基于極限平衡法的臨河基坑有限主動土壓力分析

李飛,2，孫俊2，張飛*，何淼，許龔成

(1.鹽城工學院土木工程學院， 江蘇鹽城224001; 2.蘇州科技大學土木工程學院， 江蘇蘇洲215009)

0 引言

隨著城市建設的不斷發(fā)展，高層、超高層建筑以及地下工程層出不窮，伴隨而來的深基坑工程也越來越多。同時，城市土地資源日趨緊張，新建基坑不得不緊鄰已有建(構(gòu))筑物或緊鄰河流湖泊，此時基坑一側(cè)為有限土體，若仍按經(jīng)典土壓力理論來計算此時作用在支護上的土壓力，可能偏于浪費[1]。

目前國內(nèi)外已有一些學者針對有限土體土壓力展開研究，采用的方法主要為極限平衡法和薄層單元法[2-4]。胡明義[5]分析了擋土墻后有限土體破裂面在不受限、部分受限以及完全受限三種情況下土壓力的分布。高印立[6-7]基于塑性上限理論求得有限土體主被動土壓力的上限解，并與朗肯土壓力的計算值比較。王文杰等[8]利用微分方程，較為系統(tǒng)地考慮了墻背黏聚力，阻力等因素，建立平衡方程，并通過簡單算例進行驗證。李峰等[9]考慮了滑動楔形體與墻背和土體之間的粘著力，通過滑裂體的極限平衡狀態(tài)建立方程并求解，其結(jié)果與朗肯土壓力理論值相比較，認為有限土體成立的條件為寬深比在0.5～0.75之間。王洪亮等[10-12]推導的計算方法考慮了墻土界面摩擦，同時還考慮了粘土的黏聚力過大和有限土體寬度過小的特殊情況，推導出對應的計算方法。王閆超等[13]依據(jù)薄層單元法，對隔離體進行受力分析，推導出主動土壓力合力及作用位置，并分析了破裂角θ與有限土體寬度的關(guān)系。劉鑫[14]對考慮放坡情況下的有限土體進行了數(shù)值模擬，模擬了當擋墻垂直和擋墻角度為75°時土壓力的分布。胡敏云等[15]針對深基坑排樁支護有限土壓力展開研究，指出排樁嵌入深度與土壓力的關(guān)系。

目前大多數(shù)研究均是針對擬開挖基坑緊鄰已有建筑的情況[16-17]，對基坑臨河情況下的土壓力研究甚少。我國東部大部分城市，市內(nèi)河流縱橫，開挖基坑往往不得不緊鄰河流，一些建筑為了景觀效應，也會依河、湖而建。工程上大多采用半經(jīng)驗半理論的方式來計算此時基坑支護的土壓力，難以進行驗證與預測基坑開挖形狀。本文擬針對臨河情況下，對黏性土基坑與河流之間形成的有限土體進行受力分析，建立方程，得出其主動土壓力的計算方法，為實際工程中臨河基坑支護土壓力的計算提供參考。

1 計算模型

1.1 計算假定與考慮因素

有限土體是指當擋墻與河流岸邊或已有建筑基礎的距離小于一定值時，土體發(fā)生滑裂的破裂面被河流或者已有建筑基礎所截斷，不能完全發(fā)展，如圖1所示。本文截取有限寬度土體，對其滑裂土體進行受力分析，此有限土體的滑動模式已被各學者廣泛采用。為了簡化計算，本文僅考慮滑裂土體與下部不動土體之間的摩擦，不考慮墻土界面摩擦，即不考慮擋土墻上的切向力；不考慮河床的影響，即認為河岸是垂直于地表的；針對坑底土體為滲透性低的黏土的情況，將河流及地下水位對有限土體的作用力視為靜止水壓力，忽略滲流與動水壓力的影響，采用水土合算法。本文計算基本假設條件如下：

①擋土墻背面光滑，與土體之間沒有摩擦；

②有限土體為單層各向同性的c，φ均勻的粘性土；

③河岸與地平面垂直，即不考慮河床的影響；

④河流足夠深，破裂面不會被河底以下所截斷。

1.2 受力分析與方程的建立

受力簡圖如圖2所示，有限土體處于極限平衡狀態(tài)時的土壓力即為主動土壓力，此時即將發(fā)生滑裂的土體為楔形體ABCD，基坑開挖深度為H，有限土體寬度b，滑裂面與水平方向的夾角為θ，土的黏聚力為c，內(nèi)摩擦角為φ，河面與地面的距離為h。下部不動土體對滑裂體的作用力為R。

滑動土體每延度重力：

(1)

CD面上的黏聚力：

(2)

圖1 形成臨河有限土體的基坑
Fig.1 Pit near the river

圖2 滑裂體受力簡圖
Fig.2 Stress diagram of slipped soiltake shape the limited soil

河流中水的作用范圍為：

CE=H-h-btanθ。

(3)

河流中水對有限土體的水平向作用力：

(4)

對水平向和豎直向建立平衡方程：

(5)

將W，C，F(xiàn)代入上式：

(6)

通過上述公式求Ea，一種方法是Ea對θ求導，求出Ea的極值，即為有限土體的主動土壓力，另一種是試算法，將不同的θ(0～90°)代入式中，取得的最大的Ea值即為主動土壓力。本文利用MATLAB軟件將Ea對θ求導：

(7)

當dEa/dθ=0時，此時的θ即為要求的破裂角，由上式可知，θ是一個與重度γ、開挖深度H、黏聚力c、內(nèi)摩擦角φ、河面離地面的深度h、有限土體寬度b有關(guān)的復雜函數(shù)，并不是朗肯土壓力理論中認為的(45+φ/2)，很難求出θ顯式。通過室內(nèi)土工試驗及現(xiàn)場測量，能得到相關(guān)參數(shù)，將其代入dEa/dθ=0，利用MATLAB、EXCEL等軟件便能求出對應的θ。

但上式是針對有限土體的破裂面是被河流截斷的情況，如圖2所示，此時0

1.3 特殊情況分析

以上計算是針對滑裂土體為楔形體且破裂面是被河流水下部分所截斷，而當有限土體寬度b足夠小或開挖深度H偏大時，可能會出現(xiàn)滑裂土體截面為三角形或者破裂面是被河面上部與地面之間的土體所截斷的兩種特殊情況，如圖3所示：

(a) 破裂面在地面上

(b) 破裂面在水面以上地面以下

圖3(a)所示情形，滑裂土體截面為三角形，適用條件為tanθ>H/b，此時：

對水平向和豎直向建立平衡方程：

(8)

將W，C代入式(8)，得：

(9)

利用MATLAB將Ea對θ求導，得：

(10)

同樣求得當dEa/dθ=0時，此時的θ為極限平衡狀態(tài)下的破裂角，代入式(9)，即可求出主動土壓力。

圖3(b)所示情形，土體的滑裂面并不是被河流水面以下所截斷，而是被河面之上，地面以下這部分所截斷，適用條件為(H-h)/b

每沿度重力：

(11)

CD面上的黏聚力：

(12)

對水平向和豎直向建立平衡方程：

(13)

將W、C代入式(13)：

(14)

利用MATLAB將Ea對θ求導，得：

(15)

1.4 計算方法小結(jié)

如上所述，當破裂角θ不同時，采用的有限土體主動土壓力的計算方法也是不同的，具體如下：

根據(jù)式(7)、(10)、(15)對滑動土體破裂角進行試算，然后根據(jù)tanθ在上式中所在的范圍，選擇對應的計算公式，求得其主動土壓力。

2 算例分析

假設擬開挖基坑臨河距離為6 m，基坑開挖深度為20 m，土層為均質(zhì)的粉質(zhì)粘土，其重度γ=18 kN/m3,黏聚力c=10 kPa，內(nèi)摩擦角φ=20°。河流深5 m，河面離地面距離為2 m。

例如要計算基坑開挖到10 m深的時候的有限土體主動土壓力，先將各參數(shù)代入式(7)，利用MATLAB軟件求得當dEa/dθ=0時，θ為53.86°，tanθ=1.37?？雌涫欠駶M足破裂面被河面以下所截斷的條件：0

分別按上述過程計算在各開挖深度時的主動土壓力合力，各深度土壓力的分布可以用主動土壓力合力的差分形式算出。當開挖深度過低時，b/H過大，不構(gòu)成有限土體，文獻[5]認為當b/H>1，破裂角θ<45°，有限土體計算不適用，這也與本文計算方法吻合。表1列出了b/H<1時本文方法與朗肯土壓力理論在各深度的土壓力數(shù)值：

表1 各深度土壓力Tab.1 Earth pressureat different depths

將本文的計算方法與朗肯土壓力公式得出的數(shù)據(jù)作比較，如圖4所示：

從圖4中可以看出有限土體土壓力呈非線性分布，總體小于朗肯土壓力，隨著深度增大，有限土體土壓力和朗肯土壓力的差別越大，但開挖到一定深度前，存在有限土體土壓力大于朗肯土壓力的情況。當H=10，即b/H=0.6時，有限土體土壓力與朗肯土壓力接近相等。有限土體土壓力的增值隨著深度的增大而慢慢變小，當開挖至基坑底部時，其土壓力約為朗肯土壓力的60 %。

分析水位高度h對有限土體土壓力的影響，改變上述算例中水位高度h，分別取1 m，2 m，3 m時，將得到有限土體的主動土壓力作比較，結(jié)果如圖5所示，當開挖深度小于擬開挖深度的一半時，水位高低對有限土體的土壓力影響很小，當開挖深度大于擬開挖深度的一半時，隨著水位高度h的增大，有限土體土壓力逐漸變大。

圖4 本文方法土壓力與朗肯土壓力對比圖
Fig.4 Comparison diagram of the earth pressure ofthis article’s method and Rankine’s theory

圖5 不同水位對有限土體土壓力的影響
Fig.5 Influence for earth pressure oflimited soils on different water levels

3 數(shù)值模擬分析

3.1 計算模型及參數(shù)

圖6 基坑計算斷面圖
Fig.6 Cross section of the foundation pit

圖7 網(wǎng)格劃分示意圖
Fig.7 Meshing diagram

3.2 計算工況模擬

模擬基坑采取邊開挖邊降水的方式，開挖與支護總共分為7步進行，如下表2所示，考慮到土體的初始面并非是完整的水平面，需采用重力加載的方式使其完成先期固結(jié)，河流水壓力作用的河床也需使其邊界條件固定。

表2 基坑開挖數(shù)值模擬計算工況Tab.2 Numerical simulation calculation of foundation pit excavation

3.3 計算結(jié)果分析

本文模擬了臨河距離為6 m，8 m，10 m三種情況下，按上述工序進行基坑的開挖與支護，臨河部分有限土體作用在擋土墻上的主動土壓力分布情況，計算結(jié)果如圖8所示，有限土體的土壓力隨著開挖深度的增加而增大，增幅逐漸減小，在與朗肯土壓力理論中土壓力隨深度線性增大存在著較大差異。隨著臨河距離(有限土體寬度)的增大，有限土體土壓力也逐漸增大，并趨近于朗肯土壓力值，符合實際情況。

為了驗證本文所述計算方法的正確性，在一定水位條件下，將基坑開挖形成的臨河有限土體的土壓力理論計算結(jié)果與數(shù)值計算結(jié)果進行對比分析。由圖9可以得到，理論解與模擬解呈非線性關(guān)系，與朗肯土壓力結(jié)果相比差異較大。理論解與數(shù)值解總體是小于朗肯土壓力結(jié)果，但在開挖深度為7～10 m，即0.6

圖8 不同臨河距離對土壓力的影響
Fig.8 Influence for earth pressure ondifferent distance to the river

圖9 計算結(jié)果對比
Fig.9 Comparison of calculation results

4 結(jié)論

基于目前對基坑支護有限土體的研究均針對緊鄰建筑物的情況，本文基于極限平衡理論，對開挖基坑臨近河流的情況進行了有限土壓力計算分析。建立了臨河條件下有限寬度土體土壓力的計算模型，推導出有限土體主動土壓力的計算公式，并探究其應用條件與范圍。通過算例分析與有限元軟件數(shù)值模擬，與朗肯土壓力理論對比，得出以下結(jié)論：

①基于極限平衡理論，推導得出臨河狀態(tài)下有限土體的主動土壓力計算公式，公式推導較為嚴密，具有一定的準確性。

②有限土體的土壓力呈非線性分布，隨著基坑開挖，b/H逐漸減小，有限土體土壓力增量逐漸減小，開挖至坑底時，有限土體主動土壓力比朗肯土壓力的計算值小得多。

③有限土體主動土壓力總體小于朗肯土壓力計算值，但當0.6

此外，以下情況也值得研究：①考慮河床的影響，即河岸并非垂直于地平面，滑動土體并非楔形體，而是五邊形的情況。②河流深度小于擋土墻的高度的情況，即滑動土體的破裂面被河流底部以下位置所截斷，此類情況也應著重考慮。