基于ALK解法的輸流管道防共振可靠性分析

郭 慶, 劉永壽, 白雅潔, 陳翔宇

(西北工業(yè)大學(xué) 力學(xué)與土木建筑學(xué)院， 西安 710129)

輸流管道廣泛應(yīng)用于航空、航天、航海等領(lǐng)域的大型機(jī)械設(shè)備之中，工作環(huán)境十分復(fù)雜。由于流固耦合的作用，管內(nèi)液體的流速、壓力的脈沖都會影響輸流管道的固有頻率。同時，在管道設(shè)計(jì)、加工、裝配、測量等過程中的不確定性因素導(dǎo)致的幾何尺寸、物理參數(shù)等的不確定，也會引起輸流管道固有頻率的不確定性。而一旦輸流管道的固有頻率與激振力頻率相互接近時，將會引發(fā)嚴(yán)重的共振失效。此外，航空航天領(lǐng)域的激振力頻率通常具有寬頻特性，這對于防共振設(shè)計(jì)也提出了更高的要求。所以，對輸流管道進(jìn)行防共振可靠性分析是十分必要的。

近年來，許多研究人員對輸流管道的振動和防共振可靠性進(jìn)行了大量的研究。Li等[1]把變分迭代方法應(yīng)用于輸流管道的自由振動分析，得到了輸流管道在不同邊界條件下的臨界流速和頻率，并且得到了懸壁管在不同流速下的模態(tài)形狀。韓濤等[2]針對航空復(fù)雜液壓管路提出了一種直曲組集算法實(shí)現(xiàn)了高效建模和模態(tài)分析，并且得到了管路布局對“Z”形管固有頻率影響的經(jīng)驗(yàn)公式。翟紅波等[3]采用七點(diǎn)估計(jì)法計(jì)算了均勻流輸流管道和非均勻流輸流管道的共振可靠度。何新黨等[4]分析了考慮狀態(tài)模糊性時的笛形管在不同水平截集下的結(jié)構(gòu)共振失效概率。張屹尚等[5]通過Kriging代理模型研究了充液管道流固耦合作用下的非概率共振可靠性分析。王忠民等[6]采用Fourior級數(shù)展開和微分求積法對彈性地基上輸流管道控制方程進(jìn)行處理得到了時變系統(tǒng)狀態(tài)方程，通過最優(yōu)控制原則有效地控制了主參數(shù)共振問題。Ritto等[7]提出了考慮建模誤差的流體-結(jié)構(gòu)相互作用的概率模型，將輸流管道的微分方程通過有限元方法離散化后得到降階模型，并以得到的隨機(jī)特征值分析了系統(tǒng)的顫動和發(fā)散不穩(wěn)定模式。Alizadeh等[8]將蒙特卡洛模擬與有限元相結(jié)合，應(yīng)用于輸流管道的概率自激振動和穩(wěn)定性分析，對系統(tǒng)中流體參數(shù)隨機(jī)性效應(yīng)與管道結(jié)構(gòu)參數(shù)的隨機(jī)性效應(yīng)進(jìn)行了比較。張瑞軍等[9]采用攝動法分析高速電梯轎廂隨機(jī)參數(shù)對固有頻率的影響，通過共振可靠性靈敏度分析評估了各參數(shù)對轎廂系統(tǒng)共振可靠性的影響程度的大小。

本文采用近幾年來新發(fā)展的十分精確高效的主動學(xué)習(xí)Kriging方法(ALK)[10]進(jìn)行防共振可靠度的計(jì)算，該方法基于Kriging代理模型，通過學(xué)習(xí)方程“主動”地選擇對失效概率影響最大的點(diǎn)加入到實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)中更新Kriging模型，通過不斷迭代直至滿足收斂條件。該方法廣泛適用于隱式功能函數(shù)或有限元等工程問題，對小失效概率、強(qiáng)非線性功能函數(shù)、多最可能失效點(diǎn)功能函數(shù)等問題也有很好的效果。此外，ALK方法還可以應(yīng)用于非概率可靠性分析和混合可靠性分析之中。將ALK方法應(yīng)用于防共振可靠性的突出優(yōu)點(diǎn)，即在于其篩選出的點(diǎn)均位于激振力頻率的上下界附近，在極大提高計(jì)算效率的同時，保證了很好的計(jì)算精度。

本文將Galerkin加權(quán)余量法與ALK方法相結(jié)合，通過前者進(jìn)行輸流管道固有頻率的計(jì)算，再經(jīng)由ALK方法分析多個不確定性參數(shù)影響下的防共振可靠性，并分別計(jì)算多個流速下防共振可靠性失效概率的大小，分析管道內(nèi)液體流速對防共振可靠性的影響，為輸流管道的防共振設(shè)計(jì)應(yīng)用提供一種新的途徑。

1 輸流管道模態(tài)

本文考慮一長為l的兩端簡支等直輸流管道，假定管內(nèi)流體無粘且不可壓縮，即管內(nèi)流體均勻流速。根據(jù)小變形假設(shè)下的Euler- Bernoulli梁模型，我們可以得到輸流管道的橫向振動控制方程[11-12]

(1)

式中，m0是單位長度管道內(nèi)流體質(zhì)量，m是單位長度管道質(zhì)量，v是管道內(nèi)的流體流速，EI是抗彎剛度，y是管道橫向位移，x是管道軸向位移，t表示時間?？刂品匠讨械母黜?xiàng)從左依次表示為彈性恢復(fù)力、離心力、科氏力和慣性力。需要指出的是，科氏力是由于考慮了流體的相對流動而出現(xiàn)的，其本質(zhì)為負(fù)阻尼機(jī)制，即反對稱螺旋阻尼，此時特征值中包含一對共軛復(fù)數(shù)。

顯然，式(1)為高階微分方程，難以直接求得其解析解，此時可以考慮引入變分法中的Galerkin加權(quán)余量法求出其近似解。為了消除時間t的影響，降低求解難度，且管道橫向位移為軸向位移x和時間t的函數(shù)，不妨假設(shè)

y(x,t)=u(x)eiωt

(2)

將y的函數(shù)代入式(1)，此時可以消去eiωt，可以得到

(m+m0)ω2u(x)=0

(3)

兩端簡支輸流管道的邊界條件為

(4)

取滿足式(4)的試函數(shù)為φj(x)=sinβjx,(j=1,2,…,N)，此時的近似解函數(shù)為

(5)

將近似解函數(shù)(5)代入式(3)，可得

根據(jù)Galerkin法規(guī)定，權(quán)函數(shù)與試函數(shù)相等，即

Wk(x)=φk(x)=sinβkx,(k=1,2,…,N)

(7)

為了消除余量，作余量與權(quán)函數(shù)的內(nèi)積，并令其正交，即

(8)

將式(6)和(7)代入式(8)，可得

(9)

其中，g1(j,k)和g2(j,k)分別為

當(dāng)j=k時，

(10)

(11)

當(dāng)j≠k時，

(12)

(13)

我們把式(9)稱為Galerkin方程組，可以將其寫為如下矩陣形式

(j=1,2,…,N；k=1,2,…,N)

(14)

式中，C是Galerkin系數(shù)矩陣，屬于關(guān)于ω的函數(shù)。此外

2m0v·iωβjg2(j,k)-(m+m0)ω2g1(j,k)

(15)

顯然，式(14)能夠取得非零解的充要條件為系數(shù)矩陣行列式為零，即

det|C(ω)|=0

(16)

由式(16)可以求出2N個ω，又因?yàn)槭?15)中含有虛數(shù)項(xiàng)，且復(fù)特征值共軛出現(xiàn)，再略去實(shí)部為負(fù)的特征值，可以得到N個ω，其實(shí)部為固有頻率，虛部為衰減頻率。

2 功能函數(shù)建立

假設(shè)固有頻率為IF，激振力頻率為S，根據(jù)傳統(tǒng)振動設(shè)計(jì)規(guī)范要求，當(dāng)1-k1

(17)

式中，mm是管道固有頻率所取的階數(shù)，在可靠性中表示失效模式的個數(shù)，zjj表示第jj個失效模式，x是隨機(jī)輸入變量向量，IFjj是第jj階固有頻率。

防共振可靠度可以寫為

(18)

式中，fx是輸入變量x的聯(lián)合概率密度函數(shù)，θx是x的隨機(jī)分布參數(shù)。

式(18)的解析解是很難求得的，通常采用數(shù)值仿真或近似解法取得其近似解，最常用的是Monte-Carlo仿真方法，雖然該方法精度很高，但在實(shí)際應(yīng)用中面臨計(jì)算成本過高，計(jì)算效率低這一突出問題。本文采用近年來新發(fā)展的主動學(xué)習(xí)Kriging方法進(jìn)行防共振可靠性的求解。

3 防共振可靠性分析

本文采用ALK方法求解，下面介紹其相關(guān)理論和計(jì)算流程。

3.1 Kriging插值模型

Kriging模型由兩部分組成，前半部分為全局近似，后半部分為局部偏差[13]，具體形式如下

G(x)=F(x,β)+z(x)=f(x)β+z(x)

(19)

式中，G(x)表示待擬合的目標(biāo)響應(yīng)函數(shù)，f(x)表示變量x的多項(xiàng)式，β表示f(x)的系數(shù)，z(x)表示待擬合函數(shù)的隨機(jī)分布部分。

已知模型(19)里面，F(xiàn)(x,β)代表了全局模型近似，即Kriging模型的均值，也是變量x的多項(xiàng)式函數(shù)，一般用f(x)β表示，而在實(shí)際中，多項(xiàng)式的形式對于擬合精度的影響幾乎可以忽略，所以可簡化為常數(shù)β。而z(x)代表了局部模型偏差，其統(tǒng)計(jì)特征期望為E(z(x))=0，方差為Var(z(x))=σ2，協(xié)方差代表了與全局模型的局部偏差的程度，具體形式如下

Cov[z(xi),z(xj)]=σ2R([R(xi,xj)])

(20)

式中，R([R(xi,xj)])是樣本點(diǎn)xi和xj之間的相關(guān)函數(shù)，Kriging模型中使用高斯相關(guān)函數(shù)，所以又被稱為高斯過程模型，其具體形式如下

(21)

Kriging模型需要有DoE(Design of Experiment)來求解其相關(guān)統(tǒng)計(jì)參數(shù)，進(jìn)而才能對目標(biāo)點(diǎn)進(jìn)行預(yù)測。給定DoE：{x(1),x(2),…,x(n)}(x(j)表示第j個訓(xùn)練點(diǎn))以及g=[G(x(1)),G(x(2)),…,G(x(n))]T(G(x(j))表示第j個響應(yīng))，在未知點(diǎn)x處，G(x)的預(yù)測值為

(22)

(23)

σ2rT(x)R-1r(x)

(24)

式中，f是n維單位列向量，即1=f=[1,1,…,1]，y是n維列向量，含有每個設(shè)計(jì)點(diǎn)的目標(biāo)響應(yīng)值，rT(x)是n維列向量，式(23)和(24)中各參數(shù)可由以下各式得到

rT(x)=[R(x,x1),R(x,x2),…,R(x,xn)]

(25)

(26)

(27)

(28)

還有就是相關(guān)參數(shù)θk的值通過最大似然估計(jì)求解得到，那么當(dāng)相關(guān)函數(shù)是高斯相關(guān)函數(shù)時，則可轉(zhuǎn)化為下面的優(yōu)化問題

(29)

相關(guān)參數(shù)θk的優(yōu)化可以通過全局優(yōu)化策略的DIRECT優(yōu)化算法[14]得到。

3.2 ERF學(xué)習(xí)方程

基于Kriging模型的傳統(tǒng)加點(diǎn)方法都是通過隨機(jī)抽樣得到樣本點(diǎn)，進(jìn)而得到代理模型，那么得到的模型精度必然與所加樣本點(diǎn)密切相關(guān)，然而盲目地毫無目的性的過多或過少的抽取樣本點(diǎn)加入DoE中，都無法保證模型精度。Bichon[15-16]提出了主動學(xué)習(xí)的方法來選擇性地往DoE中添加樣本點(diǎn)達(dá)到改進(jìn)模型的作用。Echard等[17]通過結(jié)合MC方法提出了主動學(xué)習(xí)的AK-MCS方法。Yang等提出了一種適用于主客觀混合可靠性分析的主動學(xué)習(xí)Kriging模型。這里采用YANG所提出的ALK方法。

首先考慮預(yù)測值是負(fù)值，即μG(x)<0，那么此時存在著真實(shí)值G(x)>0的風(fēng)險，定義如下指標(biāo)來衡量這個風(fēng)險

R(x)=max[(G(x)-0),0]

(30)

R(x)表示了μG(x)<0時，G(x)>0的程度，R(x)越大，G(x)越可能被預(yù)測錯誤。此外，已知G(x)是隨機(jī)變量，那么相應(yīng)的R(x)也是隨機(jī)變量。將R(x)進(jìn)行概率平均，即可得到μG(x)<0時，G(x)的符號預(yù)測錯誤的風(fēng)險期望

E(R(x))=E[max((G(x)-0),0)]=

(31)

式中，μG(x)和σG(x)分別是x點(diǎn)處預(yù)測值的均值和方差。φ()是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)，Φ()是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的累積分布函數(shù)。

當(dāng)預(yù)測值是正值，即μG(x)>0，同理，定義μG(x)>0時的風(fēng)險度量指標(biāo)為

R(x)=max[(0-G(x)),0]

(32)

對應(yīng)的風(fēng)險期望為

E(R(x))=E[max((0-G(x)),0)]=

(33)

式(31)和(33)可以寫成統(tǒng)一形式，即

E(R(x))=

(34)

式(34)即為風(fēng)險期望方程(ERF)，或者稱為學(xué)習(xí)方程。ERF表示了G(x)的預(yù)測值與真實(shí)值間符號不同的可能性的大小，即ERF值越大，在該點(diǎn)處G(x)的真實(shí)值由正變負(fù)或由負(fù)變正的可能性就越大。此外，ERF值比較大的點(diǎn)一般都是在極限狀態(tài)曲面附近的點(diǎn)和Kriging方差很大的點(diǎn)，所以，我們應(yīng)該將這些ERF值最大點(diǎn)選出來加入到DoE中，從而提高Kriging模型的擬合精度。

3.3 ALK方法的基本步驟

步驟1在各隨機(jī)變量組成的不確定性域中隨機(jī)抽取Xt=(X1,t,X2,t,…,Xn,t)(t=1,2,…,N)個初始樣本點(diǎn)，計(jì)算功能函數(shù)值，構(gòu)建初始Kriging模型，此處N=20。

步驟2隨機(jī)產(chǎn)生大量候選樣本點(diǎn)，為ERF方程選點(diǎn)做準(zhǔn)備，為使候選樣本點(diǎn)充滿不確定性域，取候選點(diǎn)數(shù)量為m=105。

步驟3在候選點(diǎn)中計(jì)算Kriging模型的預(yù)測值μG(X)和ERF值，將ERF值最大的點(diǎn)記為X*。

步驟4若ERF最大值滿足收斂條件的閾值，則轉(zhuǎn)入步驟6，本文閾值大小為10-3。

步驟5若步驟4中的收斂條件無法滿足，將X*加入DoE中，并計(jì)算X*處的功能函數(shù)值更新Kriging模型，返回到步驟3。

步驟6基于已建立的Kriging模型，代入Monte-Carlo法中求解防共振失效概率。

4 算 例

本文以兩端簡支輸流管道為模型進(jìn)行計(jì)算驗(yàn)證，如圖1所示。管道長度l=2.0 m，外直徑D=0.1 m，壁厚δ=0.002 m，管道所用材料彈性模量E=68.6 GPa，密度pd=2 800 kg/m3，泊松比ρ=0.3，管道內(nèi)液體密度fd=1 000 kg/m3。

圖1 兩端簡支輸流管道模型

根據(jù)Galerkin加權(quán)余量法計(jì)算求得的輸流管道在不同流速下的前四階固有頻率如表1所示，可以發(fā)現(xiàn)隨著管道內(nèi)液體流速的增加，各階固有頻率均逐漸下降，其中，一階固有頻率下降最多。該現(xiàn)象主要因?yàn)殡S著液體流速的增大，使管道剛度不斷下降，進(jìn)而引起固有頻率的不斷減小。

表1 輸流管道的前四階固有頻率

然后，根據(jù)ALK方法計(jì)算防共振可靠性。為考慮流速對防共振可靠性的影響，分為四種工況進(jìn)行計(jì)算，分別為：① 流速的隨機(jī)分布類型為正態(tài)分布，變異系數(shù)為0.05，后面三種工況的分布類型與參數(shù)與工況1相同，流速大小均值為0；② 流速大小均值為10；③ 流速大小均值為20；④ 流速大小均值為30。影響防共振可靠性的各隨機(jī)變量如表2所示。

防共振可靠性計(jì)算結(jié)果如表3所示。由結(jié)果可以知道，隨著液體流速的增大，一階固有頻率共振失效概率不斷減小，而與此相反的是，二階固有頻率共振失效概率不斷增大。根據(jù)李占營等[18]的結(jié)論，流速增大會導(dǎo)致剛度減小，進(jìn)而導(dǎo)致固有頻率降低，在此表現(xiàn)為一階固有頻率不斷遠(yuǎn)離外激勵頻率，而二階固有頻率不斷靠近外激勵頻率。此外，如圖2所示，經(jīng)ALK方法選出的訓(xùn)練點(diǎn)的外激勵頻率的上限和下限分別分布在640 Hz和220 Hz左右，有利于提高防共振可靠性失效

表2 輸入變量的隨機(jī)分布類型及參數(shù)

概率的計(jì)算精度。ALK方法除20個初始樣本點(diǎn)外，通過ERF方程主動選點(diǎn)的收斂速度是十分快的，以工況2的一階固有頻率防共振可靠性計(jì)算為例，共篩選出81個功能函數(shù)正負(fù)號預(yù)測錯誤風(fēng)險最大的訓(xùn)練點(diǎn)，且大部分訓(xùn)練點(diǎn)都位于極限狀態(tài)附近，提升了對目標(biāo)功能函數(shù)的預(yù)測精度，同時也極大地提高了計(jì)算效率，如圖3所示。所以，相對于其它傳統(tǒng)可靠性求解方法，如Monte-Carlo法、點(diǎn)估計(jì)法和響應(yīng)面法等[19-20]，ALK方法能夠在保證共振可靠性計(jì)算精度的前提下，極大地減少功能函數(shù)的調(diào)用次數(shù)，提高失效概率的計(jì)算效率。但需要注意的事，ALK方法對于初始樣本點(diǎn)的依賴較高，需選用均勻性很好的抽樣方法。此外，ALK方法對于高維問題求解尚存在困難。

表3 不同工況下防共振可靠性分析結(jié)果

圖2 工況2下ALK方法所取訓(xùn)練點(diǎn)外激勵頻率分布

Fig.2 The external excitation frequency distribution of training points obtained with ALK solution under condition 2

圖3 工況2下ALK方法得到的DoE

5 結(jié) 論

本文考慮輸流管道在流固耦合作用下，聯(lián)合Galerkin加權(quán)余量法和ALK方法，建立了一種新的輸流管道防共振可靠性分析方法，并以兩端簡支輸流管道為例進(jìn)行了計(jì)算驗(yàn)證分析。首先，固有頻率計(jì)算結(jié)果證明輸流管道內(nèi)液體流速的增大會影響管道固有頻率不斷下降。同時，防共振可靠性分析結(jié)果證明管道液體流速的增大會不斷影響管道一階固有頻率不斷遠(yuǎn)離外激勵頻率范圍，二階固有頻率不斷靠近外激勵頻率范圍。本文中共振可靠性功能函數(shù)為隱式、非線性的，算例證明了所提方法能夠有效地處理含隱式、非線性功能函數(shù)的復(fù)雜工程問題，為輸流管道的防共振可靠性分析提供了參考。