蘊藏在美妙音樂中的數(shù)學奧秘

【摘要】從古至今，音樂中一直滲透著各種數(shù)學方法和數(shù)學思想，數(shù)學和音樂用不同的方式描述世界，但是二者都能描述和揭示自然界和諧統(tǒng)一的規(guī)律，存在著密切的關系。本文通過對音樂背后各種數(shù)學因素的梳理和分析，包括數(shù)列、函數(shù)及數(shù)學圖形等在音樂中的應用，說明數(shù)學在音樂中的重要意義。

【關鍵詞】數(shù)學;音樂;聯(lián)系

【中圖分類號】J61? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 【文獻標識碼】A

說到音樂，大家馬上跟鋼琴、小提琴、交響樂等藝術(shù)聯(lián)系在一起，通常人們認為音樂是高雅的、有趣的，蘊含了豐富的情感和想象。而談到數(shù)學，讓人想到的就是一個個數(shù)字、字母構(gòu)成的的公式、符號，給人以抽象、枯燥的感覺，人們通常認為音樂和數(shù)學處在兩條平行線上，互不相關，實際上并非如此。各種美妙悅耳的聲音在自然界是一直存在的，只不過后來隨著人類文明和科技的進步，各種美妙的聲音譜寫成曲，以五線譜等各種符號譜寫出來，再由各種樂器彈奏出來，才有了凄美哀婉的《梁山伯和祝英臺》、貝多芬宏偉而壯麗的命運交響曲。鋼琴和五線譜的巧妙結(jié)合，將大自然中各種美妙的聲響演奏出來。

數(shù)學公式和公理與其何其相似，千萬年來，各種公理一直真實地存在于茫茫宇宙中，等待科學家來發(fā)現(xiàn)。數(shù)學家家將無數(shù)有意義的現(xiàn)象抽象和總結(jié)而成為公理和公式，如微積分歷史發(fā)展的里程碑——牛頓-萊布尼茨公式、經(jīng)典力學的支柱——牛頓第二定律，這些公式敘述極為簡單，卻可以描述自然界的各種現(xiàn)象，背后的意義極為深刻，就像老子說的“大道至簡”。這些公式真實而不受時空的限制，有力地解釋了各種現(xiàn)象，我們不能不贊嘆自然結(jié)構(gòu)的美妙！這是數(shù)千年來無數(shù)科學家智慧的結(jié)晶。

然而，音樂與數(shù)學不僅僅有這種自然美的相似之處，兩者之間還有非常密切的聯(lián)系。我們知道，聲音是通過空氣振動傳輸?shù)轿覀兌淅锏?，彈奏樂器時，樂器部件的振動引起了周圍空氣的流動，形成了聲波，聲波傳播到我們的耳朵里，我們就聽到了各種美妙的音樂。物理學中振蕩所激勵的波叫做正弦波，把正弦波在時間軸上展開，就得到正弦曲線。關于數(shù)學和音樂的關系，可以追溯到2500多年前，古希臘哲學家、數(shù)學家——畢達哥拉斯發(fā)現(xiàn)12個音律的數(shù)學關系，他認為宇宙是由聲音和數(shù)字構(gòu)成的。而德國哲學家、數(shù)學家——萊布尼茨認為音樂的出現(xiàn)雖然是直接的，但音樂的基礎就是數(shù)學。而科學家愛因斯坦說的更加有趣：“我們這個世界可以由音樂組成也可以由數(shù)學組成?！币魳肥且砸舴麨榛痉枺瑯?gòu)建成樂譜，把自然界的各種聲響用樂器傳輸出來。而數(shù)學是以數(shù)字為基本元素符號，把自然界各種客觀規(guī)律用公式表達出來。說到數(shù)字，我們有必要提一下奇妙的斐波那契數(shù)列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89…… 這個整數(shù)列有這樣的特點：任何相鄰的三個數(shù)，其中前兩個數(shù)之和等于第三個數(shù)。更為奇妙的是，數(shù)列項數(shù)越靠后，相鄰的兩個數(shù)中第一個數(shù)與第二個數(shù)的比值就越來越接近于黃金分割比0.618。眾所周知，黃金分割比是美學中的重要標準之一，運用在建筑、繪畫、攝影等各個方面。曾經(jīng)有人分析過多部音樂作品，統(tǒng)計樂曲的節(jié)數(shù)，驚奇地發(fā)現(xiàn)，很多樂曲的高潮部分所在的節(jié)數(shù)，非常接近于黃金分割比這個神奇的數(shù)字，我們不禁要贊嘆自然界的美妙、和諧、統(tǒng)一。驗證了數(shù)學家萊布尼茨的名言“音樂是數(shù)學在靈魂中無意識的運算”。

數(shù)學在音樂律學中的作用也非常明顯。律學主要是研究音樂與音律之間關系的一門學科，是通過數(shù)學方法進行運算和實踐來發(fā)掘、完善和研究兩者之間關系的。我國明代著名律學家朱載堉在總結(jié)前人樂律理論基礎上，運用珠算進行開方運算，通過精密計算和實驗，成功地發(fā)現(xiàn)十二平均律的等比數(shù)列規(guī)律。他討論了等比數(shù)列，找到了計算等比數(shù)列的方法，并將其成功地應用于求解十二平均律。在十七世紀的歐洲，數(shù)學家發(fā)現(xiàn)平均律音階的十二個音調(diào)分布在一條對數(shù)螺旋線上，對數(shù)螺旋線被數(shù)學家雅各布·伯努利稱之為“神奇螺線”，在數(shù)學中有非常重要的地位，其優(yōu)美的外形被廣泛應用在裝飾圖案中。

除了律學與數(shù)學有明顯的聯(lián)系，還有很多奇妙的關系?，F(xiàn)代生物學研究表明，人耳的敏感程度與聲音頻率大致呈指數(shù)關系。而我們驚奇地發(fā)現(xiàn)很多樂器的外形結(jié)構(gòu)也呈現(xiàn)為指數(shù)曲線，比如三角鋼琴的弦和管弦樂器的管，能彈出和諧樂聲的樂器弦長都能表示成整數(shù)比，這樣科學合理的設計就是為了呈現(xiàn)出更加美妙悅耳的聲音。前面我們提到的正弦波，就單一的聲音來說，可以由一個正弦函數(shù)來表示，也稱為“簡諧波”，音量與該函數(shù)的振幅有關，音調(diào)與該函數(shù)的頻率有關，音色則與函數(shù)的形狀有關。但是單一的聲音元素發(fā)出來的聲音顯然單調(diào)乏味。人們發(fā)現(xiàn)，很多種元素融合在一起才能形成美妙動聽的旋律，這就是“復合波”，是各種不同頻率、振幅及相位元素疊加得到的。比如同時發(fā)出兩個音的話，則波形更有規(guī)律，更好聽。從數(shù)學上來說，就是兩個正弦函數(shù)疊加的結(jié)果，新的周期變小，是比值的最小公倍數(shù)。樂器發(fā)出聲音主要是弦的振動，也是引起空氣流動而傳入我們耳朵里的。弦的振動是18世紀經(jīng)典的數(shù)學物理問題，當時頂尖的數(shù)學家如伯努利、歐拉和拉格朗日等都為解決這個問題做出了貢獻，但最終還是由法國數(shù)學家傅里葉于1822年完美解決。傅里葉的發(fā)現(xiàn)將樂聲的研究推向頂峰。每個聲音都包含三個要素——音調(diào)、音高和音色，利用傅里葉的結(jié)論，可以按照這三個要素將聲音區(qū)分開來，音調(diào)與曲線的頻率有關，音高與強弱有關，音色與周期相關。傅里葉變換理論思想在于任何穩(wěn)定信號都是由一些特定頻率和振幅的純正弦波構(gòu)成，利用傅里葉變換挑出每一個頻率和對應的振幅，忽略掉一些干擾的話，原始信號就可以被譯為成對的真實數(shù)字呈現(xiàn)出來。更為奇妙的是，通過逆向的傅里葉變換，我們可以十分精確地再現(xiàn)出原始信號，現(xiàn)代的數(shù)字音樂正是按照該原理設計的?？梢哉f，只要是以音程和音階及其移位作為基本的音樂理論基礎和創(chuàng)作素材的音樂作品，都是和數(shù)學思維緊密相關的。數(shù)學的新發(fā)現(xiàn)為現(xiàn)代樂器的設計和計算機合成音樂也做出了無可替代的貢獻，很多樂器制造商通過對比發(fā)聲的周期性圖來進行改進和調(diào)試樂器產(chǎn)品。傅里葉變換幾乎出現(xiàn)在所有存在波形的地方，每個音頻片段，都可以通過傅里葉變換將音頻波形分解為成分音符并且保存下來，代替存儲原始波形。傅里葉變換還可以確定一首歌中每個音符所占的比例，哪些音符是一首歌的基本元素。在學習傅里葉級數(shù)和傅里葉變換時，大家只覺得運算過程枯燥無趣，真的難以想象這些抽象的表達式為我們聽到美妙的音樂做出了如此大的貢獻。

我們看到在音樂的制作過程中，數(shù)學家和音樂家起到了同樣重要的作用。數(shù)學不是孤立的學科，更不是枯燥無味的代名詞，千百年來，數(shù)學在音樂中一直發(fā)揮著神奇的作用。隨著現(xiàn)代科技的進步，尤其是信息化科技的飛躍發(fā)展，關于音樂和數(shù)學的故事還會有更多、更美的內(nèi)容等著我們?nèi)ヌ剿骱桶l(fā)現(xiàn)。

參考文獻

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作者簡介：王海萍，女，山西平遙，研究方向：高職數(shù)學教育和隨機微分方程。