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      淺談如何設(shè)計(jì)中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中的專項(xiàng)訓(xùn)練

      2019-09-25 13:18:41錢(qián)良均葉春燕
      關(guān)鍵詞:專項(xiàng)訓(xùn)練變式訓(xùn)練問(wèn)題串

      錢(qián)良均 葉春燕

      【摘要】教師設(shè)計(jì)開(kāi)展專項(xiàng)訓(xùn)練,對(duì)提高學(xué)生分析、解決問(wèn)題的能力具有特別的作用.設(shè)計(jì)專項(xiàng)訓(xùn)練的主要原則是針對(duì)性,也就是教師應(yīng)圍繞訓(xùn)練的核心目的,設(shè)計(jì)具有較強(qiáng)針對(duì)性的教學(xué)內(nèi)容,并引導(dǎo)學(xué)生積極參與到訓(xùn)練過(guò)程中去,這樣才能保證“專項(xiàng)”訓(xùn)練的“專門(mén)”效果.

      【關(guān)鍵詞】專項(xiàng)訓(xùn)練;有效性;變式訓(xùn)練;問(wèn)題串;課堂

      所謂“專項(xiàng)訓(xùn)練”,是指教師組織學(xué)生進(jìn)行以提高解題能力的核心目標(biāo)的一系列有針對(duì)性的訓(xùn)練.包括考查基礎(chǔ)知識(shí)的診斷性訓(xùn)練,提高解題速度的限時(shí)性訓(xùn)練,把握易錯(cuò)易混知識(shí)的辨析性訓(xùn)練,綜合運(yùn)用知識(shí)、思想方法的分析性訓(xùn)練,解決典型性問(wèn)題的指向性訓(xùn)練以及迅速?gòu)男畔⑿蛦?wèn)題中提取數(shù)學(xué)關(guān)系的提煉性訓(xùn)練.其原理和作用就猶如競(jìng)技體育中教練為運(yùn)動(dòng)員設(shè)計(jì)制訂一系列的專項(xiàng)訓(xùn)練一樣.

      一、注重考查基礎(chǔ)知識(shí)的診斷性訓(xùn)練

      經(jīng)過(guò)第一階段對(duì)整個(gè)初中階段所學(xué)知識(shí)的全面梳理,學(xué)生較為系統(tǒng)地復(fù)習(xí)了基礎(chǔ)知識(shí),這比新授課時(shí)的掌握情況有了新的提高.如何診斷學(xué)生的復(fù)習(xí)效果,教師宜設(shè)計(jì)編制一些基礎(chǔ)知識(shí)的診斷性訓(xùn)練(也可以回歸教材,選用一些教材中的典型例、習(xí)題),難度不宜過(guò)大,知識(shí)的綜合程度不宜過(guò)高,重點(diǎn)是讓學(xué)生根據(jù)問(wèn)題條件熟練地重現(xiàn)所涉及的基礎(chǔ)知識(shí),準(zhǔn)確地解決問(wèn)題.這類問(wèn)題在中考試題中所占比重很大,教師和學(xué)生都要引起足夠重視.

      例1 計(jì)算:48-2-1+|3-2|-3tan30°.(改編于紹興市2008年中考試題17(1),主要考查算術(shù)平方根、負(fù)整數(shù)指數(shù)、絕對(duì)值、特殊角的三角函數(shù)值等)

      二、提高解題速度的限時(shí)性訓(xùn)練

      這一點(diǎn)要求對(duì)學(xué)生進(jìn)行限時(shí)訓(xùn)練,中考要求學(xué)生在規(guī)定時(shí)間內(nèi)解答給定的問(wèn)題,對(duì)學(xué)生解題速度提出了相應(yīng)的要求.常有學(xué)生抱怨平時(shí)數(shù)學(xué)“學(xué)得還可以”,就是到了考試就手忙腳亂,甚至來(lái)不及做完整份試卷.避免這種現(xiàn)象的一個(gè)好方法是教師在復(fù)習(xí)階段設(shè)計(jì)開(kāi)展一些以提高解題速度為目的的限時(shí)性訓(xùn)練.教師可以設(shè)計(jì)編制一些難度并不太高的試題,要求學(xué)生在規(guī)定時(shí)間(如10分鐘或20分鐘)內(nèi)解決,題量可視難度、計(jì)劃時(shí)間等因素而定(如設(shè)計(jì)5~8個(gè)選擇、填空題,或1~2個(gè)解答題讓學(xué)生在10分鐘內(nèi)完成).這類訓(xùn)練的試題設(shè)計(jì)可與基礎(chǔ)性診斷訓(xùn)練相仿,但訓(xùn)練目的不同,從難度上講也基本相當(dāng),但限時(shí)性訓(xùn)練難度可稍低一些,以提升速度為主要目的.

      三、把握易錯(cuò)易混知識(shí)的辨析性訓(xùn)練

      初中數(shù)學(xué)中有許多知識(shí)教師強(qiáng)調(diào)了多次,而學(xué)生仍然容易犯錯(cuò)或混淆,也就是我們通常所說(shuō)的“陷阱”.為避免學(xué)生在同一地方摔倒兩次以上,教師可以設(shè)計(jì)專項(xiàng)訓(xùn)練題,在課堂上專門(mén)安排時(shí)間讓學(xué)生訓(xùn)練,可以明確告訴學(xué)生本次訓(xùn)練的都是“陷阱”題,就是要考查學(xué)生的觀察和辨析能力,以此來(lái)提高學(xué)生的警惕性.

      例2 4的平方根是.(需要計(jì)算4=2,再求其平方根,易與4的平方根混淆)

      例3 等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3和4,則它的第三邊長(zhǎng)為.(需考慮3和4都可作為腰長(zhǎng),易遺漏情況)

      例4 將根式a-1a外的a移入根號(hào)內(nèi)的結(jié)果為.(需考慮隱含條件a<0,易想當(dāng)然地認(rèn)為a>0)

      四、綜合運(yùn)用知識(shí)、思想方法的分析性訓(xùn)練

      統(tǒng)觀歷年中考試題,總有3~5道題目屬于綜合性問(wèn)題.這類試題常將多個(gè)知識(shí)點(diǎn)和數(shù)學(xué)思想方法綜合在一起,有一定的難度,要求學(xué)生能綜合應(yīng)用所學(xué)知識(shí)和思想方法求解,學(xué)生常感到無(wú)從著手,甚至“望題興嘆”.在復(fù)習(xí)階段,教師不妨選擇1~2道綜合問(wèn)題,引導(dǎo)學(xué)生一起分析,體會(huì)“分析問(wèn)題—聯(lián)系知識(shí)—轉(zhuǎn)化遷移—逐步求解”的解題過(guò)程,不斷提高綜合解題能力.其重點(diǎn)應(yīng)放在如何分析、尋找正確的解題思路,當(dāng)?shù)贸鏊悸芬院?,后續(xù)工作可讓學(xué)生獨(dú)立思考解答.

      例5 如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系中,O為原點(diǎn),點(diǎn)A,C的坐標(biāo)分別為(2,0),(1,33).將△OAC繞AC的中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°,點(diǎn)O落到點(diǎn)B的位置.拋物線y=ax2-23x經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,點(diǎn)D是該拋物線的頂點(diǎn).

      (1)求a的值,點(diǎn)B的坐標(biāo);(2)若點(diǎn)P是線段OA上的點(diǎn),且∠APD=∠OAB,求點(diǎn)P的坐標(biāo);(3)若點(diǎn)P是x軸上的點(diǎn),以P,A,D為頂點(diǎn)作平行四邊形,該平行四邊形的另一頂點(diǎn)在y軸上,寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)(直接寫(xiě)出答案即可).(2007年紹興中考試題24)

      分析 (1)“將△OAC繞AC的中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°,點(diǎn)O落到點(diǎn)B的位置”四邊形OABC為平行四邊形BC∥OA,BC=OAyB=yC=33,xB=xC+2=3;“拋物線y=ax2-23x 經(jīng)過(guò)點(diǎn)A”將A點(diǎn)坐標(biāo)代入可求得a=3.(2)“點(diǎn)D是該拋物線的頂點(diǎn)”D(1,-3);D(1,-3)B(3,33)tan∠OAD=tan∠AOB=3∠OAD=∠AOB=60°;∠OAD=∠AOB∠APD=∠OAB△APD∽△OAB,進(jìn)而可求得點(diǎn)P坐標(biāo).(3)“以P,A,D為頂點(diǎn)作平行四邊形,該平行四邊形的另一頂點(diǎn)在y軸上”點(diǎn)P(-1,0)或(1,0)或(3,0).

      五、解決典型幾何問(wèn)題的指向性訓(xùn)練——幾何變異理論

      立足于舉一反三,一題多變.中考數(shù)學(xué)試題的類型極為豐富,題型繁多,但絕不是無(wú)章可循.有些問(wèn)題作為初中數(shù)學(xué)的??肌⒈乜碱},多年來(lái)基本以某種相對(duì)固定的模式呈現(xiàn).對(duì)此類問(wèn)題,一方面,教師在平時(shí)教學(xué)中就應(yīng)對(duì)學(xué)生提出模式化的解題意見(jiàn),就如體操、跳水比賽中的規(guī)定動(dòng)作,要做到準(zhǔn)確到位;另一方面,應(yīng)該在復(fù)習(xí)過(guò)程中做針對(duì)性的呈現(xiàn),可以明確告訴學(xué)生是典型的問(wèn)題,考查學(xué)生能否在最短時(shí)間內(nèi)重現(xiàn)解題思路.

      例6 如圖所示,分別以△ABC的邊AB,AC為一邊向外作正方形AEDB和正方形ACFG,連接CE,BG.求證:BG=CE.(浙教版八年級(jí)下冊(cè)P147作業(yè)題)

      本題是初中數(shù)學(xué)中極為常見(jiàn)的典型問(wèn)題,其關(guān)鍵是先得到∠EAC=∠BAG,然后利用“邊角邊”證明△EAC≌△BAG.初中數(shù)學(xué)中有許多以本題為原型的變式題,教師可以引導(dǎo)學(xué)生舉一反三地加以比較、類比分析,形成系統(tǒng).

      變式1 如圖所示,分別以△ABC的邊AB,AC為一邊向外作正三角形ADB和正三角形ACE,連接CD,BE.求證:CD=BE.

      變式2 上述第1題中求證:BG⊥CE;第2題中求CD與BE所成的角.

      變式3 已知,如圖所示,△ABC是銳角三角形.分別以AB,AC為邊向外側(cè)作等邊三角形ABM和等邊三角形ACN.D,E,F(xiàn)分別是MB,BC,CN的中點(diǎn),連接DE,F(xiàn)E.求證:DE=FE.

      六、解決典型函數(shù)綜合問(wèn)題的指向性訓(xùn)練——函數(shù)變異理論課堂實(shí)錄

      中考對(duì)二次函數(shù)的考查仍然是一個(gè)主要的方向,二次函數(shù)在初中數(shù)學(xué)中與幾何的完美結(jié)合,可以充分體現(xiàn)函數(shù)思想、方程思想、數(shù)形結(jié)合思想,以及分類、變換思想,因此,也是中考中考查學(xué)生能力的最好載體.

      “二次函數(shù)背景下的三角形面積問(wèn)題探索”教學(xué)過(guò)程:

      ◆預(yù)習(xí)反饋:

      1.(2007年溫州)已知拋物線y=x2+bx+c與y軸交于點(diǎn)A,與x軸的正半軸交于B,C兩點(diǎn),且BC=2,S△ABC=3,那么c=.

      2.(2010年寧波)如圖所示,已知二次函數(shù)y=-12x2+bx+c的圖像經(jīng)過(guò)A(2,0),B(0,-6)兩點(diǎn).

      (1)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式為.

      (2)設(shè)該二次函數(shù)圖像的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)C,連接BA,BC,求△ABC的面積為.

      3.(改編自2010年山東)如圖所示,拋物線y=-x2+2x+3的頂點(diǎn)為C,交x軸于點(diǎn)A點(diǎn)和B點(diǎn),交y軸于點(diǎn)D.求△ABD的面積為,△ABC的面積為,△ADC的面積為,△BDC的面積為.

      答案 1.3

      2.(1)y=-12x2+4x-6 (2)6

      3.S△ABD=6,S△ABC=8,S△ADC=3,S△BDC=1.

      設(shè)計(jì)說(shuō)明:通過(guò)對(duì)中考真題的再現(xiàn),一方面,激發(fā)學(xué)生的求知欲望,吸引學(xué)生的注意力;另一方面,為本節(jié)課的探索——三角形面積問(wèn)題,奠定基礎(chǔ).

      ◆課堂導(dǎo)學(xué):

      例7 如圖所示,拋物線y=-x2+2x+3的頂點(diǎn)為C,交x軸于點(diǎn)A點(diǎn)和B點(diǎn),交y軸于D點(diǎn).

      (1)在拋物線上是否存在除點(diǎn)D以外的點(diǎn)P,使得△ABP與△ABD的面積相等?若存在,請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

      設(shè)計(jì)說(shuō)明 通過(guò)學(xué)生的探究,得出已知三角形一條確定的邊與面積的條件下,第三點(diǎn)在拋物線上是否存在的問(wèn)題.此題目的在于引導(dǎo)學(xué)生借助課前預(yù)習(xí)中出現(xiàn)的知識(shí)探究方法,將單純的三角形面積問(wèn)題融入二次函數(shù)圖像中,學(xué)生操作幾何畫(huà)板,初步探索點(diǎn)的位置,從而歸納出尋找此類點(diǎn)是否存在的一般方法.

      復(fù)習(xí)1 已知三角形一邊及其面積,第三頂點(diǎn)在平行于底邊且距離等于高的兩條平行線上.

      答案 有三個(gè)點(diǎn)P1(2,3),P2(-7+1,-3),P3(7+1,-3).

      變式一

      (3)在拋物線上是否存在點(diǎn)P,使得△ABP的面積是△ABD的面積的2倍?若存在,請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

      設(shè)計(jì)說(shuō)明 三角形底邊不變,讓學(xué)生探索出三角形面積之比等于高之比,從而能夠確定存在的三角形的高,并確定其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的位置.

      答案 有兩個(gè)點(diǎn)P1(-10+1,-6),P2(10+1,-6).

      ◆當(dāng)堂導(dǎo)練:

      變式二

      在例7的拋物線上是否存在點(diǎn)P,使得△ABP的面積是△ABD的面積的13?若存在,請(qǐng)指出有個(gè)滿足條件的P點(diǎn);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

      設(shè)計(jì)說(shuō)明 改變?nèi)切蔚拿娣e倍數(shù)關(guān)系,不改變底邊,讓學(xué)生再次用學(xué)到的知識(shí)進(jìn)行自我探究.此題不計(jì)算,學(xué)生口答點(diǎn)的個(gè)數(shù).

      答案 有四個(gè)點(diǎn)P1(-3+1,1),P2(3+1,1),P3(-5+1,-1),P2(5+1,-1).

      就滿足條件而言,對(duì)前面問(wèn)題點(diǎn)的個(gè)數(shù)進(jìn)行歸納:用幾何畫(huà)板演示四個(gè)交點(diǎn)、三個(gè)交點(diǎn)、兩個(gè)交點(diǎn).

      到此之前,我們所討論的三角形底邊都在x軸上,只需過(guò)滿足條件的位置作x軸的平行線,就可以很容易找到符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo).

      變式三

      (4)在拋物線上是否存在除點(diǎn)B以外的點(diǎn)P,使得△ADP與△ADB的面積相等?若存在,請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

      設(shè)計(jì)說(shuō)明 改變?nèi)切蔚牡走叄寣W(xué)生順勢(shì)探索如何確定滿足條件的點(diǎn)的位置,并與前面的問(wèn)題進(jìn)行類比,歸納解題的通法.

      復(fù)習(xí)2 在直角坐標(biāo)系中,兩直線平行,斜率相等.

      答案 一個(gè)點(diǎn)P(4,-5)

      變式四

      (5)(2010年威海)在例題的拋物線上是否存在除點(diǎn)C以外的點(diǎn)P,使得△ADP與△ADC的面積相等?若存在,請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

      設(shè)計(jì)說(shuō)明 將問(wèn)題進(jìn)一步升華,引導(dǎo)學(xué)生站在一個(gè)更高的位置認(rèn)識(shí)二次函數(shù)與三角形面積問(wèn)題,更有利于形成學(xué)生的思維品質(zhì),為后繼學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ).

      答案 P1(2,3),P23-172,-1+172,P33+172,-1+172.

      ◆課后思:本節(jié)課你有哪些收獲?

      設(shè)計(jì)說(shuō)明:1.鼓勵(lì)學(xué)生結(jié)合本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容,談自己的體會(huì),學(xué)生可暢所欲言,組內(nèi)外成員可做適當(dāng)補(bǔ)充,進(jìn)一步鞏固本節(jié)課的知識(shí).

      2.提煉本節(jié)課的數(shù)學(xué)基本思想:函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、類比思想和歸納推理思想.

      ◆課后練習(xí)(課外探索):

      1.(改編自2010年綿陽(yáng))點(diǎn)K在第一象限的拋物線上運(yùn)動(dòng),試問(wèn)當(dāng)K運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí),△ADK的面積最大?求出最大面積.

      2.請(qǐng)你在課后收集近三年同類型的中考題,選擇其中兩道做在作業(yè)本上.

      教學(xué)設(shè)計(jì)說(shuō)明:

      (一)設(shè)計(jì)理念

      最近幾年中考題中,有不少三角形面積問(wèn)題與二次函數(shù)相結(jié)合的題目,引起了廣大初中數(shù)學(xué)教師的重視.因?yàn)槎魏瘮?shù)與三角形面積都是教材的重點(diǎn),因此,我對(duì)這兩種重要內(nèi)容的結(jié)合就格外重視.本節(jié)課就是通過(guò)不斷地變式訓(xùn)練,要求學(xué)生會(huì)觀察問(wèn)題,找到解決問(wèn)題的本質(zhì),提升學(xué)生識(shí)圖的能力,進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力和解題能力,力爭(zhēng)實(shí)現(xiàn)學(xué)生的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的可持續(xù)“發(fā)展”.

      (二)解決問(wèn)題的策略

      在教學(xué)中,積極引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)參與觀察、交流、歸納等探索活動(dòng),給學(xué)生充分的思考交流時(shí)間,同時(shí)不忘對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的復(fù)習(xí),讓學(xué)生建立知識(shí)體系,遷移問(wèn)題,找到解決問(wèn)題的一般方法.

      總而言之,在進(jìn)行這些專題復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)據(jù)歷年中考試卷命題的特點(diǎn)精心選擇一些新穎的、有代表性的題型進(jìn)行專題訓(xùn)練,就中考的特點(diǎn)可以從以下幾個(gè)方面收集一些資料進(jìn)行專項(xiàng)訓(xùn)練:圍繞實(shí)際應(yīng)用型問(wèn)題,突出科技發(fā)展,信息資源的轉(zhuǎn)化的圖表信息題,體現(xiàn)自學(xué)能力考查的閱讀理解題,考查學(xué)生應(yīng)變能力的圖形變化題、開(kāi)放性試題,考查學(xué)生思維能力、創(chuàng)新意識(shí)的歸納猜想,操作探究性試題,幾何代數(shù)綜合型試題等.在進(jìn)行這些專題復(fù)習(xí)時(shí),教師要引導(dǎo)學(xué)生從各個(gè)側(cè)面去展開(kāi),并將近幾年中考題按以上專題進(jìn)行歸類、分析和研究,真正把握其命題方向和規(guī)律,然后制訂應(yīng)試對(duì)策.初步形成應(yīng)試技巧,為下一步的“強(qiáng)化訓(xùn)練”復(fù)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ).

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