“等號”背后的思考

章建鋒 何蕾

[摘? 要] 文章以問題為源，通過探究問題產(chǎn)生的原因反思概念教學(xué)的重要性. 在反思的同時筆者提出概念教學(xué)要注重概念生成的過程、注重數(shù)學(xué)文化的引入、注重數(shù)學(xué)思維的遷移以及注重師生的同頻發(fā)展. 通過講清講透概念生成的過程和本質(zhì)讓學(xué)生對所學(xué)知識有徹底的理解.

[關(guān)鍵詞] 導(dǎo)數(shù);概念教學(xué)

導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的重要工具，在高考中具有舉足輕重的作用. 在我們平時的教學(xué)中注重利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，而對于導(dǎo)數(shù)的概念研究相對較少，這樣學(xué)生只能做到簡單的模仿，很難弄清知識的來龍去脈，給思維的提升增加了難度.

[?]問題呈現(xiàn)

為了迎接2019年無錫市高三第一次統(tǒng)考，我們精心準(zhǔn)備了復(fù)習(xí)資料，其中在批閱蘇州市某學(xué)年第一學(xué)期高三調(diào)研試卷的最后一題的第2問時碰到了兩種解法，這兩種解法給我們帶來了困惑，同時也給我們帶來了反思.

題目：已知函數(shù)f（x）=x-lnx，g（x）=x2-ax.

（1）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[t，t+1]（t>0）上的最小值m（t）;

（2）令h（x）=g（x）-f（x），A（x1，h（x1）），B（x2，h（x2））（x1≠x2）是函數(shù)h（x）圖像上任意兩點，且滿足>1，求實數(shù)a的取值范圍;

（3）若存在x∈（0，1]，使f（x）≥成立，求實數(shù)a的最大值

第（2）小題的解答方法如下：

這兩種解法最后的結(jié)果只相差一個等號，但是這個等號到底有沒有以及兩種方法是不是都對，引起了我們高三備課組全體數(shù)學(xué)老師的大討論.

師1：第一種方法肯定是對的，因為整個解題過程沒有任何問題.第二種解法不對，不能用切線的斜率來替代曲線上任意兩點連線的斜率.

師2：因為A（x1，h（x1）），B（x2，h（x2））（x≠x）是函數(shù)h（x）圖像上任意兩點，且滿足>1，所以當(dāng)A點無限靠近B點時直線AB的斜率不就趨向于切線的斜率了嗎？所以第二種解法也沒有問題呀.

師3：因為導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線在某點處的切線，它是用割線逼近切線的方法來定義的. 所以>1不能完全用h′（x）>1導(dǎo)數(shù)來替代，而應(yīng)該轉(zhuǎn)化為h′（x）≥1，這樣的話就和第一種解法解出來的結(jié)果一致了.

師4：h′（x）≥1中等號能否一定取到？有沒有理論依據(jù)呢？

為此筆者查閱了大學(xué)里面的相關(guān)數(shù)學(xué)知識，發(fā)現(xiàn)拉格朗日中值定理給出了明確的答案，那就是這個等號是可以取到的.

拉格朗日中值定理：對于連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)，其定義域為D，對任意區(qū)間（a，b）?D時，都存在x0∈（a，b），使得不等式f′（x0）=成立.

[?]原因剖析

這個問題產(chǎn)生以后，筆者經(jīng)過深思熟慮，查找了相關(guān)資料，分析總結(jié)了產(chǎn)生這個問題的原因如下：

1. 教師對教材把握不準(zhǔn)

這個問題表面上看是一個等號能否取到的問題，實際上背后隱藏的卻是教師對該部分內(nèi)容的理解不夠深刻.有的教師對“以直代曲”和“無限逼近”的思想自己都不能夠深刻領(lǐng)會，對于“無限逼近”的極限思想只是做了一個初步的了解，無法體會它的內(nèi)涵和外延.

2. 教師對引言課不夠重視

《導(dǎo)數(shù)的概念》這節(jié)課對于整個《導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用》這一章內(nèi)容而言僅僅是一節(jié)引言課，這部分內(nèi)容重點是教會學(xué)生理解瞬時變化率、瞬時速度和瞬時加速度，通過割線逼近切線的辦法計算曲線上一點處切線的斜率.在實際的教學(xué)過程中教師僅僅告訴學(xué)生如何利用=，Δx→0時求出f（x）在x=x處的導(dǎo)數(shù)，對于“以直代曲”和“無限逼近”的極限思想闡述得很少，結(jié)果的運用替代了過程的演變和思維的形成.

3. 教師缺乏鉆研精神

在討論中大家都談到這個問題其實并不是現(xiàn)在才碰到的問題，在以前也有學(xué)生提出來過，大家都知道這個問題但是沒有去鉆研為什么會產(chǎn)生這個問題，怎么來理解這個問題，兩種方法產(chǎn)生不同結(jié)果的原因在哪里，“等號”到底能否取到.有的教師自己都是一頭霧水，搞不清這里面的關(guān)系，所以諱疾忌醫(yī)，當(dāng)然也就不會深入思考，對于學(xué)生提出來的困惑只能繞道而行.

[?]教學(xué)反思

筆者在教學(xué)實踐中逐漸體悟到，研讀教材是提升數(shù)學(xué)和教學(xué)雙重專業(yè)素養(yǎng)的好方法，章建躍先生指出，教師最基本且重要的職責(zé)是教好課本，而“教課本”的核心是“教概念”[1]，因此善于抓住蘊藏在教材中的核心概念和思想等遷移能力強的知識，是教師研讀教材的重中之重.

1. 概念教學(xué)要注重概念生成的過程

李邦河院士說：“數(shù)學(xué)，根本上是玩概念的.” 說明了數(shù)學(xué)概念教學(xué)的重要性[2].概念是對感性材料的綜合，是對事物內(nèi)在本質(zhì)的反應(yīng). 概念教學(xué)要注重概念生成的過程，可以借助感性材料作鋪墊，正確理解概念，例如《國家普通高中新課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“導(dǎo)數(shù)的概念是通過實際背景和具體應(yīng)用的實例引入的.教學(xué)中，可以通過研究增長率、膨脹率、效率、密度、速度等反映導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的實例，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷由平均變化率到瞬時變化率的過程，知道瞬時變化率就是導(dǎo)數(shù).”也可以借助舊概念掌握新概念，例如立體幾何中相關(guān)的性質(zhì)和結(jié)論可以借助初中平面幾何中相關(guān)的性質(zhì)和結(jié)論進行類比推理而得.

2. 概念教學(xué)要注重數(shù)學(xué)文化的引入

概念課教學(xué)不僅是定義及其應(yīng)用的教學(xué)，同時也是數(shù)學(xué)文化的教學(xué). 數(shù)學(xué)文化的重要組成部分是數(shù)學(xué)的理性精神和數(shù)學(xué)思想.數(shù)學(xué)知識不是必然轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)文化，它需要數(shù)學(xué)教師在教學(xué)過程中通過自己的創(chuàng)造性勞動，使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)文化.在本節(jié)課的教學(xué)中可以向?qū)W生簡單介紹微積分的發(fā)展歷程，介紹導(dǎo)數(shù)的發(fā)展史，讓他們感受到數(shù)學(xué)文化的魅力，激發(fā)他們探求新知識的欲望，提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng). 再如在講解《數(shù)系的擴充》這節(jié)概念課時可以向?qū)W生介紹“無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)”這一節(jié)數(shù)學(xué)史，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)“美”的價值.

3. 概念教學(xué)要注重數(shù)學(xué)思維的遷移

波利亞強調(diào)：注重“思想應(yīng)該在學(xué)生的頭腦中產(chǎn)生出來，而老師只應(yīng)起一個產(chǎn)婆的作用”.

數(shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)的基本思想，是形成理性思維的重要基礎(chǔ)，貫穿在數(shù)學(xué)的產(chǎn)生、發(fā)展和應(yīng)用的過程中. 《國家普通高中新課程標(biāo)準(zhǔn)》特別強調(diào)數(shù)學(xué)知識的發(fā)生和發(fā)展過程的教學(xué)[3]. 概念教學(xué)不僅讓學(xué)生掌握基本概念和相關(guān)結(jié)論，更重要的是要讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)問題是怎樣提出的、概念是如何在具體問題中形成的、結(jié)論是怎樣得到的、證明的思路是如何而來的、計算的難點是如何突破的. 概念教學(xué)的過程實際上是數(shù)學(xué)思維遷移的過程，更是數(shù)學(xué)思維能力提升和發(fā)展的過程.

4. 概念教學(xué)要注重師生的同頻發(fā)展

俗話說：“要給學(xué)生一杯水，教師必須要有一桶水.”這句話說明教師要想教好學(xué)生必須不斷提高自身的專業(yè)素養(yǎng).概念課的教學(xué)對于教師和學(xué)生而言都是再學(xué)習(xí)的過程，是同頻發(fā)展的過程. 一名數(shù)學(xué)教師僅僅會解題是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，要站得高看得遠(yuǎn)，他所教的學(xué)生才能視野開闊，問題的認(rèn)識才深刻;要有先進的教學(xué)理念和刻苦鉆研精神，他教的學(xué)生接受能力才強，接受速度才快，才會有恒心和毅力. 因此我們要積極參加一些正規(guī)的教研活動，聆聽一些高質(zhì)量的專家講座，多閱讀一些專業(yè)書籍，多反思一些數(shù)學(xué)問題，在教學(xué)中注重師生的同頻發(fā)展.

作為一名數(shù)學(xué)教師每天都在重復(fù)著昨天的故事，但是故事的發(fā)生、發(fā)展以及結(jié)果卻又是耐人尋味的. 文章從“等號”中來又從“不等”中去，帶給我們無盡的思考和啟發(fā).教學(xué)的藝術(shù)不在于傳授的本領(lǐng)，而在于激勵、喚醒和鼓舞.概念教學(xué)不僅僅是告訴學(xué)生一個未知的東西，更是讓學(xué)生體會概念形成、發(fā)展和運用的過程，是一個思維遷移的過程，更是師生共同發(fā)展的過程.

參考文獻：

[1]? 吳立寶，康岫巖. 學(xué)習(xí)方式的五個轉(zhuǎn)變[J]. 教學(xué)與管理，2015（12）：1-3.

[2]? 楊志文. 稚化思維讓概念教學(xué)回歸本源[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2016（10）：33-34.

[3]? 文衛(wèi)星. 淺談數(shù)學(xué)概念課教學(xué)[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2016（z1）：20-24.