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    基于Tikhonov正則化迭代求解的結(jié)構(gòu)損傷識別方法

    2019-09-17 06:46:56夏志鵬王樹青徐明強王皓宇
    振動與沖擊 2019年17期
    關(guān)鍵詞:正則模態(tài)程度

    夏志鵬, 王樹青, 徐明強, 王皓宇

    (中國海洋大學 海洋工程系, 山東 青島 266100)

    海洋平臺結(jié)構(gòu)長期服役在惡劣的海洋環(huán)境中,容易產(chǎn)生各種形式的損傷,使結(jié)構(gòu)的承載能力下降,甚至導致平臺失效,造成巨大經(jīng)濟損失及人員傷亡[1]。因此,針對海洋平臺結(jié)構(gòu)的健康監(jiān)測與損傷識別非常重要。目前結(jié)構(gòu)損傷檢測的方法眾多[2-3],基于振動測試的結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測技術(shù)相對較為簡單且成本較低,是非常具有發(fā)展前景的損傷識別技術(shù)[4]。其中,基于模態(tài)參數(shù)的損傷檢測是近年來新興且有效的檢測手段。

    在某些情況下,基于模態(tài)參數(shù)的結(jié)構(gòu)損傷識別過程可以簡化為線性方程組Cα=b的求解問題。當不考慮測量噪聲或噪聲干擾較小時,該系統(tǒng)的求解往往可以得到滿意的結(jié)果;而當結(jié)構(gòu)測量模態(tài)信息受噪聲影響較為嚴重時,系統(tǒng)的求解結(jié)果往往會振蕩發(fā)散,導致檢測方法失效。因此,噪聲魯棒性是此類損傷識別技術(shù)在發(fā)展過程中必須考慮的問題。

    從數(shù)學的角度看,利用結(jié)構(gòu)的振動測試數(shù)據(jù)識別其損傷是求解反問題的過程,其不適定性體現(xiàn)在所構(gòu)建系統(tǒng)的病態(tài)上,即微小的測量誤差都可能導致解的振蕩發(fā)散。為解決這一問題,學者們做了大量研究[5-11]。其中,基于Tikhonov正則化[12]的方法應(yīng)用較為廣泛,其基本思想是:用一族與原問題相“鄰近”的適定問題的解去逼近原問題的真實解。王藝霖等將Tikhonov 正則化方法用于結(jié)構(gòu)的損傷識別,一定程度上改善了系統(tǒng)的不適定性,提高了損傷識別精度,并指出正則化方法的作用可通過剛度矩陣條件數(shù)的減小來明確衡量。Hua等將Tikhonov正則化與基于靈敏度分析的有限元模型修正方法相結(jié)合,進行了簡單框架結(jié)構(gòu)的損傷識別,該方法體現(xiàn)出較好的抗噪性。應(yīng)用Tikhonov正則化雖然能在一定程度上抑制噪聲,改善損傷識別結(jié)果的穩(wěn)定性,但它的解是過度光滑的,不具有稀疏性[13]。換言之,應(yīng)用該方法雖然能篩選出真實的損傷信息,但也引入了過多的虛假損傷信息,給損傷識別帶來困難。為改善這一問題,張純等[14]在Tikhonov罰函數(shù)項中引入光滑函數(shù),并結(jié)合基于靈敏度分析的模型修正方法進行損傷識別研究,明顯改善了損傷識別效果;張純等[15-16]先后將L1和L1/2范數(shù)正則化模型修正方法應(yīng)用于結(jié)構(gòu)損傷識別,有效地改善了基于Tikhonov正則化損傷識別結(jié)果過度光滑的缺陷。

    利用正則化方法求解線性不適定系統(tǒng),關(guān)鍵在于正則化參數(shù)的選擇。上述正則化及其改進方法大都采用L曲線法選取正則化參數(shù),而L曲線的繪制過程往往需要進行大量的試算,對于大型的結(jié)構(gòu)系統(tǒng),試算過程更加復(fù)雜。對于Tikhonov正則化,其參數(shù)的合理取值范圍一般較小,系統(tǒng)求解效果對正則化參數(shù)的依賴性很高,并且當噪聲水平較高時,L曲線趨于平直,很難通過該方法選取合適的正則化參數(shù)[17]。

    解的過度光滑及正則化參數(shù)選擇時試算量過大是制約Tikhonov正則化應(yīng)用于損傷檢測的兩大難題。對此,本文綜合上述正則化方法的優(yōu)勢及缺陷,提出了一種基于Tikhonov正則化的迭代求解方法,用于測量噪聲影響下?lián)p傷識別線性系統(tǒng)的求解。該方法基于Tikhonov正則化理論,能夠在迭代過程中利用二分法自適應(yīng)調(diào)整正則化參數(shù),并通過迭代的方式重構(gòu)正則化權(quán)重矩陣,能夠充分抑制噪聲,保留實際損傷信息。通過一個數(shù)值算例,驗證了本文方法的有效性。

    1 基本理論

    1.1 交叉模態(tài)應(yīng)變能方法

    交叉模態(tài)應(yīng)變能(CMSE)方法[18-21]是一種典型的以線性系統(tǒng)求解結(jié)構(gòu)損傷信息的識別方法。該方法計算簡單,并且可以同時識別結(jié)構(gòu)的損傷位置和損傷程度。與其他的檢測方法相比,該方法有如下優(yōu)點:不需要質(zhì)量歸一化的振型;僅利用結(jié)構(gòu)損傷前后的較少幾階模態(tài)即可判斷結(jié)構(gòu)的健康狀況。因而,應(yīng)用CMSE方法進行損傷檢測具有很好的發(fā)展前景。

    設(shè)K和M分別為結(jié)構(gòu)剛度和質(zhì)量矩陣,λi和Φi分別表示第i階特征值和特征向量。結(jié)構(gòu)損傷前后的特征方程可表示為

    KΦi=λiMΦi

    (1)

    (2)

    本文中,上標“*”用來表示損傷后的情況。

    (3)

    (4)

    對式(3)兩邊取轉(zhuǎn)置,并考慮矩陣K和M的對稱性得

    (5)

    聯(lián)立式(4)、(5),并考慮到M*=M,可以得到:

    (6)

    本文中,單元損傷通過桿件模量的等效折減進行模擬,即對第n個結(jié)構(gòu)單元,其損傷后的模量值

    (7)

    式中,En為損傷前第n個單元的模量,αn為相應(yīng)的損傷程度。則損傷后結(jié)構(gòu)的剛度矩陣可寫為

    (8)

    式中:Ne為結(jié)構(gòu)單元的總數(shù);Kn為第n個單元損傷前的單元剛度矩陣。

    將式(8)代入式(6)并整理后得

    (9)

    用Ni和Nj分別表示結(jié)構(gòu)損傷前后的模態(tài)階數(shù),可以構(gòu)建Nq=Ni×Nj個線性方程,將其寫成矩陣形式

    Cα=b

    (10)

    (11)

    可采用奇異值分解法(SVD)尋求最小二乘解。對系數(shù)矩陣C作奇異值分解

    (12)

    (13)

    當測量模態(tài)空間不完備時,采用Guyan擴階法[22]對不完備振型進行如下擴階處理

    (14)

    1.2 Tikhonov正則化方法

    Tikhonov方法的思想是將最小二乘解和最小范數(shù)解綜合考慮。對于式(9)所示的線性系統(tǒng),可建立目標函數(shù)如下

    (15)

    其中L為Ne階正則化矩陣,一般作變換將L轉(zhuǎn)化為單位矩陣I[23]。ξ為正則化參數(shù),用于控制最小二乘解和最小范數(shù)解之間的平衡。

    當L為單位矩陣時,式(14)等價于求解

    (CTC+ξ2I)α=CTb

    (16)

    該方程的解為

    (17)

    對系數(shù)矩陣C作式(11)所示的奇異值分解,則式(17)可表示為

    (18)

    其中

    (19)

    稱為Tikhonov過濾因子,顯然,f(σi)的大小依賴于奇異值σi和正則化參數(shù)ξ。而當ξ?σi時,式(18)轉(zhuǎn)化式(13)所示的最小二乘解。

    2 基于Tikhonov正則化的迭代求解方法

    Tikhonov方法的正則化矩陣一般為單位矩陣,這表明Tikhonov正則化方法對各單元損傷參數(shù)進行了相同的加權(quán)平滑處理,其解不具有稀疏性。而對于損傷結(jié)構(gòu)而言,其損傷參數(shù)是稀疏分布的,即除個別損傷單元外,解向量的大部分元素均為零。因此,傳統(tǒng)的Tikhonov正則化應(yīng)用于損傷檢測時存在一定的缺陷。適合損傷識別的理想正則化方法應(yīng)具有如下特性:對于真實的損傷信息,正則化的平滑作用較小以便保留結(jié)構(gòu)的實際損傷信息,即正則化矩陣中對應(yīng)的權(quán)重較小;當出現(xiàn)虛假損傷時,增強平滑作用以消除噪聲導致的虛假損傷信息,即正則化矩陣中對應(yīng)的權(quán)重較大。為了達到這一效果,本文考慮通過具有稀疏性的損傷參數(shù)來重新構(gòu)造正則化矩陣,構(gòu)造形式如下

    L(α)=diag{(|α1|+ε)-1,…,(|αn|+ε)-1}

    (20)

    其中αi為第i個單元對應(yīng)的損傷參數(shù),ε為一正常數(shù),避免因αi→0而導致矩陣對角元素趨于∞。

    當L為一般的對角矩陣時,式(15)等價于求解

    (CTC+ξ2LTL)α=CTb

    (21)

    該方程的解為

    (22)

    由于正則化矩陣L(α)需用損傷參數(shù)α來構(gòu)造,而α為待求的未知量,因此,需要采用迭代的方式進行求解。

    需要注意的是,正則化參數(shù)ξ的選取是利用正則化方法求解線性不適定問題的關(guān)鍵。前述研究中,學者們一般采用L曲線法選取正則化參數(shù),而L曲線的繪制通常需要進行大量的試算,尤其是對于復(fù)雜的大型結(jié)構(gòu)系統(tǒng)。此外,當噪聲水平較高時,L曲線趨于平直,很難通過該方法選取合適的正則化參數(shù)。為解決正則化參數(shù)選取時需要大量試算的問題,提出了一種奇異值二分法用于本文新方法中正則化參數(shù)的選取。

    基于Tikhonov正則化迭代求解(Tikhonov Regularization Iterative Method,TRIM)的損傷識別過程如下:

    步驟1構(gòu)建損傷檢測線性系統(tǒng),求得系統(tǒng)的初始解

    根據(jù)結(jié)構(gòu)損傷前后的模態(tài)信息利用損傷檢測方法(如CMSE)構(gòu)建方程組Cα=b。對系數(shù)矩陣C進行奇異值分解,獲得系統(tǒng)的r個奇異值σ1≥σ2≥…≥σr≥0。

    (23)

    步驟2調(diào)整正則化參數(shù),重構(gòu)正則化矩陣,進行第k次迭代求解

    (1) 基于奇異值二分法調(diào)整正則化參數(shù)ξ

    (24)

    相應(yīng)的正則化參數(shù)調(diào)整為

    (25)

    上述選擇和調(diào)整正則化參數(shù)的方法,我們稱之為奇異值二分法。

    (26)

    (27)

    此處ε統(tǒng)一取為0.01%,以減小對損傷檢測結(jié)果的影響。

    (3) 進行第k次求解

    應(yīng)用新的迭代參數(shù)ξk和矩陣Lk,計算新的解向量

    (28)

    步驟3重復(fù)步驟2所述過程,直到前后兩次迭代求解的向量差值滿足如下條件

    (29)

    其中δ為收斂閾值,本文建議δ=0.1%,在保證求解精度的同時,控制所需要的迭代步數(shù)?;谛路椒ǖ淖罱K損傷識別結(jié)果為

    (30)

    基于Tikhonov正則化迭代求解的CMSE損傷檢測(簡稱CMSE-TRIM)流程如圖1所示。

    圖1 CMSE-TRIM損傷檢測流程圖

    3 數(shù)值算例

    3.1 海洋平臺結(jié)構(gòu)

    本算例的研究對象為一個近海導管架平臺結(jié)構(gòu)[24],如圖2所示。該結(jié)構(gòu)由36個外徑為17.8 cm,壁厚為0.89 cm的均勻鋼管構(gòu)件組成,每根鋼管劃分為一個單元。結(jié)構(gòu)三層標高分別為9.14 m,18.29 m和27.43 m。底部和頂部的邊長分別為10.97 m×10.97 m和3.66 m×3.66 m。平臺的四條腿固定于地面。選用材料為鋼材,彈性模量2.1×1011Pa,密度7 850 kg/m3,截面面積2.825×10-3m2,截面慣性矩2.89×10-6m4。按照有限元方法組建整體質(zhì)量矩陣(采用集中質(zhì)量法)和整體剛度矩陣,進行特征值分析,得到有限元模型的前三階頻率分別為7.51 Hz、8.80 Hz和8.88 Hz。平臺前三階振型如圖3所示。

    圖2 海洋平臺結(jié)構(gòu)示意圖

    圖3 有限元模型前三階振型

    3.2 損傷工況設(shè)置

    由于實際測試中結(jié)構(gòu)的高階模態(tài)一般難以激勵,轉(zhuǎn)動自由度信息難以測量,因此本文算例中假設(shè)僅能測得損傷結(jié)構(gòu)1~3階頻率以及振型中的平動自由度信息,并且所測振型信息含有一定水平的噪聲。

    為了研究本文提出的方法在不同因素影響下的損傷識別效果,算例中設(shè)置了四類影響因素:① 損傷位置敏感性;② 損傷程度敏感性;③ 噪聲水平敏感性;④ 模態(tài)階數(shù)敏感性。分別探討不同影響因素下的損傷識別效果。結(jié)構(gòu)損傷后的振型信息添加一定水平噪聲,噪聲添加方式如下

    φi,j=φi,j(1+μGi,j)

    (31)

    式中,μ為噪聲水平;Gi,j為均值為0、方差為1的高斯隨機數(shù);φi,j為對應(yīng)于第i個自由度的第j階振型值。實測頻率信息一般較為準確,因此算例中不考慮噪聲對頻率的影響。

    4 損傷識別與結(jié)果分析

    本文采用Guyan擴階方法對仿真模擬得到的損傷后模態(tài)振型進行擴階處理,利用損傷前后的模態(tài)信息構(gòu)建CMSE方程,求解36個單元(n=36)的損傷參數(shù)。并對比CMSE-Tikhonov(基于Tikhonov正則化求解的CMSE損傷檢測)和CMSE-TRIM的損傷識別效果。

    4.1 損傷位置敏感性

    設(shè)置噪聲水平1%,損傷程度25%,選用結(jié)構(gòu)損傷后1~3階模態(tài),研究損傷方法對不同類型損傷構(gòu)件(工況S1:13,工況S2:20,工況S3:23)的損傷識別效果。

    工況S1設(shè)置13號單元發(fā)生25%損傷,在測量模態(tài)空間不完備及1%噪聲影響下利用CMSE-Tikhonov方法進行損傷識別,具體求解過程如下:首先根據(jù)1.1節(jié)內(nèi)容構(gòu)建CMSE方程組Cα=b,對系數(shù)矩陣C進行奇異值分解,并將得到的所有奇異值分別假設(shè)為正則化參數(shù),根據(jù)式(16)進行試算并繪制L曲線圖(如圖4);找出L曲線最大曲率點所對應(yīng)的奇異值,作為最終選用的正則化參數(shù),進而求解損傷向量。由L曲線法選取的正則化參數(shù)為ξ=7.20×107,根據(jù)式(16)進行求解,最終識別結(jié)果如圖5(a)所示,其中,深灰色表示干擾項,淺灰色表示損傷單元的損傷指標。此外,圖中DS(damage severity),表示實際損傷單元的損傷程度;RE(relative error),表示評估的損傷程度與真實值的相對誤差;c表示迭代的總次數(shù)。

    應(yīng)用CMSE-TRIM對工況A進行損傷識別的過程如下:構(gòu)建CMSE方程組Cα=b,對矩陣C進行奇異值分解,并直接選取矩陣C的中間奇異值σ18=1.06×108作為初始的正則化參數(shù);按照圖1所示流程進行迭代求解,迭代9次后計算結(jié)果達到收斂閾值,最終求解結(jié)果如圖5(b)所示(圖中c表示迭代次數(shù))。工況B和工況C損傷識別過程與工況A類似,具體流程不再贅述,最終求解結(jié)果分別見圖6和圖7。應(yīng)用TRIM方法所得損傷單元各迭代步下的計算結(jié)果如圖8所示。

    圖4 工況S1 “L曲線”圖

    對比三種不同損傷位置下CMSE-Tikhonov求解結(jié)果,可以看出,該方法對立柱單元損傷檢測效果最好,斜撐次之,橫撐檢測效果最差。相比之下,CMSE-TRIM方法對上述三工況的損傷識別結(jié)果都非常好,無論是在損傷定位還是損傷程度識別方面都明顯優(yōu)于CMSE-Tikhonov方法。從圖8中損傷單元各迭代步計算結(jié)果可以看出,13號橫撐損傷時迭代次數(shù)最多(9次),20號斜撐次之(5次),識別23號立柱損傷所需迭代次數(shù)最少(4次)。迭代次數(shù)的多少側(cè)面反映出不同類型損傷單元的損傷識別難易程度,即相同條件下,立柱損傷最容易識別,斜撐次之,橫撐損傷最不易識別。此外,從圖8中13號單元迭代結(jié)果變化可以看出,該計算結(jié)果經(jīng)歷了由大變小,由小變大,最后逐漸趨于穩(wěn)定這幾個階段,體現(xiàn)出TRIM方法能夠自適應(yīng)調(diào)節(jié)計算結(jié)果的特性。

    (a) CMSE-Tikhonov

    (b) CMSE-TRIM

    (a) CMSE-Tikhonov

    (b) CMSE-TRIM

    (a) CMSE-Tikhonov

    (b) CMSE-TRIM

    圖8 各損傷單元不同迭代步的損傷程度計算結(jié)果

    4.2 損傷程度敏感性

    設(shè)置噪聲水平1%,損傷單元23,選用結(jié)構(gòu)損傷后1~3階模態(tài),研究損傷方法對不同損傷程度(工況D1:5%,工況D2:15%,工況D3:25%)的損傷識別效果。兩種方法識別結(jié)果如圖9~圖11所示。

    由圖9~圖11可以看出,當單元的損傷程度較小時,使用CMSE-Tikhonov方法會出現(xiàn)大量的虛假損傷掩蓋真實的損傷信息,從而無法完全損傷檢測;隨著損傷程度的增加,求解結(jié)果中的干擾項逐漸減少,損傷程度識別誤差也逐漸減小。相比之下,CMSE-TRIM對三種不同損傷程度的工況均能正確識別出損傷單元的位置,而且沒有出現(xiàn)虛假損傷。在損傷程度識別方面,CMSE-TRIM的識別誤差明顯小于CMSE-Tikhonov方法。此外,從計算所需的迭代次數(shù)上可以看出,在其他影響因素相同的條件下,TRIM方法需要較多的迭代次數(shù)來計算小損傷工況。

    4.3 噪聲水平敏感性

    設(shè)置損傷單元23,損傷程度25%,選用結(jié)構(gòu)損傷后1~3階模態(tài),研究損傷方法在不同噪聲水平(工況N1:1%,工況N2:3%,工況N3:5%)下的損傷識別效果。識別結(jié)果如圖12~圖14所示。

    分析圖12~圖14可以看出,當噪聲水平相對較低時,使用CMSE-Tikhonov方法能夠較好地識別出損傷位置及損傷程度,干擾項較少。隨著噪聲水平的提高,該方法損傷識別效果逐漸變差:在損傷定位方面,虛假損傷干擾項逐漸增多,掩蓋了真實的損傷信息;損傷程度識別誤差也逐漸增大。與之相比,CMSE-TRIM在不同噪聲水平影響下均能正確判定出損傷位置,不摻雜任何虛假損傷,而且損傷程度識別精度明顯高于CMSE-Tikhonov。此外,從計算所需的迭代次數(shù)上可以看出,在其他影響因素相同的條件下,當影響實測模態(tài)的噪聲水平提高時,TRIM方法計算所需的迭代次數(shù)相應(yīng)增加。

    (a) CMSE-Tikhonov

    (b) CMSE-TRIM

    (a) CMSE-Tikhonov

    (b) CMSE-TRIM

    (a) CMSE-Tikhonov

    (b) CMSE-TRIM

    (a) CMSE-Tikhonov

    (b) CMSE-TRIM

    (b) CMSE-TRIM

    (a) CMSE-Tikhonov

    (b) CMSE-TRIM

    4.4 模態(tài)階數(shù)敏感性

    設(shè)置噪聲水平1%,損傷單元23,損傷程度25%,研究使用結(jié)構(gòu)損傷后不同階數(shù)模態(tài)(工況M1:1,工況M2:1~2,工況M3:1~3)的損傷識別效果。兩種方法識別結(jié)果如圖15~圖17所示。

    從圖15~圖17可以看出,當取用的損傷后模態(tài)只有第1階時,使用CMSE-Tikhonov和CMSE-TRIM都無法完成損傷識別;當取用的損傷后模態(tài)為前2階時,CMSE-Tikhonov方法雖然能夠識別出23號單元發(fā)生損傷,但是求解結(jié)果中摻雜多處虛假損傷干擾項,損傷程度求解誤差為14.20%;當取用的損傷后模態(tài)為前3階時,CMSE-Tikhonov求解結(jié)果中干擾項明顯減少,損傷程度識別精度有所提高。相比之下,當取用的損傷后模態(tài)為前2階或前3階時,CMSE-TRIM方法均能正確判定出損傷位置,不摻雜任何虛假損傷,而且損傷程度識別精度明顯高于CMSE-Tikhonov。此外,從計算所需的迭代次數(shù)上可以看出,在其他影響因素相同的條件下,取用的損傷后模態(tài)階數(shù)越多,TRIM方法計算所需的迭代次數(shù)越少。

    (a) CMSE-Tikhonov

    (b) CMSE-TRIM

    (a) CMSE-Tikhonov

    (b) CMSE-TRIM

    (a) CMSE-Tikhonov

    (b) CMSE-TRIM

    5 結(jié) 論

    針對測量噪聲影響下?lián)p傷檢測“病態(tài)”方程組的求解問題進行了研究,提出了一種基于Tikhonov正則化的迭代求解方法來抑制測量噪聲對損傷檢測的影響。選取一個海洋平臺結(jié)構(gòu)開展數(shù)值模擬,探討了新方法在不同因素(損傷位置,損傷程度,噪聲水平,取用模態(tài)階數(shù))影響下的損傷識別效果,并同傳統(tǒng)Tikhonov正則化求解下的損傷檢測進行了對比,結(jié)論如下:

    傳統(tǒng)的Tikhonov正則化方法和本文提出的基于Tikhonov正則化的迭代求解方法均能在一定程度上解決噪聲影響下“病態(tài)”方程組的求解問題。相對于傳統(tǒng)的Tikhonov正則化求解方法,本文方法能夠有效地抑制虛假損傷、不遺漏真實損傷,具有更好的噪聲魯棒性。此外,本文方法直接選取方程組系數(shù)矩陣的中間奇異值作為初始正則化參數(shù),通過迭代來自適應(yīng)調(diào)整正則化參數(shù)及矩陣,無需通過大量試算來繪制L曲線圖,減少了計算工作量。數(shù)值分析表明,CMSE-TRIM方法對海洋平臺結(jié)構(gòu)不同類型及不同損程度的損傷工況均能正確地識別,具有較好的噪聲魯棒性。損傷位置不敏感、損傷程度較小、噪聲水平較高以及取用的模態(tài)階數(shù)較少都會增加損傷檢測的難度,相應(yīng)地會增加TRIM方法的迭代計算次數(shù)。

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