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    變系數(shù)電報方程的緊致差分格式

    2019-09-17 08:31:32楊文潔姜子文
    關(guān)鍵詞:電報范數(shù)高精度

    楊文潔 姜子文

    ( 山東師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,250358,濟(jì)南 )

    1 引 言

    本文考慮如下的二維線性電報方程

    (1)

    其中α=α(x,y,t),λ=λ(x,y,t),Ω=[0,1]×[0,1]為R2平面上一個有界區(qū)域,?Ω為Ω的邊界,T為正常數(shù),u0(x,y),v0(x,y)為已知函數(shù).

    電報方程是一類在通訊工程中有重要理論意義和廣泛研究價值的數(shù)學(xué)物理方程,此方程是從研究電報線上電壓和電流的變化規(guī)律推導(dǎo)出來的,它描述了均勻傳輸線上電壓和電流的關(guān)系,所以又被稱為傳輸線方程.對于求解電報方程的高精度數(shù)值方法,許多學(xué)者對其進(jìn)行了討論,其中文獻(xiàn)[1]對于一維的常系數(shù)電報方程給出了高精度差分格式;文獻(xiàn)[2]中則對電報方程初值問題構(gòu)造了交替差分格式和交替方向有限元格式;文獻(xiàn)[3]對一類電報方程的初邊值問題建立了一種時間間斷時空有限元格式;文獻(xiàn)[4]描述了一類變系數(shù)電報方程的再生核數(shù)值解法.

    緊致差分法是一類具有高精度的有限差分方法,是通過較少計算節(jié)點得到高精度的數(shù)值解,有效地減少了計算量和存儲量.本文對方程(1)提出緊致差分格式,通過具體算例進(jìn)行數(shù)值模擬,最后通過數(shù)值實驗表明結(jié)果符合理論分析.

    2 格式建立

    方程(1)在點(xi,yj,tk)處有

    (2)

    (3)

    (4)

    運用Taylor展式,結(jié)合(3)、(4)可得

    `

    (5)

    其中

    定義緊差分算子

    (6)

    由文獻(xiàn)[5]中引理1.2有

    (7)

    其中

    由(1)式的初值條件及帶積分余項的Taylor展開式有

    (8)

    3 數(shù)值模擬

    下面將給出具體算例來驗證格式的有效性.為了方便計算,將上述格式轉(zhuǎn)化成

    算例在方程中取α=0.02t(x2+1),λ=-0.02(y20+1),hx=hy=h,T=1,精確解u=t10sinπxsinπy,右端項F=(90t8+2π2t10+0.02t10(x2+1)-0.02t10(y20+1))sin(πx)sin(πy).

    取不同空間步長和時間步長時L2和L范數(shù)下的誤差和階數(shù),如表1所示.

    表1 方程在L2和L范數(shù)下的誤差和階數(shù)

    hτL2orderL諛order181641.26e-032.51e-0311612565.97e-054.591.18e-044.6213211 0243.37e-064.216.32e-064.31

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