基于性質(zhì)，融合知識，歸于運算

彭曉霞

[摘 ?要] 平面幾何是高中數(shù)學較為重要的內(nèi)容，高考對于平面幾何的考查，不局限于簡單的證明，而傾向于從知識融合的角度開展.幾何最值問題是其中較為典型的代表，因融合了幾何與代數(shù)的特性使得問題的解法也呈現(xiàn)多樣性，文章將以一道高考題為例對其進行多解探究，并探討解法上的學習啟示.

[關(guān)鍵詞] 幾何;最值;代數(shù);多解;不等式定理

考題呈現(xiàn)與分析

1. 考題呈現(xiàn)

（2018年江蘇高考數(shù)學卷第13題）在△ABC中，角A，B，C所對應的邊分別為a，b，c，其中∠ABC=120°，∠ABC的平分線交AC于點D，且BD=1，則4a+c的最小值為__________.

2. 考題分析

（1）信息解讀

本題的最值構(gòu)建是依托基本的△ABC，其中AB，AC，BC分別用字母c，b，a來表示，∠ABD=∠DBC=60°，即BD是∠ABC的角平分線，以此為基礎(chǔ)來構(gòu)建幾何模型，如圖1所示，則問題求解需要以線段AB，BC的長為基礎(chǔ)來求解.

（2）本質(zhì)分析

本題目表面上屬于平面幾何問題，但考慮到問題要求4a+c的最小值，實際上屬于基本不等式的最值問題. 求解本問題需要利用幾何性質(zhì)和相關(guān)定理來構(gòu)造含有“4a+c”的不等式關(guān)系，然后采用不等式的“拆解、拼合、湊成”等技巧，構(gòu)造出具有“正”“定”“等”特點的不等式，即不等式的字母均為正數(shù)，不等式符號的其中一邊為定值，且等號取得的條件可以滿足.

（3）解法思考

本問題從內(nèi)容形式來看屬于幾何中的代數(shù)問題，在數(shù)學知識領(lǐng)域，幾何與代數(shù)之間是交叉融合、不可分割的，可以借助數(shù)形結(jié)合思想進行相互轉(zhuǎn)化，對于幾何代數(shù)問題的求解同樣可以從幾何、代數(shù)兩個層面進行，可以采用數(shù)形結(jié)合的方式來互補求解. 從幾何角度思考，則可以借助幾何中的邊角關(guān)系、性質(zhì)定理來完成;從代數(shù)角度思考，則可以借助幾何中的余弦定理轉(zhuǎn)換為純粹的數(shù)的運算;從數(shù)形結(jié)合層面思考，則可以考慮使用具有代數(shù)與幾何性質(zhì)特點的研究工具來完成線段關(guān)系向代數(shù)運算的轉(zhuǎn)化，如數(shù)學向量、直角坐標系等. 總之，幾何代數(shù)問題的求解，需要依托幾何性質(zhì)，采用適當?shù)姆椒▉順?gòu)建數(shù)量關(guān)系.

啟示：上述解法采用了建立平面直角坐標系的方式，確立了三角形各點的具體坐標，利用三點共線的坐標關(guān)系獲得了不等關(guān)系構(gòu)建的關(guān)鍵條件. 共線性質(zhì)在平面向量中使用較多，在直角坐標系中使用主要利用的是點坐標之間的關(guān)系，從其本質(zhì)來看是對兩條直線相同斜率的代數(shù)反映. 需要注意的是構(gòu)造條件的獲得來源于對幾何點的精準求解，尤其是對于較為一般的三角形，需結(jié)合線段長度和角的大小來完成.

總結(jié)反思與感悟

高中數(shù)學的線段最值問題，實際上是幾何中的代數(shù)問題，由于該類問題的最值求解相對較為簡單，可以直接利用基本不等式來完成，因而求解的關(guān)鍵是獲得構(gòu)建不等式的條件. 由于問題涉及幾何與代數(shù)的雙重特性，因此上述的求解分別從幾何、代數(shù)以及兩者綜合等角度來完成，利用到了面積割補、余弦定理、幾何向量和三點共線等知識. 本文探討的四種解法是求解該類問題具有代表性的解法，其中最為顯著的解法共性是基于圖形特點，采用數(shù)形結(jié)合，歸于代數(shù)運算，這也是該類問題的解題思路.

幾何最值問題的求解過程，是幾何性質(zhì)與代數(shù)運算完美結(jié)合的過程，是數(shù)形結(jié)合思想與化歸轉(zhuǎn)化思想的融合過程，在解題過程中學生對于知識聯(lián)系性的理解得到了加強，解題思維得到了充分的鍛煉. 另外，在學習中開展一題多解探究，學生能夠從不同的角度分析問題，深刻理解問題的本質(zhì)特性，理解不同解法的精髓所在，并從中獲得解題思路上的一些啟示，這對于激發(fā)學生思維的創(chuàng)造性、多樣性是十分有利的. 一題多解所展示的不只是解法上的多樣，多解的過程同樣是對數(shù)學多解之美的充分體現(xiàn)，同時正是多解的存在，使得數(shù)學的探究變得更有意義.