(xiàn)從假真空到真真空的翻轉(zhuǎn).

此外,當(dāng)μ=μc=299 MeV時(shí),系統(tǒng)從過渡相變演化到一級(jí)相變.當(dāng)溫度等于臨界溫度Tc時(shí),一級(jí)相變中的勢(shì)壘消失(這個(gè)條件作為一級(jí)相變消失的判據(jù)),勢(shì)能變成一個(gè)很平坦“U”形,并且,此時(shí)勢(shì)能曲線同時(shí)具有過渡相變和二級(jí)相變的部分相變特征.

圖3給出了量子色動(dòng)力學(xué)相圖結(jié)構(gòu),對(duì)于夸克化學(xué)勢(shì)密度在0 MeV ?μ< 299 MeV區(qū)域,可以觀察到過渡相變,對(duì)于夸克化學(xué)勢(shì)密度在299 MeV?μ?324 MeV區(qū)域,可以觀察到一級(jí)相變.在兩個(gè)相變的交界處就是量子色動(dòng)力學(xué)相變的相變臨界點(diǎn)(critical end point).如何從相對(duì)論重離子對(duì)撞實(shí)驗(yàn)上尋找該相變臨界點(diǎn)和確認(rèn)該相變臨界點(diǎn)的位置是當(dāng)前高能核物理理論和實(shí)驗(yàn)研究的熱點(diǎn)問題[19].

圖3 量子色動(dòng)力學(xué)相圖結(jié)構(gòu)Fig.3.The T-μ phase diagram in the quark meson model.

4 強(qiáng)子夸克相變的表面張力

對(duì)于一級(jí)相變,當(dāng)體系的溫度達(dá)到相變臨界溫度時(shí),模型的熱力學(xué)勢(shì)能具有兩個(gè)相等的極小值,并且這兩個(gè)極小值被一個(gè)勢(shì)壘分開.此外,由圖1可知,這兩個(gè)極小值所對(duì)應(yīng)的s場(chǎng)的真空期望值分別對(duì)應(yīng)一個(gè)大的數(shù)值和一個(gè)小的數(shù)值.如果體系的溫度進(jìn)一步降低,那么s期望值較小的那個(gè)真空勢(shì)能將大于s期望值大的那個(gè)真空勢(shì)能,此時(shí)我們把前面那個(gè)真空稱為亞穩(wěn)態(tài)真空(通常稱為偽真空),而把后面那個(gè)真空稱為穩(wěn)定真空(通常稱為真真空).在經(jīng)典物理中,雖然偽真空的能量高于真真空,但是由于兩個(gè)真空之間還有一個(gè)勢(shì)壘,故偽真空無(wú)法回到真真空.但是,對(duì)于一個(gè)量子體系,由于存在量子隧穿效應(yīng),偽真空還有一定的概率可以回到真真空,從而發(fā)生一級(jí)相變,并把多余的能量以相變潛熱的形式釋放出來(lái).為了準(zhǔn)確地描述該一級(jí)相變的相變動(dòng)力學(xué)過程,我們借助液滴核合成唯象模型來(lái)描述夸克強(qiáng)子的一級(jí)相變[20?24].

在液滴核合成唯象模型中,由于存在漲落,會(huì)產(chǎn)生一系列新的、能量較低的真真空的泡泡(通常用一個(gè)球形泡泡來(lái)模擬強(qiáng)子相),然后通過這些泡泡的膨脹最終實(shí)現(xiàn)從偽真空到真真空的轉(zhuǎn)變.具體的完成過程如下: 由于偽真空的單位體積自由能密度高于真真空的單位體積自由能密度,泡泡在膨脹的過程中,體系的能量降低,但是,由于這些泡泡同時(shí)存在表面張力,又會(huì)束縛氣泡的膨脹,二者存在競(jìng)爭(zhēng)關(guān)系.體積自由能與r3成正比,表面自由能與r2成正比,故存在一個(gè)臨界半徑rc,當(dāng)rrc,體積自由能占主導(dǎo)地位,泡泡會(huì)一直膨脹直至占據(jù)整個(gè)系統(tǒng),從而完成夸克相到強(qiáng)子相的完全轉(zhuǎn)變.

如果把真真空的泡泡看成是一個(gè)半徑為r的球形泡泡,那么體系總自由能的改變?yōu)?/p>

其中,e為偽真空與真真空的單位體積自由能密度之差;S是泡壁的表面能量密度,即兩相界面的表面張力.

在偽真空的環(huán)境下,大小不一的真真空泡泡,由于量子漲落和熱漲落隨機(jī)出現(xiàn)并消失,直至泡泡的半徑大于等于臨界半徑,然后這些泡泡就會(huì)一直膨脹下去,完成一級(jí)相變的相變過程,并把多余的體系自由能以相變潛熱的形式釋放到環(huán)境中.基于這個(gè)機(jī)制,單位時(shí)間單位體積的臨界泡泡成核率可以表示為[24]

其中,T為系統(tǒng)溫度.因子P通常比較難計(jì)算,為了計(jì)算方便通常采用簡(jiǎn)單的量綱分析,用T4近似代替P.

利用歐幾里得空間的有限溫度場(chǎng)論方法,上述的成核率可以從下面的歐幾里得拉格朗日密度出發(fā):

這里為了方便討論,我們把熱力學(xué)有效勢(shì)能重新定義為Veff(σ)=?(σ,T,μ).則體系的自由能表示為

將體系的自由能Fb對(duì)s進(jìn)行變分,可以得到一個(gè)非線性微分方程,

并且該方程滿足的邊界條件為

式中,σf為偽真空下的s場(chǎng)的真空期望值.也就是說,遠(yuǎn)離真真空泡泡的中心,體系處于亞穩(wěn)態(tài),相當(dāng)于真真空的泡泡在偽真空中產(chǎn)生并膨脹.

對(duì)于一般有效勢(shì)Veff,在邊界條件(16)式下,通常不能通過解析方法得到(15)式的解析解,只能求助計(jì)算機(jī)得到該方程的數(shù)值解.但是,如果考慮真真空泡泡的尺寸比壁厚大得多的情況,或者偽真空與真真空的勢(shì)能差與介于兩個(gè)真空之間的勢(shì)壘相比小得多的情況,該情況也稱為薄壁(thinwall)近似,則方程式(15)中的第二項(xiàng)與第一項(xiàng)相比可以被忽略,即方程進(jìn)一步簡(jiǎn)化為

根據(jù)方程(11)和(18),泡泡的臨界半徑rc等于

這里ε=V(σ)?V(σf).將(19)式代入方程(11),可得Fb以e和S為變量的形式:

由此,一旦得到了體系的自由能Fb,就可以很容易估算出夸克強(qiáng)子一級(jí)相變的成核率G.

利用薄壁近似,圖4給出了當(dāng)T=Tc時(shí),夸克強(qiáng)子一級(jí)相變的表面張力隨夸克化學(xué)勢(shì)的變化.可知在一級(jí)相變區(qū)域,當(dāng)化學(xué)勢(shì)增大時(shí),強(qiáng)子相的表面張力也隨著化學(xué)勢(shì)增大.當(dāng)溫度接近零時(shí),強(qiáng)子夸克相變的表面張力約為12.6 MeV/fm2.在T→0的情況,本文理論預(yù)言與文獻(xiàn)[25]一致,但該文獻(xiàn)只是考慮T=0 的冷夸克物質(zhì)的夸克強(qiáng)子一級(jí)相變.

圖4 T=Tc 時(shí)表面張力與夸克化學(xué)勢(shì)的演化關(guān)系Fig.4.Surface tension as a function of a quark chemical potential when T=Tc.

5 結(jié) 論

利用兩個(gè)夸克味的夸克介子模型,在有限溫度、有限夸克化學(xué)勢(shì)密度條件下,本文計(jì)算了模型熱力學(xué)有效勢(shì)能,通過求解該熱力學(xué)有效勢(shì)能對(duì)s場(chǎng)的變分,得到s介子場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)方程,求解該運(yùn)動(dòng)方程得到s場(chǎng)的真空期望值隨溫度和密度的變化關(guān)系.我們發(fā)現(xiàn),在高溫低密度區(qū)域,量子色動(dòng)力學(xué)的相變是過渡相變,而在低溫高密度區(qū)域,量子色動(dòng)力學(xué)的相變是一級(jí)相變,在過渡相變和一級(jí)相變的交界處存在一個(gè)相變的臨界點(diǎn),我們稱之為CEP (critical end point).為了提供更加完整的理論結(jié)果,不同于其他文獻(xiàn),我們?cè)谀Ｐ偷挠?jì)算中考慮夸克場(chǎng)的真空漲落和重整化效應(yīng),并且我們采用了一套廣泛應(yīng)用并被實(shí)驗(yàn)認(rèn)可的模型參數(shù)來(lái)計(jì)算.特別是夸克場(chǎng)的真空漲落效應(yīng),通常會(huì)使得一級(jí)相變的相變區(qū)域變得很小,從而進(jìn)一步推低夸克強(qiáng)子相變的強(qiáng)子相的表面張力的數(shù)值,而很小的表面張力數(shù)值,使得中子星在早期演化過程中產(chǎn)生更加復(fù)雜的中子星結(jié)構(gòu),比如中子星的混合相的出現(xiàn),夸克星硬層的出現(xiàn)等物理現(xiàn)象[26].

考慮到基于夸克介子模型的熱力學(xué)性質(zhì)計(jì)算結(jié)果與當(dāng)前的格點(diǎn)量子色動(dòng)力學(xué)計(jì)算差距較大,與當(dāng)前的實(shí)驗(yàn)觀測(cè)也有相當(dāng)大的出入,故在該模型中我們考慮膠子的自由度,把夸克介子模型進(jìn)一步推廣到Polyakov圈拓展的Polyakov-quark-meson model (PQM)模型[27?30].由于考慮了Polyakov圈拓展,需要在模型中引入另外兩個(gè)序參量,因此PQM模型具有三個(gè)序參量,在計(jì)算夸克強(qiáng)子相變表面張力時(shí),需要同時(shí)求解三個(gè)非線性微分方程組[31],理論和數(shù)值計(jì)算將變得非常復(fù)雜和困難,特別是在這種情況下,薄壁近似將不再有效,只能采用數(shù)值計(jì)算來(lái)獲得表面張力的數(shù)值信息.目前,該方向的研究正在進(jìn)行中.