初中數(shù)學(xué)“數(shù)形結(jié)合”思想的教學(xué)研究

焦讓前

摘 要：數(shù)形結(jié)合思想，即借助數(shù)的精確性闡明圖形的某種屬性。利用圖形的直觀性闡明數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系，這是溝通數(shù)形之間的聯(lián)系、并通過(guò)這種聯(lián)系產(chǎn)生感知或認(rèn)知、形成數(shù)學(xué)概念或?qū)ふ医鉀Q數(shù)學(xué)問(wèn)題途徑的思維方式。

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合;幾何意義;應(yīng)用;觀察力

中圖分類(lèi)號(hào)：G633.6文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A???? 文章編號(hào)：1992-7711（2019）15-068-2

新的課程改革中的數(shù)學(xué)，其基本出發(fā)點(diǎn)是促進(jìn)學(xué)生全面、和諧、持續(xù)的發(fā)展，它要求學(xué)生通過(guò)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)、技能和方法，逐漸形成自己的數(shù)學(xué)思想和方法，讓學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光看待生活中的人和事物，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的方法解決生活中的實(shí)際問(wèn)題。運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，不僅直觀易發(fā)現(xiàn)解題途徑，而且能避免復(fù)雜的計(jì)算與推理，大大簡(jiǎn)化了解題過(guò)程。

一、激發(fā)學(xué)生用數(shù)形結(jié)合的思想去解題的興趣

教師要善于激發(fā)學(xué)生的“數(shù)形結(jié)合”興趣，培養(yǎng)學(xué)生的“數(shù)形結(jié)合”意識(shí)。“數(shù)軸”的學(xué)習(xí)對(duì)于處于“數(shù)形結(jié)合”萌芽時(shí)期的初中生而言是決定性的。一方面，它可以與有理數(shù)、無(wú)理數(shù)的學(xué)習(xí)聯(lián)系起來(lái)，讓初中生開(kāi)始感受什么是數(shù)形結(jié)合;另一方面，它通過(guò)方程、不等式的應(yīng)用讓學(xué)生真正體驗(yàn)到數(shù)形結(jié)合的優(yōu)勢(shì)，而恰恰是這種體驗(yàn)令學(xué)生見(jiàn)證了數(shù)與形的和諧統(tǒng)一，并在潛移默化中最終形成運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想意識(shí)。

二、重視數(shù)學(xué)概念的幾何意義的教學(xué)

數(shù)學(xué)中的很多概念都有一定的幾何意義，要培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想，就要善于挖掘數(shù)學(xué)概念的幾何意義。剛進(jìn)入初中的學(xué)生在學(xué)習(xí)絕對(duì)值的概念時(shí)，教材對(duì)絕對(duì)值的幾何意義作了如下描述：“一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值是指在數(shù)軸上表示這個(gè)數(shù)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離”。因此教師此時(shí)要有意識(shí)地重視講清：“|x|在數(shù)軸上表示數(shù)x所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離”。

例1：在數(shù)軸上表示a、b兩個(gè)實(shí)數(shù)的點(diǎn)的位置如圖所示，化簡(jiǎn)|a-b|-|a+b|。

解決這個(gè)問(wèn)題應(yīng)從數(shù)軸上討論a，b的絕對(duì)值的大小，根據(jù)有理數(shù)加法、減法法則，從而確定a+b，a-b的符號(hào)。

通過(guò)認(rèn)真講述數(shù)學(xué)概念的幾何意義，溝通數(shù)與形的本質(zhì)聯(lián)系，不僅可以深化對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解，而且還為提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力開(kāi)辟了新途徑。所以從低年級(jí)起就要重視數(shù)學(xué)概念的幾何意義的教學(xué)，知難而進(jìn)，培養(yǎng)興趣，持之以恒，將會(huì)有極大的收益。

三、重視數(shù)學(xué)的的基本圖象在函數(shù)、三角上的應(yīng)用

在初中階段，數(shù)形結(jié)合是一種重要的數(shù)學(xué)思想，它要求學(xué)生把抽象的數(shù)或式與直觀的“形”（幾何圖形）結(jié)合起來(lái)，達(dá)到使問(wèn)題容易理解，思路易于把握的效果，華羅庚所說(shuō)的“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微”，正說(shuō)明了數(shù)形結(jié)合思想的重要性。

例2：ax2+bx+c=0（a≠0）是一元二次方程。它的解可以理解為函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與常值函數(shù)y=0，即x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。那么當(dāng)公共點(diǎn)有兩個(gè)時(shí)，對(duì)應(yīng)的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解;當(dāng)公共點(diǎn)只有一個(gè)時(shí)，對(duì)應(yīng)的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)解;當(dāng)沒(méi)有公共點(diǎn)時(shí)，對(duì)應(yīng)的一元二次方程沒(méi)有實(shí)數(shù)解。

解析：①x2-x-6=0，x1=-2，x2=3，y=x2-x-6與x軸的公共點(diǎn)A（-2，0），B（3，0）。

②x2-2x+1=0，x1=x2=1，y=x2-2x+1與x軸的公共點(diǎn)A（1，0）。

③x2+1=0，沒(méi)有實(shí)數(shù)解，y=x2+1與x軸沒(méi)有公共點(diǎn)。

例3：如圖，A、B兩地之間有一座山，汽車(chē)原來(lái)從A地到B地須經(jīng)C地沿折線A—C—B行駛，現(xiàn)開(kāi)通隧道后，汽車(chē)直接沿直線AB行駛。已知AC=10km，∠A=30°，∠B=45°，則隧道開(kāi)通后，汽車(chē)從A地到B地比原來(lái)少走多少千米？（結(jié)果精確到01km）（參考數(shù)據(jù)：2≈141，3≈173）

解析：過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為D。構(gòu)造兩個(gè)有著公共邊的直角三角形。使得問(wèn)題轉(zhuǎn)化到解直角三角形中的問(wèn)題，

在Rt△CAD中，可求CD=5，AD=53。

在Rt△CBD中，可求BC=52。

∴AB=5+53。

∴AC+BC-AB=5+52-53≈34。

所以，隧道開(kāi)通后，汽車(chē)從A地到B地比原來(lái)少走約34千米。

因此作為老師就要教他們梳理所學(xué)數(shù)學(xué)的知識(shí)和數(shù)學(xué)的思想、方法。特別要將教材中隱藏的思想方法挖掘出來(lái)，并且要把分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的方式、方法教給學(xué)生，同時(shí)要讓他們得到一定的訓(xùn)練，達(dá)到久久難以忘懷的程度，從而使學(xué)生感受到其中的樂(lè)趣。

四、要善于利用數(shù)形結(jié)合培養(yǎng)學(xué)生的觀察力

數(shù)形要結(jié)合，關(guān)鍵在于能根據(jù)函數(shù)式（或方程）畫(huà)出圖形和根據(jù)代數(shù)式分析其表示的幾何意義。數(shù)學(xué)上的有很多公式、定理都具有一定的幾何意義，教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生深刻分析這些公式、定理與幾何圖形的內(nèi)在的本質(zhì)地聯(lián)系，從而尋求解決問(wèn)題的有效方法。

例4：在某一個(gè)圓上，我們考察同一個(gè)弧所對(duì)的圓心角和圓周角的關(guān)系。

教師可以在黑板上畫(huà)圖，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行觀察：

1.當(dāng)圓周角的一邊與圓心角的一邊共線（或圓心在圓周角的一邊上）時(shí)，我們可以很快發(fā)現(xiàn)“圓周角是圓心角的一半”（見(jiàn)圖1-1）;

2.當(dāng)圓心在圓周角內(nèi)時(shí)，我們只要做一條輔助線（連接圓形和圓周角的頂點(diǎn)的直徑），再利用前面的結(jié)果又可發(fā)現(xiàn)“圓周角是圓心角的一半”（見(jiàn)圖1-2）;

3.當(dāng)圓心在圓周角外時(shí)，做同樣的輔助線可以利用前面的結(jié)果得到“圓周角是圓心角的一半”（見(jiàn)圖1-3）。

我們從以上三個(gè)個(gè)別情形可以推得一般結(jié)論：“在任何情形下，同弧所對(duì)的圓周角是圓心角的一半”。

可見(jiàn)，挖掘代數(shù)式的幾何意義，數(shù)形結(jié)合起到了鬼斧神工的妙用。因此，教師在使用數(shù)形結(jié)合方法的時(shí)候，必須結(jié)合教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生的實(shí)際，采取適當(dāng)方法和措施，有意識(shí)地去體現(xiàn)和解釋數(shù)學(xué)知識(shí)中抽象概念和形象事物之間的聯(lián)系，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。對(duì)講過(guò)的知識(shí)點(diǎn)必須及時(shí)總結(jié)和復(fù)習(xí)，強(qiáng)化這些知識(shí)，讓它們?cè)趯W(xué)生腦海中留下深刻的印象，促使學(xué)生對(duì)概念的認(rèn)識(shí)從感性上升到理性。

總之，數(shù)形結(jié)合是具體與抽象、感知與思維的結(jié)合，是使形象思維與抽象思維相互轉(zhuǎn)化的有力“杠桿”。教師應(yīng)在數(shù)學(xué)教學(xué)中盡量發(fā)掘“數(shù)”與“形”的本質(zhì)聯(lián)系，借助數(shù)形結(jié)合的“慧眼”，探索分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的方法，變學(xué)生學(xué)會(huì)為會(huì)學(xué)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，在數(shù)學(xué)教學(xué)中真正實(shí)現(xiàn)素質(zhì)教育。