試論一種特殊情形的二維多普勒效應(yīng)的簡化處理

何武奎 馬增山 何文明

(1何武奎，華北油田第一中學(xué)，河北 滄州 062552； 2邯鄲市第一中學(xué)，河北 邯鄲 056002)

1 運(yùn)動參考系的確定

設(shè)在二維平面內(nèi)波源S和觀察者A分別以恒定速度vs、vA運(yùn)動，兩速度方向夾角為任意角θ，我們的任務(wù)是要找到一個(gè)運(yùn)動參考系O-xy，使得在這個(gè)參考系中波源S和觀察者A沿同一直線運(yùn)動。

將波源S和觀察者A的速度平移到同一點(diǎn)O，過O點(diǎn)做兩速度末端連線的垂線，規(guī)定這是y軸，那么過O點(diǎn)的垂直方向直線即為x軸，這就是我們要找的運(yùn)動參考系，如圖1所示。

圖 1

規(guī)定這個(gè)運(yùn)動參考系的速度就是vs、vA在y軸上的投影速度vy,

即vy=vscosα=vAcosβ

由vscosα=vAcosβ，α+β=θ

vs和vA在x軸上的投影分別為

由以上討論可知，在動系O-xy中，波源和觀察者分別以v′s、v′A沿x軸勻速運(yùn)動

2 波速u的變化

再考慮到波源和觀察者同時(shí)經(jīng)過軌道交叉點(diǎn)，二者在動系中的速度方向必然相反，也即彼此遠(yuǎn)離，則本文討論的特殊情形二維多普勒效應(yīng)的公式應(yīng)為

再強(qiáng)調(diào)一下，公式中正負(fù)號選取規(guī)則：在我們所選的動系中，源S和觀察者A都背離對方運(yùn)動，所以分子取負(fù)號，分母取正號。

3 對運(yùn)動參考系的補(bǔ)充說明

圖 2

如果動系速度v′指向圖2的y軸右側(cè)，可作同樣的分析而結(jié)論不變。這樣看來，本文開始所提出的運(yùn)動參考系應(yīng)該是解此類問題的最簡單參考系。

4 應(yīng)用舉例

兩輛汽車A與B，在t= 0時(shí)從十字路口O處分別以速度vA和vB沿水平的、相互正交的公路勻速前進(jìn)，如圖3所示。汽車A持續(xù)地以固定的頻率ν0鳴笛，求在任意時(shí)刻t汽車B的司機(jī)所檢測到的笛聲頻率ν′。已知聲速為u，且有u>vA、vB。

圖3

在動系x軸上A、B兩車投影速度由前文公式得

點(diǎn)評：(1)本題是22屆全國中學(xué)生物理競賽復(fù)賽第六題，我國著名的物理競賽專家舒幼生教授曾對這道題作了深入的研究，指出若用普適的多普勒公式求解，計(jì)算非常煩瑣。該題的標(biāo)準(zhǔn)答案計(jì)算量相對簡潔一些。但是若采用本文所論及的方法會更簡單方便。(2)具體解題時(shí)，求動系速度vy、S和A在動系x軸上的分速度v′s、v′A，不必(也沒必要)套用本文中所給的幾個(gè)公式，而是記住本文的思路就能方便地解出這幾個(gè)量。