費馬風(fēng)云錄
2019-09-26 08:05:38涂興佩
科學(xué)中國人 2019年15期
文 涂興佩
“當(dāng)整數(shù)n＞2時，Xn+Yn=Zn沒有正整數(shù)解?！?637年，在閱讀古希臘數(shù)學(xué)家丟番圖的著作《算術(shù)》拉丁文譯本時，法國學(xué)者皮耶·德·費馬隨手在空白處寫下了這樣一句話。隨即，他又留下了一個讓人咬牙切齒的批注：“關(guān)于這一命題，我確信已發(fā)現(xiàn)了一種十分美妙的證明，可惜這里空白的地方太小，寫不下?！?/p>
358年，就為了這一“留白”的命題，整整358年，跨越了4個世紀(jì)，甚至牽動了整個星球上最有才智的科學(xué)家，卻依然沒有一個人能最終證明命題的正確性。在數(shù)學(xué)界，可以毫不猶豫地說，費馬大定理的地位完全不亞于中國文壇的《紅樓夢》。巨額賞金、自殺性的絕望、黎明前的決斗……圍繞費馬大定理衍生出來的戲劇性故事超出了人們的想象。
“有本事就來證明吧！”
費馬是一個“不討喜”的家伙。
不管是對于與他同時期還是后來的人而言，提起費馬都恨得咬牙切齒。他是解析幾何的發(fā)明者之一；在微積分領(lǐng)域，他的貢獻僅次于艾薩克·牛頓；與此同時，他還是概率論的主要創(chuàng)始人，以及獨撐17世紀(jì)數(shù)論天地的人。但偏偏，他還不是數(shù)學(xué)從業(yè)者。
一生中從未接受過專門數(shù)學(xué)教育的費馬，在法國擁有一份全職工作——律師，并且直到逝世前都沒有失去。1642年，在圖盧茲議會擔(dān)任議員的費馬遇到了他職業(yè)生涯中的第一位“貴人”——法國最高法院顧問勃里斯亞斯。在他的推薦下，費馬進入了最高刑事法庭和法國大理院主要法庭，這無疑為他以后的升遷提供了更加便利的機會。1646年，費馬升任議會首席發(fā)言人，后來還曾擔(dān)任過天主教聯(lián)盟主席。不過據(jù)記載，費馬并沒有什么突出政績值得稱道，應(yīng)付官場的能力也極普通，更談不上有什么出色的領(lǐng)導(dǎo)才能。也許，他的發(fā)光點注定不在官場。
從小生活在富裕家庭環(huán)境中的費馬，幼年時期曾接受過良好的啟蒙教育，這為他日后廣泛的興趣愛好打下了基礎(chǔ)，尤其是數(shù)學(xué)。中學(xué)畢業(yè)后，費馬先后在法國奧爾良大學(xué)和圖盧茲大學(xué)學(xué)習(xí)法律，畢業(yè)后也成了全職律師，但這些并不能阻止他對數(shù)學(xué)的熱愛。
利用學(xué)習(xí)和工作的業(yè)余時間，費馬開始研究數(shù)學(xué)。1621年，年僅20歲的費馬在巴黎買到了一本書——公元3世紀(jì)古希臘數(shù)學(xué)家丟番圖所寫的《算術(shù)》。誰也想不到這普通平凡的一天竟然將費馬送到了數(shù)論的天地。
皮耶·德·費馬
全部大于2的素數(shù)可分為4n+1和4n+3兩種形式；存在第二對親和數(shù)：17296和18416；沒有一個形如4n+3的素數(shù)，能表示為兩個平方數(shù)之和；邊長為有理數(shù)的直角三角形的面積不可能是一個平方數(shù)……
研之越深，問題也就越多，到了費馬這兒簡直“開了掛”。他不但一邊求證，一邊發(fā)現(xiàn)，還喜歡挑釁當(dāng)代的數(shù)學(xué)家，時常寫信敘述自己的最新定理，卻不提供相應(yīng)證明，以此挑戰(zhàn)和嘲弄別人。和他同時代的天才、被譽為“近代科學(xué)的始祖”的笛卡爾也對之毫無辦法，無可奈何。就算是后來的“數(shù)學(xué)王子”高斯，表面上對費馬大定理不屑一顧，私底下也曾對n=7的情況久思不解?？繕I(yè)余時間自學(xué)成才的費馬著實是數(shù)學(xué)界的一朵奇葩，但他孩子般的炫耀盡管讓人著惱卻真正恨不起來，因為他過人的聰明才智完全有驕傲的資本??！
接力賽
在費馬的一生中，曾提出過無數(shù)猜想與定理，除了他自己顯露的一些成就以外，絕大部分都于死后才被發(fā)現(xiàn)。其中最出名的就是費馬大定理：當(dāng)整數(shù)n＞2時，Xn+Yn=Zn沒有正整數(shù)解。
一個讀者留下的批注，除了他自己，還有誰會關(guān)注呢？在此，我們必須感謝一個人——費馬的長子克萊曼特·薩摩爾。如果不是他在費馬死后整理其論文、手稿并出版，我們不僅會錯過一位驚才絕艷的數(shù)學(xué)家，更會少了一段跌宕起伏、史詩般的接力賽。
1753年，瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉在給哥德巴赫的信中說，他證明了n=3時的費馬猜想，1770年其證明發(fā)表在《代數(shù)指南》一書中，方法是“無限下降法”和形如a+根號（-3）數(shù)系的唯一因子分解定理，這一方法也被后人多次引用。1816年，巴黎科學(xué)院把費馬猜想轉(zhuǎn)化簡化歸結(jié)為n是奇素數(shù)的情況，認(rèn)為費馬猜想應(yīng)該成立，并稱為“費馬大定理”（以區(qū)別費馬關(guān)于同余的小定理），并為證明者設(shè)立大獎和獎?wù)?，費馬大定理之謎從此進一步風(fēng)靡全球。
但不久后，戲劇性的一幕便出現(xiàn)了。1847年，著名數(shù)學(xué)家拉梅和柯西先后宣布自己基本證明費馬大定理，拉梅還聲稱證明引用了劉維爾復(fù)數(shù)系中的唯一因子分解定理，劉維爾則說這一定理源自歐拉和高斯的思想。一時間，大數(shù)學(xué)家都被牽扯其中，似乎十分可靠。但一個月后，德國數(shù)學(xué)家?guī)炷瑺柕囊环鈦硇欧鬯榱诉@一夢想。他指出了兩人共同犯下的邏輯錯誤。庫默爾的信使得拉梅一下子泄了氣，但柯西卻拒絕承認(rèn)失敗，幾個星期內(nèi)，他連續(xù)發(fā)表文章予以辯解，直到夏季結(jié)束才變得安靜下來。
高斯
庫默爾是高斯的學(xué)生。表面上，高斯對費馬大定理不屑一顧，但實際上也在暗中較勁卻不可得。在指出拉梅和柯西的錯誤之后，庫默爾運用獨創(chuàng)的“理想素數(shù)”理論，一下子證明了100以內(nèi)除37、59、67以外的所有奇數(shù)費馬大定理都成立，使證明問題取得了第一次重大突破。但其后的半個世紀(jì)卻再次停滯不前。
1908年6月27日，哥廷根皇家科學(xué)協(xié)會頒布了一則公告，使得費馬大定理又一次轟動了世界。“根據(jù)達姆斯塔特斯基的保羅·沃爾夫斯凱爾博士授予我們的權(quán)力，在此設(shè)立10萬馬克的獎賞，擬授予第一個證明費馬大定理者……如果到2007年9月尚未頒發(fā)此獎，將不再繼續(xù)接受申請?！?/p>
沃爾夫斯凱爾是德國一位實業(yè)家，同費馬一樣，他的業(yè)余愛好也是研究數(shù)學(xué)。盡管沒有費馬的天分，但一樁不可思議的事件卻將他和費馬大定理永遠(yuǎn)聯(lián)系在了一起。
年輕時，沃爾夫斯凱爾迷戀上了一位漂亮姑娘。但遺憾的是，他被全然拒絕了，這對一位滿懷熱情的年輕人而言當(dāng)然是巨大的打擊，傷心至極之下沃爾夫斯凱爾決定自殺。盡管決心已下，但他并不魯莽。骨子里屬于德國人的嚴(yán)謹(jǐn)精神讓沃爾夫斯凱爾制訂了非常詳細(xì)的自殺計劃，并最終確定了自殺日期，決定在午夜鐘聲響起那一刻開槍射擊自己的頭部。
按照自殺計劃，沃爾夫斯凱爾有條不紊地處理其所有商業(yè)事務(wù)、立下遺囑，并在自殺的前一天為所有的親朋好友寫下了訣別信。然而，完成所有工作后離午夜還有好幾個小時。為了消磨這人生中最后的光陰，沃爾夫斯凱爾來到了圖書館翻閱數(shù)學(xué)書籍，隨即被其中一篇文章吸引住了，該文正是庫默爾在解釋為何柯西和拉梅證明費馬大定理的方法行不通?？粗粗?，沃爾夫斯凱爾發(fā)現(xiàn)了文中的一個邏輯漏洞：庫默爾提出了一個假定，卻未在其論證中說明合理性。如果那一假定是合理的當(dāng)然沒問題，如果不合理就是巨大的邏輯缺陷！不知不覺間，沃爾夫斯凱爾拿起了筆演算起來……
時間一分一秒地過去，然后，天亮了。當(dāng)沃爾夫斯凱爾修正論文中的漏洞并放下手中的筆時，原定的自殺時間早已過去。而他當(dāng)然也不再有絲毫的絕望和悲傷，整個證明過程讓他充分感受到了成功的喜悅和數(shù)學(xué)魅力，正是數(shù)學(xué)喚起了他繼續(xù)生活下去的欲望！
“我想我就在這里結(jié)束?！?/h2>
1993年6月，當(dāng)英國數(shù)學(xué)家安德魯·懷爾斯拿起粉筆寫下費馬大定理證明的最后一步時，伴隨著巨大喜悅而來的是同樣濃重的失落感。
當(dāng)然，有著同樣感受的遠(yuǎn)遠(yuǎn)不止他一個人。那跨越了4個世紀(jì)的偉大傳奇難道就要在此時此刻結(jié)束了嗎？仿佛是一部長長的紀(jì)錄片，與費馬大定理相關(guān)的畫面一幀幀閃現(xiàn)在人們眼前……
第一個出現(xiàn)的是畢達哥拉斯，他是第一個證明勾股定理的人。接著是阿基米德，年近耄耋之年的老人正全神貫注地蹲在地上研究幾何問題，卻被闖入房中的羅馬士兵用長矛戳死。在書中看到這一幕的年輕女孩兒索菲·熱爾曼深受震撼，“如果一個人會如此癡迷于一個導(dǎo)致他死亡的幾何問題，那么數(shù)學(xué)必定是世界上最迷人的學(xué)科了”。
女孩兒馬上對這最迷人的學(xué)科著了迷，常常研究到深夜，并且在充滿大男子主義的時代用“勒布朗先生”的筆名和歐拉、高斯通信，共同探討最高深的數(shù)學(xué)問題。在拿破侖入侵普魯士時，這位自學(xué)成才的女?dāng)?shù)學(xué)家還拜托法國將軍保證了高斯的安全。她對費馬大定理做出的貢獻成了很多人研究的基礎(chǔ)。就像兩千年間涌現(xiàn)出的大多數(shù)女?dāng)?shù)學(xué)家一樣，索菲·熱爾曼終生未婚。但她卻成了傳奇故事中最亮眼的一抹紅裝……
還有年輕的日本科學(xué)家谷山豐，這個心不在焉的天才人物于1958年11月17日選擇了自殺。幾個星期后，他的未婚妻也結(jié)束了自己的生命，遺書中寫道：“既然他去了，我也必須和他在一起?！睘榱诉@次自殺行為引起的種種麻煩，谷山在遺書中向他的同事們表示了歉意，但他遺留下的對數(shù)學(xué)的許多根本性想法，卻成了解開費馬大定理的唯一一把鑰匙：谷山—志村猜想。30多年后，他的伙伴志村目睹了他們的猜想被證實，用克制和自尊的平靜對記者說：“我對你們說過這是對的?！?/p>
還有那場昏暗的黎明決斗。年僅20歲的天才數(shù)學(xué)家伽羅瓦陷入了一樁風(fēng)流韻事中。與他相好的女人事實上已經(jīng)訂婚，那名紳士發(fā)現(xiàn)了未婚妻的不忠，憤怒地向伽羅瓦提出決斗。伽羅瓦非常清楚自己的實力：遑論開槍，就連數(shù)學(xué)演算他都是只在頭腦里進行，而不屑于在紙上把論證寫清楚，也因此他的許多數(shù)學(xué)成果都得不到法國科學(xué)院的重視與承認(rèn)。決斗的前一晚他才知道，已經(jīng)來不及了！他匆匆將自己頭腦中存在的所有定理寫在紙上，最后一刻還在喃喃：“我沒有時間了，我沒有時間了！”
第二天，1832年5月30日，伽羅瓦死于決斗。直到此時，那些演算中迸發(fā)出的天才思想才讓人們意識到，他們錯過了一位怎樣的天才數(shù)學(xué)家。也是這一夜的工作，成了一個半世紀(jì)后安德魯·懷爾斯證明谷山—志村猜想的基礎(chǔ)……
傳奇的終結(jié)者懷爾斯
傳奇遠(yuǎn)沒有如此輕易結(jié)束。
1993年，正當(dāng)懷爾斯變成世界上最著名的數(shù)學(xué)家時，那個證明的核對工作也在進行著。起初，審稿人向他提出了一個看似很小的問題，懷爾斯也沒太在意。但是，破綻開始百出，災(zāi)難降臨了。他花去半年時間修補錯誤，但沒有發(fā)生任何轉(zhuǎn)機。難道歷史又將再一次重演嗎？
就在懷爾斯準(zhǔn)備承認(rèn)失敗、宣布放棄的時候，一天清晨，他坐在桌前皺眉凝思，突然間靈光乍現(xiàn)，他找到那把“迷失的鑰匙”了！足足有20分鐘，懷爾斯難以置信，巨大的震驚、喜悅、失落之后，他的心中開始恢復(fù)平靜。
這一次，持續(xù)了358年的傳奇戲劇是真的結(jié)束了。但更大的傳奇卻將永遠(yuǎn)湮沒在歷史中——關(guān)于這一命題，我確信已發(fā)現(xiàn)了一種十分美妙的證明，可惜這里空白的地方太小，寫不下。
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