動(dòng)能定理不依賴慣性參考系選取的證明

蘇石磊， 閆磊磊， 潘志峰

( 鄭州大學(xué) 物理工程學(xué)院, 鄭州 河南 450001 )

0 引言

牛頓第二定律指出：“質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生改變的前提是受到外力的作用，獲得加速度.”牛頓第二定律描述的是力對物體的瞬時(shí)作用，但在很多實(shí)際情況時(shí)，作用在物體上的力會持續(xù)一段時(shí)間，移動(dòng)一定的位移.力在時(shí)間上的累積作用FΔt對物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的影響體現(xiàn)在動(dòng)量定理[1].力在空間上的累計(jì)作用F·Δr對物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的影響由動(dòng)能定理體現(xiàn)[2].目前，大多數(shù)大學(xué)物理教材[1-4]在介紹動(dòng)能定理的特點(diǎn)時(shí)，僅將其簡單地描述為：“動(dòng)能定理不依賴于慣性系的選取”，并沒有給出嚴(yán)格的證明，這使得學(xué)生難以真正掌握動(dòng)能定理，影響后續(xù)大學(xué)物理知識的學(xué)習(xí).針對這一問題，本文利用基本慣性參考系和運(yùn)動(dòng)慣性參考系來證明動(dòng)能定理不依賴于慣性參考系的選取，以此加深學(xué)生對動(dòng)能定理的理解，幫助學(xué)生提高創(chuàng)新思維和發(fā)散思維[5-8].

1 預(yù)備知識

1) 動(dòng)量定理.牛頓第二定律為：

(1)

式中F代表作用在系統(tǒng)上的合外力，p=mv為系統(tǒng)的動(dòng)量，t為時(shí)間，m為系統(tǒng)質(zhì)量.對公式(1)變形并積分可得：

(2)

式中p1為系統(tǒng)在t1時(shí)刻的動(dòng)量，p2為系統(tǒng)在t2時(shí)刻的動(dòng)量.公式(2)即為動(dòng)量定理的積分形式,其物理意義為：在給定的時(shí)間間隔內(nèi)，外力作用在質(zhì)點(diǎn)上的沖量，等于質(zhì)點(diǎn)在此時(shí)間內(nèi)動(dòng)量的增量.如果力為恒力，則積分變?yōu)榱εc時(shí)間的乘積.

2) 動(dòng)能定理.如圖1所示，質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)在合力F的作用下，自A點(diǎn)沿曲線移動(dòng)到B點(diǎn).質(zhì)點(diǎn)在點(diǎn)A和點(diǎn)B的速率分別為v1和v2.設(shè)作用在位移元dr上的合力F與dr之間的夾角為θ， 則合力對質(zhì)點(diǎn)所做的元功為

dW=F·dr=Fcosθ|dr|.

圖1 動(dòng)能定理示意圖

由牛頓第二定律及切向加速度的定義可得：

因?yàn)閐s=vdt， 得dW=mvdv.再對dW=mvdv進(jìn)行積分可得動(dòng)能定理：

(3)

3) 相對運(yùn)動(dòng).如圖2所示，考慮2個(gè)參考系，一個(gè)為oxy坐標(biāo)系(S系)，另一個(gè)為o′x′y′ 坐標(biāo)系(S′系).初始時(shí)2個(gè)參考系重合.本文研究的質(zhì)點(diǎn)，在S系中的位置以P表示，在S′系中的位置用P′表示.在Δt時(shí)間內(nèi)，S′系相對于基本參考系以速度u沿y軸運(yùn)動(dòng).在S系中，質(zhì)點(diǎn)從P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到Q點(diǎn)，其位矢為Δr.在S′系中，質(zhì)點(diǎn)從P′點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到Q點(diǎn)，其位矢為Δr′.這些矢量之間滿足以下關(guān)系[3]：

(4)

當(dāng)取Δt→0， 可得

v=v′+u,

(5)

其中v為質(zhì)點(diǎn)相對于基本參考系的速度，v′為質(zhì)點(diǎn)相對于運(yùn)動(dòng)參考系的速度.

圖2 質(zhì)點(diǎn)在相對作勻速直線運(yùn)動(dòng)的兩個(gè)慣性參考系中的力學(xué)量

2 動(dòng)能定理形式不依賴于參考系選取的證明

首先證明動(dòng)量定理形式不依賴于參考系的選取，然后按照類似的思想去證明動(dòng)能定理形式不依賴于參考系的選取.

假設(shè)運(yùn)動(dòng)慣性參考系S′相對運(yùn)動(dòng)基本慣性參考系S沿某一固定方向以速度u運(yùn)動(dòng)，質(zhì)點(diǎn)受一恒力F作用，作用時(shí)間為Δt.則在S系中，動(dòng)量定理的表達(dá)形式為:

FΔt=mv2-mv1，

(6)

其中t為作用時(shí)間，m為質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量，v1為初速度，v2為末速度.公式(6)可以變形為

FΔt=m(v2-u)-m(v1-u).

由相對運(yùn)動(dòng)的公式(5)可得：

FΔt=mv′2-mv′1.

(7)

從公式 (6) 和公式 (7) 可以看出，動(dòng)量定理形式不依賴于參考系的選取.

假設(shè)質(zhì)點(diǎn)在基本慣性參考系中移動(dòng)的位移矢量為Δr， 在運(yùn)動(dòng)慣性參考系中移動(dòng)的位移矢量為Δr′， 運(yùn)動(dòng)慣性參考系相對于基本慣性參考系的移動(dòng)速度為u.在基本慣性參考系中，質(zhì)點(diǎn)的初始速度和末速度分別為v1和v2； 在運(yùn)動(dòng)慣性參考系中，質(zhì)點(diǎn)的初始速度和末速度分別為v′1和v′2.在基本慣性參考系中，質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理可以表示為:

(8)

在動(dòng)量定理式(6)兩側(cè)右端同時(shí)點(diǎn)乘u可得：

F·uΔt=mv2·u-mv1·u.

(9)

公式 (8)減公式(9),得：

(10)

公式 (10) 可變形為

(11)

利用公式(a-b)2=a2-a·b-b·a+b2簡化公式(11)，同時(shí)考慮標(biāo)量積特點(diǎn)(a·b=b·a)及相對運(yùn)動(dòng)公式 (4)和(5)后，公式(11)可變形為

(12)

通過對比公式(8)和公式(12)可知，質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理在不同參考系下的形式是一致的.上述證明過程是在恒力的作用下，對于變力的情況，也可以利用類似的方法證明.

3 結(jié)論

本文利用基本慣性參考系中的動(dòng)能定理和矢量運(yùn)算法則，求解出運(yùn)動(dòng)慣性參考系中的動(dòng)能定理，即證明了動(dòng)能定理形式不依賴于參考系的選取.該證明不僅有利于學(xué)生掌握動(dòng)能定理和提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力，而且有利于培養(yǎng)學(xué)生的探究精神和創(chuàng)新思維.