導(dǎo)數(shù)易錯題歸類剖析

■河南省太康縣第一高級中學(xué)

導(dǎo)數(shù)的幾何意義問題的類型主要有:一是利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程;二是判斷直線與曲線的位置關(guān)系;三是研究切線的斜率或傾斜角。題型主要是選擇題或填空題,文科試卷大多是命制導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)綜合問題。

導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的綜合問題的類型主要有:一是利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間或判斷函數(shù)的單調(diào)性,求函數(shù)的極值或最值;二是利用導(dǎo)數(shù)解決與函數(shù)零點(diǎn)有關(guān)的問題;三是利用導(dǎo)數(shù)解決不等式和求參數(shù)范圍的問題。通過函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合考查單調(diào)性和最值問題仍然是熱點(diǎn),也是難點(diǎn)。選擇題、填空題往往側(cè)重于利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性和極值,一般屬于低檔題目;解答題側(cè)重于導(dǎo)數(shù)與函數(shù)、解析幾何、不等式、數(shù)列等知識的綜合應(yīng)用,一般難度較大,屬于中高檔題。

例1 曲線在點(diǎn)(1,2)處的切線方程為____。

易錯點(diǎn)：函數(shù)求導(dǎo)公式不正確,直線方程書寫不規(guī)范。

解析：設(shè)y=f(x),則所以f'(1)=2-1=1,所以曲線在點(diǎn)(1,2)處的切線方程為y=x+1。

例2 已知曲線,求曲線過點(diǎn)P(2,4)的切線方程。

易錯點(diǎn)：易忽視“曲線過點(diǎn)P(2,4)的切線方程”與“該曲線在點(diǎn)P(2,4)處的切線方程”的區(qū)別,導(dǎo)致漏解。

解析：設(shè)曲線與過點(diǎn)P(2,4)的切線相切于點(diǎn),則切線的斜率k=y'|x=x0=x20,所以切線方程為

因?yàn)辄c(diǎn)P(2,4)在切線上,所以4=,即,所以,所以(x0+1)(x0-2)2=0,解得x0=-1或x0=2,故所求的切線方程為4x-y-4=0或x-y+2=0。

例3 若直線y=k x+b是曲線y=的切線,也是曲線y=ln(x+1)的切線,則b=____。

易錯點(diǎn)：兩個曲線的切點(diǎn)不是同一個點(diǎn),應(yīng)該分別設(shè)出來。

解析：對函數(shù)y=lnx+2求導(dǎo)得y'=,對y=ln(x+1)求導(dǎo)得設(shè)直線y=k x+b與函數(shù)y=lnx+2相切于點(diǎn)與函數(shù)y=ln(x+1)相切于點(diǎn)則y1=lnx1+2,y2=ln(x2+1)。因?yàn)辄c(diǎn)P1(x1,y1)在切線上,所以y-,由點(diǎn)P2(x2,y2)在切線上得),這兩條直線表示同一條直線,所以解得x1=,所以,所以

方法歸類：與導(dǎo)數(shù)幾何意義有關(guān)問題的常見類型及解題策略:

(1)已知切點(diǎn)求切線方程。解決此類問題的步驟為:

①求出函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x=x0處的導(dǎo)數(shù),即曲線y=f(x)在點(diǎn)P(x0,f(x0))處切線的斜率;

②由點(diǎn)斜式求得切線方程為y-y0=f'(x0)·(x-x0)。

(2)已知斜率求切點(diǎn):已知斜率k,求切點(diǎn)(x1,f(x1)),即解方程f'(x1)=k。

(3)求切線傾斜角的取值范圍:先求導(dǎo)數(shù)的取值范圍,即確定切線斜率的取值范圍,然后利用函數(shù)的單調(diào)性解決。

例4 已知函數(shù)f(x)=ae2x+(a-2)·ex-x。

(Ⅰ)討論f(x)的單調(diào)性;

(Ⅱ)若f(x)有兩個零點(diǎn),求a的取值范圍。

易錯點(diǎn)：第一,牢記求導(dǎo)法則,正確求導(dǎo):在函數(shù)與導(dǎo)數(shù)類解答題中,通常都會涉及求導(dǎo),正確的求導(dǎo)是解題關(guān)鍵,因此要牢記求導(dǎo)公式,做到正確求導(dǎo),解題時應(yīng)先寫出函數(shù)的定義域。

第二,注意利用第一問的結(jié)果:在題設(shè)條件下,如果第一問的結(jié)果第二問能用得上,可以直接用,有些題目不用第一問的結(jié)果甚至無法解決,如本題的第二問就是在第一問的基礎(chǔ)上求解的。

第三,注意分類討論:高考中的函數(shù)與導(dǎo)數(shù)解答題,一般都會涉及分類討論,并且討論的步驟也是得分點(diǎn),所以一定要重視分類討論。

第四,寫全得分點(diǎn):在函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問題中,求導(dǎo)的結(jié)果、分類討論的條件、單調(diào)區(qū)間、零點(diǎn)等一些關(guān)鍵式子和結(jié)果都是得分點(diǎn),在解答時一定要寫清楚。

解析：(Ⅰ)f(x)的定義域?yàn)?-∞,+∞),f'(x)=2ae2x+(a-2)ex-1=(aex-1)(2 ex+1)。

(1)若a≤0,則f'(x)＜0,所以f(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞減。

(2)若a＞0,則由f'(x)=0得x=-lna。

當(dāng)x∈(-∞,-lna)時,f'(x)＜0;

當(dāng)x∈(-lna,+∞)時,f'(x)＞0。

所以f(x)在(-∞,-lna)上單調(diào)遞減,在(-lna,+∞)上單調(diào)遞增。

(Ⅱ)(1)若a≤0,由(Ⅰ)知,f(x)至多有一個零點(diǎn)。

(2)若a＞0,由(Ⅰ)知,當(dāng)x=-lna時,f(x)取得最小值,最小值為f(-lna)=1-

①當(dāng)a=1時,由于f(-lna)=0,故f(x)只有一個零點(diǎn);

②當(dāng)a∈(1,+∞)時,由于＞0,即,故f(x)沒有零點(diǎn);

③當(dāng)a∈(0,1)時,即e-2+2＞-2 e-2+2＞0,故f(x)在(-∞,有一個零點(diǎn)。

設(shè)正整數(shù)n0滿足,則

綜上,a的取值范圍為(0,1)。

點(diǎn)評：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)的零點(diǎn)等知識,意在考查考生的運(yùn)算求解能力、分析問題與解決問題的能力。第(Ⅰ)問對函數(shù)求導(dǎo),導(dǎo)函數(shù)含有參數(shù),需要對參數(shù)進(jìn)行分類討論,再判斷函數(shù)的單調(diào)性;第(Ⅱ)問結(jié)合第(Ⅰ)問函數(shù)的單調(diào)性,判斷函數(shù)存在兩個零點(diǎn)的條件,進(jìn)而確定參數(shù)的范圍。

跟蹤訓(xùn)練：

1.曲線y=-ex+3在點(diǎn)(0,2)處的切線與直線x=0和y=2x所圍成的三角形面積為( )。

圖1

解析：由y=-ex+3,得y'=-ex,則y'|x=0=-1,所以曲線y=-ex+3在點(diǎn)(0,2)處的切線方程為y=-x+2,如圖1,聯(lián)立解得所以所求三角形面積為故選B。

2.已知定義域?yàn)?1,+∞)的函數(shù)f(x)=ex+a-a x,若f(x)＞0恒成立,則正實(shí)數(shù)a的取值范圍為( )。

解析：根據(jù)題意,f(x)=ex+a-a x,若f(x)＞0恒成立,只需恒成立,設(shè)則

分析可得,在(1,2)上,g'(x)＜0,g(x)為減函數(shù),在(2,+∞)上,g'(x)＞0,g(x)為增函數(shù),可知當(dāng)x=2時,g(x)取得最小值e2,所以a＜e2。又因?yàn)閍＞0,所以a的取值范圍是(0,e2)。故選B。

3.已知a,b為正實(shí)數(shù),直線y=x-a+2與曲線y=ex+b-1相切,則的最小值為( )。

A.1 B.2 C.4 D.8

解析：由y=x-a+2得y'=1;由y=ex+b-1得y'=ex+b。因?yàn)橹本€y=x-a+2與曲線y=ex+b-1相切,令ex+b=1,可得x=-b,代入y=ex+b-1得y=0,所以切點(diǎn)為(-b,0),則-b-a+2=0,所以a+b=2。所以,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時等號成立,此時取得最小值2。故選B。