大跨度鐵路斜拉橋全橋索-梁相關(guān)振動(dòng)研究

王 濤， 劉德貴， 黃 輝

(西南科技大學(xué) 土木工程與建筑學(xué)院，四川 綿陽(yáng) 621000)

斜拉索是斜拉橋的主要受力構(gòu)件之一，橋面重量及橋面上荷載大部分通過拉索傳遞到橋塔。斜拉索具有剛度小、阻尼小、質(zhì)量小的特點(diǎn)，容易在各種激勵(lì)下發(fā)生振動(dòng)。關(guān)于拉索各種類型振動(dòng)的性質(zhì)與理論分析方法等，可以參考文獻(xiàn)[1]。

斜拉橋在風(fēng)或車輛荷載作用下，橋面會(huì)發(fā)生一定幅度的振動(dòng)，拉索端點(diǎn)的位移激勵(lì)會(huì)帶動(dòng)拉索發(fā)生振動(dòng)，斜拉索受到的端點(diǎn)位移激勵(lì)分量通常包括沿拉索橫向的強(qiáng)迫激勵(lì)與沿拉索軸向的參數(shù)激勵(lì)，其中，強(qiáng)迫激勵(lì)可能導(dǎo)致拉索發(fā)1∶1主共振，參數(shù)激勵(lì)可能導(dǎo)致拉索發(fā)生2∶1參數(shù)共振(1∶1與2∶1為端點(diǎn)位移激勵(lì)達(dá)到的頻率值與拉索自振頻率值的比例)。 文獻(xiàn)[2]中將斜拉橋中拉索在端點(diǎn)位移激勵(lì)下發(fā)生的振動(dòng)命名為“索-梁相關(guān)振動(dòng)”。

Fujino等[3]首次觀察到了日本一座人行斜拉橋上索-梁相關(guān)振動(dòng)導(dǎo)致的2∶1參數(shù)共振，結(jié)合觀察到的實(shí)際現(xiàn)象建立了簡(jiǎn)化索-梁組合結(jié)構(gòu)的理論模型與實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ停芯苛死髟诙它c(diǎn)位移激勵(lì)下，面內(nèi)與面外振動(dòng)。陳水生等[4-5]在他們的研究中建立了拉索在端點(diǎn)位移激勵(lì)下非線性振動(dòng)理論模型、拉索-質(zhì)量塊耦合非線性振動(dòng)模型，考慮了索的垂度、幾何非線性、拉索橋面端點(diǎn)位移激勵(lì)等因素，推導(dǎo)了斜拉索的在端點(diǎn)位移激勵(lì)作用下的非線性振動(dòng)方程；使用理論方法結(jié)合數(shù)值分析，詳細(xì)地研究了斜拉索的在端點(diǎn)位移激勵(lì)下的強(qiáng)迫振動(dòng)與參數(shù)振動(dòng)特性。

陳丕華等[6]通過實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ脱芯苛诵崩髟谄矫鎯?nèi)的參數(shù)振動(dòng)特性。趙躍宇等[7]使用理論方法建立了索-梁組合結(jié)構(gòu)的簡(jiǎn)化理論模型，討論了簡(jiǎn)化索-梁組合結(jié)構(gòu)中拉索發(fā)生索-梁相關(guān)振動(dòng)的共振穩(wěn)定性。王志騫等[8]分析了索-梁組合結(jié)構(gòu)理論模型的非線性振動(dòng)性質(zhì)并研究了其振動(dòng)控制措施。

康厚軍等[9]收集了前期各個(gè)學(xué)者的研究資料，總結(jié)了目前關(guān)于斜拉橋拉索在端點(diǎn)位移激勵(lì)下非線性振動(dòng)研究的現(xiàn)狀。依據(jù)現(xiàn)有的研究成果可以發(fā)現(xiàn)，對(duì)于斜拉橋的索-梁相關(guān)振動(dòng)，目前已有的研究中普遍使用單索、索-質(zhì)量塊或簡(jiǎn)化的索-梁組合結(jié)構(gòu)理論模型來(lái)開展研究，取得了較多的理論性成果。但由于斜拉橋全橋?yàn)槎喔髋c梁的組合，發(fā)生索-梁相關(guān)振動(dòng)時(shí)拉索與梁、塔振動(dòng)相互作用的機(jī)理更為復(fù)雜(如：多索與梁、塔相互動(dòng)力作用，索與相鄰索的動(dòng)力作用等等)，因此，理論模型幾乎無(wú)法開展斜拉橋全橋尺度下發(fā)生索-梁相關(guān)振動(dòng)時(shí)拉索的非線性振動(dòng)研究。

Caetano等[10-11]以韓國(guó)Jindo大橋(主跨343 m)為研究對(duì)象，通過理論分析、數(shù)值計(jì)算、模型振動(dòng)臺(tái)實(shí)驗(yàn)，研究了斜拉橋的索-梁相關(guān)振動(dòng)現(xiàn)象。Calcada等[12]在葡萄牙Salgueiro Maia大橋(主跨246 m)上進(jìn)行現(xiàn)場(chǎng)測(cè)試，研究了重載汽車通過時(shí)主梁與拉索的振動(dòng)情況。孫測(cè)世等[13]建立了象山港大橋(公路斜拉橋，主跨688 m)的全橋縮尺實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ停治隽诵崩瓨蛟谀M外激勵(lì)各種工況下的索-梁相關(guān)振動(dòng)的特性。

全橋模型實(shí)驗(yàn)往往只能針對(duì)某個(gè)特定的橋梁研究，而實(shí)橋測(cè)試由于研究經(jīng)費(fèi)、實(shí)橋運(yùn)營(yíng)等因素的限制，測(cè)試工況往往難以達(dá)到要求，難以得到較為明確的研究結(jié)果。使用精細(xì)的數(shù)值計(jì)算來(lái)模擬研究斜拉橋全橋的索-梁相關(guān)振動(dòng)不存在上述問題。因此，文獻(xiàn)[9]也指出，由于技術(shù)手段的限制，前期關(guān)于斜拉橋全橋在索-梁相關(guān)振動(dòng)作用下的非線性振動(dòng)研究成果相對(duì)較少，目前需要進(jìn)一步結(jié)合數(shù)值計(jì)算技術(shù)發(fā)展，開發(fā)斜拉橋全橋計(jì)算系統(tǒng)，建立計(jì)算模型，深入探討各種橋型、各種工況下，索-梁相關(guān)振動(dòng)導(dǎo)致的拉索非線性振動(dòng)特性。

翟婉明等[14]詳細(xì)研究了列車-橋梁耦合動(dòng)力作用下，橋梁結(jié)構(gòu)以及車輛的振動(dòng)響應(yīng)。但目前車-橋耦合振動(dòng)主要關(guān)注的是橋梁結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)的評(píng)價(jià)，沒有重點(diǎn)分析列車動(dòng)力作用導(dǎo)致的索-梁相關(guān)振動(dòng)對(duì)拉索的影響。雷虎軍等[15]開發(fā)了車橋耦合振動(dòng)算法，研究了拉索的局部振動(dòng)效應(yīng)，但研究中動(dòng)力時(shí)程積分使用了傳統(tǒng)的線性有限元算法，拉索的應(yīng)力剛度不會(huì)隨著受力的增加而變化。

本文以筆者建立的基于CR列式(Co-rotational Formulation)非線性有限元?jiǎng)恿r(shí)程積分算法為基礎(chǔ)，編制了非線性動(dòng)力有限元計(jì)算程序(計(jì)算中使用平面桿、梁?jiǎn)卧?，程序算法具有簡(jiǎn)潔、高效的特點(diǎn)[16]。筆者在文獻(xiàn)[17]中，進(jìn)一步驗(yàn)證了本文所使用有限元程序的正確性，并將桿、梁模型的CR列式非線性動(dòng)力有限元程序應(yīng)用推廣到了3維空間。

在本文研究中，首先，使用2維動(dòng)力非線性有限元程序研究了斜拉橋模型在簡(jiǎn)諧激勵(lì)、自由振動(dòng)狀態(tài)下的非線性振動(dòng)特性，依據(jù)前期各個(gè)學(xué)者研究得到理論原理解釋了索-梁組合結(jié)構(gòu)中拉索發(fā)生的1∶1主共振、2∶1參數(shù)共振、亞諧波共振等非線性振動(dòng)現(xiàn)象。然后，使用開發(fā)的車-橋耦合振動(dòng)算法，在全橋有限元模型的基礎(chǔ)上，計(jì)算了不同工況的列車-橋梁耦合動(dòng)力作用下拉索的非線性振動(dòng)情況。最后研究結(jié)果表明：對(duì)于承受荷載較大的大跨度鐵路斜拉橋，全橋結(jié)構(gòu)剛度較大，列車導(dǎo)致的動(dòng)力作用不容易達(dá)到索-梁相關(guān)振動(dòng)的拉索共振條件(1∶1主共振或2∶1參數(shù)共振)，拉索不會(huì)發(fā)生大幅度非線性振動(dòng)。文獻(xiàn)[1，3]中的研究報(bào)道也驗(yàn)證了發(fā)生大幅度索-梁相關(guān)振動(dòng)的橋梁往往多為小跨度、拉索與橋梁質(zhì)量較小自振頻率都較高的橋梁而無(wú)大跨度鐵路斜拉橋。

1 計(jì)算原理

1.1 基于CR列式的非線性有限元法

基于流動(dòng)坐標(biāo) 的CR列式幾何非線性有限元計(jì)算方法具有計(jì)算速度快、力學(xué)概念簡(jiǎn)潔的特點(diǎn)，通常不必計(jì)算、推導(dǎo)復(fù)雜的單元非線性大位移剛度矩陣，更適用于模擬柔性結(jié)構(gòu)，特別是索結(jié)構(gòu)的大幅度非線性振動(dòng)。本文使用了2維桿、梁?jiǎn)卧Ｐ瓦M(jìn)行了計(jì)算。

如圖1所示，按照CR列式原理，在單元上附加一流動(dòng)坐標(biāo)系X1Y1，坐標(biāo)原點(diǎn)始終位于單元i節(jié)點(diǎn)上，X1軸始終沿單元節(jié)點(diǎn)ij方向，Y1軸始終垂直于X1軸。當(dāng)單元節(jié)點(diǎn)發(fā)生位移與轉(zhuǎn)角時(shí)，單元變形后流動(dòng)坐標(biāo)系位置由圖1(a)變?yōu)閳D1(b)。

(a) 單元變形前

更新局部坐標(biāo)系位置，通過坐標(biāo)的變化可以計(jì)算得到單元伸長(zhǎng)，計(jì)算扣除剛體轉(zhuǎn)動(dòng)，即可得到單元節(jié)點(diǎn)的實(shí)際轉(zhuǎn)動(dòng)量。桿單元為梁?jiǎn)卧耐嘶闆r，只需計(jì)算局部坐標(biāo)系下單元伸長(zhǎng)即可。計(jì)算得到的是單元節(jié)點(diǎn)“幾何精確”意義的實(shí)際位移，進(jìn)一步可以得到單元的實(shí)際內(nèi)力。然后，計(jì)算不平衡力與切線剛度矩陣，使用Newton-Raphson 方法迭代，就能得到結(jié)構(gòu)的幾何非線性靜力狀態(tài)。

1.2 基于CR列式的非線性有限元?jiǎng)恿r(shí)程積分

本文在CR列式的非線性靜力計(jì)算的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步開發(fā)了非線性Newmark-β有限元?jiǎng)恿r(shí)程積分方法。其基本假定與普通的Newmark-β法相同，可以寫為

(1)

(2)

其中各個(gè)積分參數(shù)的具體表達(dá)式與意義可參見文獻(xiàn)[16]?？紤]幾何非線性時(shí)，結(jié)構(gòu)t+Δt時(shí)刻的振動(dòng)方程為

F[u(t+Δt)]+Fe[u(t+Δt)]

(3)

將式(1), (2)代入式(3)，得到：

(a0M+a1C)u(t+Δt)+R[u(t+Δt)]=

F[u(t+Δt)]+Fe[u(t+Δt)]+

(4)

由式(4)可知，非線性有限元Newmark-β動(dòng)力時(shí)程積分實(shí)際上是在每一個(gè)積分時(shí)間步內(nèi)求解非線性方程(4)。式(4)左端R為有限元總體節(jié)點(diǎn)內(nèi)力向量，它是總體節(jié)點(diǎn)位移向量u的非線性函數(shù)，與靜力計(jì)算原理相同，本文程序中使用CR列式非線性有限元計(jì)算原理來(lái)計(jì)算得到結(jié)構(gòu)內(nèi)力向量R。式(4)右端，F(xiàn)表示結(jié)構(gòu)承受的總體節(jié)點(diǎn)外力向量，F(xiàn)e表示結(jié)構(gòu)初始單元力導(dǎo)致的等效總體節(jié)點(diǎn)外力向量，當(dāng)計(jì)算中考慮幾何非線性時(shí)，它們都是位移u的非線性函數(shù)。

使用Newton-Raphson法迭代求解式(4)。在迭代過程中使用的切線剛度矩陣為

K=a0M+a1C+KK

(5)

式中：M,C,KK分別為將節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)更新到當(dāng)前迭代步位置上時(shí)，結(jié)構(gòu)的總體質(zhì)量矩陣、總體阻尼矩陣、線性靜力計(jì)算時(shí)計(jì)算的總體剛度矩陣。

非線性有限元?jiǎng)恿r(shí)程計(jì)算具體流程與算法驗(yàn)證可參考文獻(xiàn)[2，16-17]。

1.3 列車-橋梁耦合振動(dòng)計(jì)算模型

與文獻(xiàn)[19]相同，如圖2所示，本文高速列車使用了4軸2維列車模型。

圖2 一節(jié)列車車廂模型

列車的車廂的振動(dòng)模型為

(6)

式中，Mv,Cv,Kv分別為列車車廂的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣、剛度矩陣，它們的取值可以參考文獻(xiàn)[14-15，19]。

實(shí)際計(jì)算中以標(biāo)準(zhǔn)高速客運(yùn)列車動(dòng)車組8節(jié)車廂編組為一輛列車，計(jì)算不同速度下列車通過橋梁的動(dòng)力響應(yīng)。本文算例中的鐵路斜拉橋?yàn)槎嗑€鐵路橋，所以程序中設(shè)計(jì)了能包含多輛列車同時(shí)(正向、逆向、不同行駛速度)過橋的計(jì)算模型。為了考慮不同列車的不同速度，程序設(shè)計(jì)中使用統(tǒng)一時(shí)間步長(zhǎng)，通過計(jì)算調(diào)整時(shí)間步長(zhǎng)使列車空間步長(zhǎng)小于0.2 m。

軌道不平順選用美國(guó)六級(jí)譜，計(jì)算中使用2維模型，因此只有列車沿軌道運(yùn)行的高低不平順

(7)

式中：Sv(Ω)為軌道的不平順功率譜密度函數(shù)[cm2/(rad/m)]，Av為粗糙度常數(shù)(cm2·rad/m)；Ωc為截?cái)囝l率(rad/m)；k為安全系數(shù)，可根據(jù)要求在0.25～1.0之間選取，一般取為0.25；模擬算法使用文獻(xiàn)[14]中給出的方法，使用美國(guó)六級(jí)譜計(jì)算的軌道不平順?biāo)憷鐖D3所示。

圖3 美國(guó)六級(jí)譜軌道高低不平順模擬結(jié)果

對(duì)于橋梁模型動(dòng)力時(shí)程計(jì)算的阻尼，通常將結(jié)構(gòu)的阻尼矩陣簡(jiǎn)化為質(zhì)量矩陣[M]和剛度矩陣[K]的線性組合，即：

C=aM+bK

(8)

式中，a,b可由橋梁結(jié)構(gòu)前2階振型的阻尼比和其相應(yīng)的自振頻率表示

(9)

式中，wi,wj分別為第i階和j階振型的自振頻率，xi,xj是對(duì)應(yīng)的阻尼比。計(jì)算中i,j分別取1,2階全橋整體模型的自振頻率，對(duì)應(yīng)阻尼比參考文獻(xiàn)[1]中斜拉橋阻尼比建議為0.1%，為了體現(xiàn)更明顯的振動(dòng)效果，這里均取為0.05%。

綜上所述，對(duì)于式(4)，式(6)給出的橋梁有限元模型非線性振動(dòng)方程以及列車振動(dòng)方程，本文采用與文獻(xiàn)[14-15，19]中相同的車、橋分離迭代法求解，其一般的基本步驟為

步驟1 計(jì)算列車運(yùn)行速度每一節(jié)車廂的輪對(duì)當(dāng)前時(shí)間步t時(shí)刻在橋梁上的位置。

步驟2 以t-1時(shí)刻的橋梁運(yùn)動(dòng)狀態(tài)作為初始值，疊加t時(shí)刻的軌道不平順值，得到t時(shí)刻等效軌道不平順。

步驟3 根據(jù)t時(shí)刻軌道不平順求車輛輪軌力。

步驟4 使用線性Newmark-β法計(jì)算t時(shí)刻車輛響應(yīng)。

步驟5 使用本文非線性Newmark-β法計(jì)算t時(shí)刻橋梁響應(yīng)。

步驟6 根據(jù)t時(shí)刻橋梁響應(yīng)，重復(fù)步驟2～步驟6，直到輪軌和橋梁的振動(dòng)幾何、力學(xué)關(guān)系滿足要求(一般迭代3次即可達(dá)到收斂條件)，再進(jìn)行下一時(shí)間迭代。

2 斜拉橋全橋索-梁相關(guān)振動(dòng)特性研究

本文研究使用作者開發(fā)的基于CR列式動(dòng)力非線性有限元程序(使用2維桿、梁?jiǎn)卧?建立了斜拉橋全橋計(jì)算模型。

2.1 全橋有限元模型

本文選取有代表性的武漢天興洲公鐵兩用大跨度斜拉橋?yàn)檠芯繉?duì)象，認(rèn)為列車為大橋的主要?jiǎng)恿奢d，所以計(jì)算中只考慮了列車作用。建立簡(jiǎn)化的2維有限元全橋模型研究全橋結(jié)構(gòu)發(fā)生豎向振動(dòng)時(shí)，拉索在端點(diǎn)位移激勵(lì)下發(fā)生索-梁相關(guān)振動(dòng)時(shí)的振動(dòng)特性。

實(shí)際斜拉橋的橫向剛度較大，實(shí)際運(yùn)營(yíng)中列車作用下斜拉橋發(fā)生的振動(dòng)主要是豎向平面內(nèi)振動(dòng)，所以，本文模型應(yīng)當(dāng)是合理的。關(guān)于天興洲大橋的各個(gè)計(jì)算參數(shù)以及結(jié)構(gòu)構(gòu)造可以參考文獻(xiàn)[20]。

天興洲大橋全長(zhǎng)1 092 m，主跨540 m。為雙塔三索面三主桁斜拉橋，拉索最長(zhǎng)為271.8 m，最短為88.9 m。使用本文程序建立的全橋有限元模型如圖4所示。

圖4 天興洲大橋平面有限元模型

根據(jù)文獻(xiàn)[20]以及向橋梁設(shè)計(jì)單位咨詢得到斜拉橋設(shè)計(jì)參數(shù)，由于為有限元模型為2維平面模型，天興洲大橋斜拉橋3索面中只取其中1索面，橋塔、主梁按照其幾何、物理屬性的1/3簡(jiǎn)化(取為原截面積、豎向剛度的1/3)，列車荷載也按照1/3取值。拉索編號(hào)從左到右為1～48號(hào)拉索。X0Y0為總體坐標(biāo)系。

主梁、橋塔使用平面梁?jiǎn)卧M，塔梁連接使用桿單元模擬，拉索使用分段直桿單元模擬。橋塔上靠近中跨、邊跨最長(zhǎng)的3根拉索分為40段，其他拉索分為20段， 全橋共1 202個(gè)節(jié)點(diǎn)，1 421個(gè)單元。橋塔與輔助墩底部約束全部自由度，主梁兩端底部節(jié)點(diǎn)約束Y0方向，為了計(jì)算需要，跨中底部節(jié)點(diǎn)約束X0方向。重力加速度取G=9.8 m/s2。模型阻尼比設(shè)為0.05%，阻尼矩陣取全橋前2階振型計(jì)算。

為了考察全橋整體結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性，首先建立全橋有限元模型(拉索不分段)。先考慮幾何非線性計(jì)算結(jié)構(gòu)在自重下的靜力狀態(tài)，再計(jì)算自振特性，計(jì)算結(jié)果如圖5所示。

圖5 全橋前8階模態(tài)(拉索不分段)

Fig.5 The first 8 modes of global bridge (The cables were not divided)

從圖5可以看出,全橋結(jié)構(gòu)2維低階模態(tài)以主梁的振型為主。由于拉索不分段，所以圖中的模態(tài)反映了全橋整體結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性。

模型計(jì)算結(jié)果中，天興洲大橋有限元模型(拉索不分段)X0Y0平面內(nèi)1、2階模態(tài)(主梁對(duì)稱豎彎、主梁反對(duì)稱豎彎)頻率分別為0.378 Hz,0.590 Hz。

在文獻(xiàn)[20]中使用天興洲大橋3維空間有限元全橋模型(拉索不分段)計(jì)算得到橋梁在X0Y0平面內(nèi)1,2階模態(tài)(主梁對(duì)稱豎彎、主梁反對(duì)稱豎彎)頻率分別為0.370 3 Hz, 0.597 7 Hz，與本文結(jié)果較為接近，這說(shuō)明本文的近似處理接近天興洲大橋的實(shí)際情況，本文2維模型的模態(tài)計(jì)算結(jié)果是較為可靠的。

使用拉索分段的天興洲大橋全橋模型，先考慮幾何非線性計(jì)算結(jié)構(gòu)在自重下的靜力狀態(tài)，再計(jì)算在自振特性，得到模態(tài)計(jì)算結(jié)果如圖6所示。

圖6 全橋前8階模態(tài)(拉索分段，靜力變形有放大)

Fig.6 The first 8 modes of global bridge(The cables were divided and the static shape was amplificatory)

由圖6可以看出，當(dāng)拉索使用分段模型時(shí)，拉索的局部振動(dòng)模態(tài)與整體結(jié)構(gòu)的振動(dòng)模態(tài)是混合在一起的。圖6中全橋第1階模態(tài)的振型接近圖5中全橋第1階模態(tài)的振動(dòng)而兩者頻率有所差別，這是由于圖6中的模態(tài)包含了拉索的局部模態(tài)造成的。

由于使用拉索分段模型計(jì)算動(dòng)力特性時(shí)全橋拉索局部振動(dòng)與整體結(jié)構(gòu)振動(dòng)難以區(qū)分，所以，為了對(duì)比拉索的局部自振頻率與全橋整體結(jié)構(gòu)自振頻率，本文使用圖5中拉索不分段有限元模型來(lái)得到全橋整體自振頻率， 使用理論公式單獨(dú)計(jì)算拉索的自振頻率。有垂度拉索的自振頻率計(jì)算公式為

(n=1,2,…)

(10)

式中：l為拉索兩端距離，H為索力；m為拉索每延米質(zhì)量；E為彈性模量；A為拉索截面積；θ為拉索傾角；g為重力加速度。

根據(jù)計(jì)算可以得到拉索在自重作用下的成橋索力，使用式(15)得到所有拉索的前n(n=1,2,3…)階自振頻率。全橋?yàn)閷?duì)稱結(jié)構(gòu)，全橋整體前10階自振頻率(拉索不分段模型計(jì)算)與1～32號(hào)拉索的前2階自振頻率對(duì)比如圖7所示。

圖7中J1～J10的橫線表示全橋第1～10階自振頻率值。由圖中可以看出，斜拉橋較長(zhǎng)拉索的自振頻率較為接近全橋的低階頻率。

圖7 各個(gè)拉索前2階自振頻率與全橋前10階自振頻率對(duì)比

Fig.7 Comparison between the first 2 orders natural frequency of the cables and the first 10 orders natural frequency of global bridge

僅根據(jù)自振頻率的對(duì)比還不足以判斷斜拉橋是否容易在列車動(dòng)力荷載作用索-梁相關(guān)振動(dòng)作用下發(fā)生大幅振動(dòng)。斜拉橋整體結(jié)構(gòu)導(dǎo)致的索-梁相關(guān)振動(dòng)具體性質(zhì)還需進(jìn)一步分析。

2.2 橋梁結(jié)構(gòu)大幅振動(dòng)導(dǎo)致的索-梁相關(guān)振動(dòng)特性

為了確定拉索發(fā)生大幅索-梁相關(guān)振動(dòng)的共振條件，這里首先考察斜拉橋全橋發(fā)生大幅共振時(shí)拉索的非線性振動(dòng)特性。本文有限元方法可以考慮結(jié)構(gòu)在靜力作用的初始位移，在后文的結(jié)果中扣除初始位移僅提取動(dòng)力作用下的動(dòng)位移結(jié)果。

如圖4所示，X0Y0為總體坐標(biāo)系，為了得到拉索的局部振動(dòng)計(jì)算結(jié)果，以每根拉索中連接拉索兩端的直線方向(主梁端指向橋塔端)為X軸方向，Y軸方向指向拉索上方(與X軸垂直)，建立各個(gè)拉索的局部坐標(biāo)系，在后面的計(jì)算結(jié)果分析中，按需求分別提取拉索的1/2點(diǎn)、1/4點(diǎn)(靠近主梁端)沿拉索局部坐標(biāo)系Y方向的振動(dòng)計(jì)算結(jié)果來(lái)觀察拉索的1階、2階大幅振動(dòng)狀態(tài)。

如圖8所示，在斜拉橋全橋模型中跨1/2點(diǎn)處施加簡(jiǎn)諧激勵(lì)P=P0sin(ωt)其中P0=-3.0×105N激勵(lì)頻率為0.369 Hz，與圖6中全橋拉索分段模型1階自振頻率值相同。首先，考慮幾何非線性計(jì)算斜拉橋在自重作用下的靜力狀態(tài)，然后，計(jì)算非線性動(dòng)力時(shí)程，共計(jì)算8 000步，時(shí)間步長(zhǎng)0.06 s。

圖8 斜拉橋上的動(dòng)態(tài)力

分別計(jì)算得到斜拉橋主梁跨中1/2點(diǎn)在總體坐標(biāo)系Y0方向的振動(dòng)時(shí)程圖、頻譜圖如圖9所示。

(a) 主梁中跨1/2點(diǎn)振動(dòng)時(shí)程圖、頻譜圖(非線性)

(b) 主梁中跨1/2點(diǎn)振動(dòng)時(shí)程圖、頻譜圖(線性)

圖9(a)為使用非線性Newmark-β法動(dòng)力時(shí)程計(jì)算得到的結(jié)果?？梢钥闯?，外激勵(lì)接近全橋1階頻率，全橋結(jié)構(gòu)發(fā)生1階振型的共振，中跨1/2節(jié)點(diǎn)振幅隨時(shí)間迅速增大，但由于全橋結(jié)構(gòu)的振動(dòng)幾何非線性作用，結(jié)構(gòu)響應(yīng)頻率與振幅有關(guān)，振幅不會(huì)一直增加，而是呈現(xiàn) “拍振”的非線性振動(dòng)性質(zhì)?？缰泄?jié)點(diǎn)40振幅達(dá)到約1.5 m以上時(shí)，發(fā)生了拍振現(xiàn)象，共振振幅開始周期性漲落。

圖9(b)為使用線性Newmark-β法動(dòng)力時(shí)程計(jì)算結(jié)果，與圖9(a)計(jì)算結(jié)果不同，線性動(dòng)力時(shí)程計(jì)算中由于結(jié)構(gòu)剛度矩陣不變，當(dāng)外激勵(lì)與全橋自振頻率接近的時(shí)候，全橋結(jié)構(gòu)會(huì)發(fā)生共振，根據(jù)振動(dòng)理論，共振振幅會(huì)持續(xù)增加直至結(jié)構(gòu)阻尼確定的上限。

對(duì)比圖9(a)與9(b)可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)全橋結(jié)構(gòu)振動(dòng)達(dá)到約1.5 m的時(shí)候結(jié)構(gòu)才會(huì)進(jìn)入較為明顯的非線性振動(dòng)狀態(tài)。所以，對(duì)于斜拉橋，如果發(fā)生較大幅度振動(dòng)，應(yīng)當(dāng)使用非線性動(dòng)力時(shí)程積分算法。

使用圖8加載模型，非線性動(dòng)力時(shí)程計(jì)算得到斜拉橋各個(gè)拉索的1/2點(diǎn)在局部坐標(biāo)系Y方向最大振幅如圖10所示。

圖10 斜拉橋各個(gè)拉索1/2點(diǎn)最大振幅

由于全橋?yàn)閷?duì)稱結(jié)構(gòu)，激勵(lì)在跨中1/2點(diǎn)，所以圖10左右對(duì)稱。由圖10可以看出，由于全橋在外激勵(lì)作用下發(fā)生了1階共振，邊跨最長(zhǎng)拉索在索-梁相關(guān)振動(dòng)的作用下發(fā)生較大幅度的振動(dòng)，其他較長(zhǎng)拉索也發(fā)生了較大幅度振動(dòng)。

得到拉索1的1/2點(diǎn)在拉索局部坐標(biāo)系Y方向的振動(dòng)時(shí)程圖、頻譜圖如圖11所示。

圖11 拉索1的1/2點(diǎn)振動(dòng)時(shí)程圖、頻譜圖

由于拉索1的1階自振頻率(0.425 Hz)較為接近全橋自振頻率(0.369 Hz)，且由理論與已有研究結(jié)論可知，對(duì)于頻率較低的長(zhǎng)索，索-梁相關(guān)振導(dǎo)致的強(qiáng)迫激勵(lì)下非線性振動(dòng)響應(yīng)區(qū)間通常較寬，可以判斷拉索在索-梁相關(guān)振動(dòng)的作用下發(fā)生了強(qiáng)迫激勵(lì)下的1∶1主共振。

激勵(lì)在斜拉橋跨中，但邊跨較長(zhǎng)拉索發(fā)生了較為明顯振動(dòng)，這說(shuō)明，不同于簡(jiǎn)化索-梁組合結(jié)構(gòu)，在實(shí)際斜拉橋全橋尺度下，外激勵(lì)注入的能量通過主梁、橋塔進(jìn)行了傳遞，導(dǎo)致自振頻率達(dá)到共振條件的拉索都發(fā)生了大幅振動(dòng)。

如圖12所示，為了激發(fā)全橋發(fā)生2階共振(全橋2階)，根據(jù)圖6的全橋模態(tài)，在斜拉橋主梁跨中1/4點(diǎn)施加簡(jiǎn)諧力P=P0sin(ωt)其中P0=-3.0×105N，勵(lì)頻率為0.590 Hz(與圖5中全橋2階頻率值相同)，計(jì)算步設(shè)置與圖8中相同。

圖12 斜拉橋主梁跨中1/4點(diǎn)上的簡(jiǎn)諧力

得到斜拉橋跨中主梁1/4點(diǎn)(節(jié)點(diǎn)31)在總體坐標(biāo)系Y0方向的振動(dòng)時(shí)程圖、頻譜圖如圖13所示。

從圖13中時(shí)程圖可以看出，主梁1/4點(diǎn)在外激勵(lì)作用下發(fā)生了較大幅度振動(dòng)，最大振幅接近0.4 m，跨中主梁1/4點(diǎn)振動(dòng)頻率接近全橋的2階自振頻率，簡(jiǎn)諧激勵(lì)激發(fā)了全橋發(fā)生2階大幅非線性共振。

各個(gè)拉索的1/2點(diǎn)沿拉索局部坐標(biāo)系Y方向最大振幅如圖14所示。

圖13 跨中主梁1/4點(diǎn)振動(dòng)時(shí)程圖、頻譜圖

圖14 斜拉橋各個(gè)拉索1/2點(diǎn)最大振幅

從圖14中可以看出，編號(hào)為8,25,40,57號(hào)拉索發(fā)生了大幅振動(dòng)，最大振幅達(dá)到了約3 m，這些拉索的1階自振頻率依次分別為0.575 Hz, 0.583 Hz, 0.583 Hz, 0.575 Hz，其中8與25號(hào)這一組拉索沿左橋塔對(duì)稱布置，40與57號(hào)這一組拉索沿右橋塔對(duì)稱布置，這兩組拉索沿全橋?qū)ΨQ布置。它們的1階自振頻率都接近于全橋的2階振動(dòng)頻率，都在索-梁相關(guān)振動(dòng)的作用下發(fā)生大幅度振動(dòng)，且它們附近的拉索由于自振頻率接近都發(fā)生了較大幅度的振動(dòng)。

提取拉索8的1/2點(diǎn)在拉索局部坐標(biāo)系Y方向的振動(dòng)時(shí)程圖、頻譜圖如圖15所示。

圖15 拉索8與拉索25的1/2點(diǎn)振動(dòng)時(shí)程圖、頻譜圖

觀察圖15中的時(shí)程圖，可以發(fā)現(xiàn)拉索1/2點(diǎn)發(fā)生了大幅振動(dòng)，而頻譜圖則說(shuō)明拉索的大幅振動(dòng)為1階振動(dòng)，所以，根據(jù)理論原理判斷，較大振幅的拉索都發(fā)生了1階的1∶1主共振。

以上計(jì)算結(jié)果表明，當(dāng)天興洲大橋全橋發(fā)生2階共振時(shí)，全橋的2階共振頻率接近全橋中某些拉索的共振區(qū)(對(duì)比圖7)，外激勵(lì)注入能量同樣通過主梁、橋塔傳遞，導(dǎo)致沿全橋與之頻率接近的拉索發(fā)生大幅度的非線性1∶1主共振。由于主梁的位移響應(yīng)較大，所以拉索的共振振幅較大。

2.3 最長(zhǎng)拉索的1∶1主共振

在天興洲大橋上，跨中拉索(第32號(hào)拉索)最長(zhǎng)且中跨無(wú)輔助墩，所以本文認(rèn)為中跨拉索更容易在索-梁相關(guān)振動(dòng)作用下發(fā)生振動(dòng)。

已知跨中最長(zhǎng)拉索(32號(hào)拉索)的1階自振頻率為0.430 Hz。如圖16所示，在32號(hào)拉索主梁端節(jié)點(diǎn)上(節(jié)點(diǎn)39)施加簡(jiǎn)諧激勵(lì)P=P0sin(ωt)其中P0=-3.0×105N激勵(lì)頻率為0.43 Hz(與拉索32的1階自振頻率值相同)，動(dòng)力時(shí)程計(jì)算時(shí)間步長(zhǎng)取0.05 s，計(jì)算6 000步。

圖16 拉索32端點(diǎn)上的簡(jiǎn)諧力

由于外激勵(lì)簡(jiǎn)諧力頻率接近拉索的1階自振頻率，所以根據(jù)非線性振動(dòng)理論，拉索會(huì)在索-梁相關(guān)振動(dòng)的作用下發(fā)生1∶1主共振。

計(jì)算得各個(gè)拉索的1/2點(diǎn)在拉索局部坐標(biāo)系Y方向最大振幅如圖17所示。

圖17 斜拉橋各個(gè)拉索的1/2點(diǎn)振動(dòng)最大振幅

從圖17中可以看出，由于外激勵(lì)接近跨中以及邊跨拉索的1階自振頻率，最長(zhǎng)的幾根拉索在端點(diǎn)位移激勵(lì)作用下發(fā)生了大幅振動(dòng)。

得到拉索32在拉索局部坐標(biāo)系Y方向、斜拉橋主梁跨中1/2點(diǎn)沿總體坐標(biāo)系Y0的振動(dòng)時(shí)程圖、頻譜圖如圖18所示。

觀察圖18，從時(shí)程圖可以看出，拉索發(fā)生了大幅振動(dòng)，從頻譜圖可以判斷拉索發(fā)生了1階的1∶1主共振。由于斜拉橋整體結(jié)構(gòu)的能量傳遞效應(yīng)，拉索32及其附近與之自振頻率接近的拉索都發(fā)生了索-梁相關(guān)振動(dòng)導(dǎo)致的較大幅度的1階主共振。

由于外激勵(lì)位于主梁跨中，主梁位移響應(yīng)相對(duì)較明顯，達(dá)到約0.05 m。外激勵(lì)與斜拉橋全橋自振頻率有一定的差別，所以跨中振動(dòng)幅度較小端點(diǎn)位移激勵(lì)幅值較小。

(a) 主梁1/2點(diǎn)振動(dòng)時(shí)程圖、頻譜圖

(b) 拉索32的1/2點(diǎn)振動(dòng)

Fig.18 The time-history curve and spectrogram of the 1/2 point cables and 1/2 point of middle span

2.4 最長(zhǎng)拉索的2∶1參數(shù)共振

為了考察斜拉橋中跨的最長(zhǎng)拉索可能發(fā)生的參數(shù)振動(dòng)情況。與圖16中施加簡(jiǎn)諧力相同，簡(jiǎn)諧力頻率設(shè)置為0.43×2=0.86 Hz(為拉索32的1階自振頻率值的2倍)。

由于外激勵(lì)頻率接近拉索1階頻率的2倍，拉索上可能發(fā)生1階參數(shù)共振同時(shí)發(fā)生的2階主共振。計(jì)算得各個(gè)拉索的1/2點(diǎn)與1/4點(diǎn)在拉索局部坐標(biāo)系Y方向最大振幅如圖19所示。

(a) 各個(gè)拉索的1/2點(diǎn)振動(dòng)最大振幅

(b) 各個(gè)拉索1/4點(diǎn)振動(dòng)最大振幅

Fig.19 The largest amplitude of the 1/2 point and 1/4 point of the cables in the cable-stayed bridge under external excitation

根據(jù)圖19(a)，可以看出，在簡(jiǎn)諧外激勵(lì)作用下，拉索32,33的1/2點(diǎn)發(fā)生了較大幅度的振動(dòng)，得到它們?cè)诶骶植孔鴺?biāo)系Y方向的振動(dòng)時(shí)程圖、頻譜圖如圖20所示。

圖20 拉索與主梁1/2點(diǎn)振動(dòng)時(shí)程圖、頻譜圖

根據(jù)圖20，從時(shí)程圖可以看出，拉索1/2點(diǎn)發(fā)生了大幅振動(dòng)，從頻譜圖可以看出，拉索的大幅振動(dòng)為1階振動(dòng)。所以，可以判斷拉索在端點(diǎn)位移激勵(lì)下發(fā)生了1階的2∶1參數(shù)共振。

得到拉索32的1/4點(diǎn)在拉索局部坐標(biāo)系Y方向的振動(dòng)時(shí)程圖、頻譜圖如圖21所示。

圖21 拉索32的1/4點(diǎn)的振動(dòng)時(shí)程圖、頻譜圖

根據(jù)圖21，可以看出拉索32的1/4點(diǎn)發(fā)生了較大大幅振動(dòng)，從頻譜圖可以看出振動(dòng)的主要較大響應(yīng)頻率約為0.83～0.86 Hz(本文認(rèn)為，頻率成分復(fù)雜應(yīng)當(dāng)是由于非線性振動(dòng)效應(yīng)造成)，接近拉索1階自振頻率的2倍，因此可以判斷拉索在頻率為0.86 Hz的端部簡(jiǎn)諧力作用索-梁相關(guān)振動(dòng)導(dǎo)致了拉索發(fā)生了較大幅度的2階的1∶1主共振。

對(duì)于拉索32，對(duì)照觀察圖20與圖21(拉索1/2點(diǎn)與1/4點(diǎn)大幅振動(dòng))，可以發(fā)現(xiàn)，拉索上同時(shí)發(fā)生了1階的2∶1參數(shù)共振與2階1∶1主共振。但由圖20可知，拉索1階的1∶1參數(shù)共振的振幅隨激勵(lì)時(shí)間增加較為緩慢(盡管外激勵(lì)條件較為理想，但拉索在約200 s時(shí)1/2點(diǎn)的振動(dòng)幅度才有較為明顯的增加)，而2階主共振的振幅隨簡(jiǎn)諧激勵(lì)持續(xù)時(shí)間迅速增大(拉索1/4點(diǎn)的振幅在約20 s內(nèi)達(dá)到了振幅峰值)。發(fā)生1∶1的2階主共振拉索為31,34，發(fā)生2∶1參數(shù)共振的拉索僅有拉索32與33。

綜上所述，可以判斷，對(duì)于斜拉橋跨中最長(zhǎng)拉索，在端點(diǎn)簡(jiǎn)諧激勵(lì)接近拉索1階自振頻率2倍時(shí)，拉索上會(huì)同時(shí)發(fā)生1階的2∶1參數(shù)共振與2階1∶1主共振，但2∶1參數(shù)共振相對(duì)不容易發(fā)生，拉索的大幅振動(dòng)以2階1∶1主共振為主，具體表現(xiàn)為：拉索1/4點(diǎn)的振幅隨激勵(lì)時(shí)間迅速增大，1/2點(diǎn)振幅隨時(shí)間增長(zhǎng)緩慢。因此，本文認(rèn)為，在實(shí)際大跨度斜拉橋的索-梁相關(guān)振動(dòng)分析中應(yīng)主要考慮拉索上發(fā)生的1∶1主共振(1階或n階)，可以不主要考慮2∶1參數(shù)共振的作用。

2.5 非跨中拉索的主共振與參數(shù)共振

選取斜拉橋中跨1/4點(diǎn)附近，拉索24作為考察對(duì)象。如圖22所示，在拉索24主梁上端點(diǎn)處(節(jié)點(diǎn)31)施加簡(jiǎn)諧力如圖22所示。

圖22 斜拉橋上的簡(jiǎn)諧力

計(jì)算已知拉索24的1階自振頻率為0.633 Hz。簡(jiǎn)諧激勵(lì)為P=P0sin(ωt)其中P0=-3.0×105N激勵(lì)頻率取為0.633 Hz，動(dòng)力時(shí)程計(jì)算時(shí)間步長(zhǎng)取0.05 s，計(jì)算6 000步。得各個(gè)拉索的1/2點(diǎn)在拉索局部坐標(biāo)系Y方向最大振幅如圖23所示。

圖23 外激勵(lì)作用下拉索的1/2點(diǎn)

由圖23可以看出，拉索24及其沿全橋分布與之頻率相近的拉索(拉索9,41,58)都發(fā)生了較大幅度的振動(dòng)。

得到拉索24、41的1/2點(diǎn)在拉索局部坐標(biāo)系Y方向的振動(dòng)時(shí)程圖、頻譜圖如圖24所示。

圖24 拉索24與41的1/2點(diǎn)振動(dòng)時(shí)程圖、頻譜圖

由圖24可以判斷，由于簡(jiǎn)諧激勵(lì)的頻率接近拉索24的1階自振頻率，拉索24及全橋與之頻率接近的拉索在主梁、橋塔的能量傳遞效應(yīng)下都發(fā)生較大幅度的1階的1∶1主共振。

為了考察拉索24是否可能發(fā)生的2∶1參數(shù)共振，將圖20中的簡(jiǎn)諧力頻率設(shè)置為1.266 Hz(拉索24的1階頻率的2倍)，計(jì)算得各個(gè)拉索的1/2點(diǎn)與1/4點(diǎn)在拉索局部坐標(biāo)系Y方向最大振幅如圖25所示。

(a) 各個(gè)拉索1/2點(diǎn)最大振幅

(b) 各個(gè)拉索的1/4點(diǎn)最大振幅

Fig.25 The largest amplitude of the 1/2 point and 1/4 point of the cables in the cable-stayed bridge under external excitation

從圖25中可以看出，在外激勵(lì)作用下各個(gè)拉索的1/2點(diǎn)與1/4點(diǎn)均未發(fā)生較大幅度的振動(dòng)。這說(shuō)明，由于遠(yuǎn)離跨中時(shí)，結(jié)構(gòu)剛度更大，結(jié)構(gòu)的非線性效應(yīng)更為明顯，較高頻率簡(jiǎn)諧外激勵(lì)造成的主梁振動(dòng)更小，阻尼對(duì)拉索大幅高頻率振動(dòng)的抑制作用更為明顯，索-梁相關(guān)振動(dòng)不容易導(dǎo)致拉索發(fā)生2∶1參數(shù)共振或1∶1主共振。

3 列車-橋梁耦合動(dòng)力作用下斜拉橋索-梁相關(guān)振動(dòng)特性

在第3節(jié)中，我們通過施加理論上的理想外部激勵(lì)討論了鐵路斜拉橋索-梁相關(guān)振動(dòng)達(dá)到大幅振動(dòng)(1∶1主共振，2∶1參數(shù)共振)的共振條件?？梢哉J(rèn)為，對(duì)于大跨度鐵路斜拉橋，在實(shí)際運(yùn)營(yíng)過程中，如果列車作用能達(dá)到或接近上述共振條件則會(huì)導(dǎo)致拉索發(fā)生較大幅度索-梁相關(guān)振動(dòng)。所以，這里使用拉索分段的全橋模型，通過車橋耦合振動(dòng)計(jì)算來(lái)考察橋梁是否會(huì)發(fā)生拉索大幅振動(dòng)的情況。

首先計(jì)算1列列車以90 km/h通過橋梁時(shí)，各個(gè)拉索1/2點(diǎn)的最大響應(yīng)如圖26所示。

圖26中可以看出，由于全橋?qū)ΨQ，所以拉索的最大響應(yīng)也是基本對(duì)稱的，最長(zhǎng)的拉索1和拉索32響應(yīng)最大。這里，提取跨中主梁1/2點(diǎn)、拉索1和拉索32的1/2點(diǎn)的列車過橋動(dòng)力時(shí)程計(jì)算結(jié)果如圖27所示。

從圖26與圖27都可以看出，列車以90 km/h速度通過橋梁沒有導(dǎo)致拉索大幅響應(yīng)。圖27中可以看出，列車通過橋梁的等效外激勵(lì)頻率也較低，本文認(rèn)為，列車作用更接近一個(gè)靜力過程。

圖26 列車作用下橋梁各個(gè)拉索1/2點(diǎn)最大響應(yīng)(v=90 km/h)

Fig.26 The largest amplitude of the 1/2 point and 1/4 point of the cables in the cable-stayed bridge by a train(v=90 km/h)

(a) 跨中1/2點(diǎn)節(jié)點(diǎn)振動(dòng)時(shí)程圖、頻譜圖

(b) 拉索1 的1/2點(diǎn)的振動(dòng)時(shí)程圖、頻譜圖

(c) 拉索32的1/2點(diǎn)振動(dòng)時(shí)程圖、頻譜圖

Fig.27 The time-history curve and spectrogram of 1/2 point main girder and the 1/2 points of cable No.32 and No.34

得到分別使用線性計(jì)算與非線性計(jì)算時(shí)，對(duì)于拉索32，一列列車過橋造成的拉索索力增量變化如圖28所示。

圖28中可以看出，使用線性與非線性動(dòng)力時(shí)程計(jì)算差別很小。這說(shuō)明對(duì)于大跨度鐵路斜拉橋，結(jié)構(gòu)較難進(jìn)入明顯的非線性動(dòng)力狀態(tài)，如圖9計(jì)算結(jié)果，主梁跨中達(dá)到1.5 m振幅時(shí)，才得到全橋明顯的非線性振動(dòng)狀態(tài)，因此，使用線性計(jì)算能提升計(jì)算速度也能得到滿足工程計(jì)算要求的結(jié)果。

天興洲大橋最多可以承受4列高速列車通過，為了得到較為極端情況下的結(jié)果，這里計(jì)算4列列車同時(shí)、同向行駛通過天興洲大橋(列車的車輛荷載按照規(guī)范折減)，且將列車的行駛速度設(shè)置為200 km/h，得到計(jì)算結(jié)果如圖29所示。

(b) 主梁跨中1/2點(diǎn)振動(dòng)時(shí)程圖、頻譜圖

(c) 拉索1振動(dòng)時(shí)程圖、頻譜圖

(d) 拉索32振動(dòng)時(shí)程圖、頻譜圖

Fig.29 Calculation results of vibration of the main girder and cable by four trains on same directions(v=+200 km/h)

由圖29可以看出，在較為極端的情況下，4輛列車以200 km/h速度同時(shí)通過天興洲大橋也未造成拉索大幅振動(dòng)。由于荷載較大，拉索1的最大振幅約為0.08 m，斜拉橋跨中1/2點(diǎn)振動(dòng)幅度約為0.16 m。

對(duì)照?qǐng)D9計(jì)算結(jié)果，也說(shuō)明全橋結(jié)構(gòu)在相對(duì)較小幅度的振動(dòng)狀態(tài)時(shí)，斜拉橋的受力狀態(tài)是接近線性的。列車過橋同樣接近一個(gè)靜力過程，橋梁、拉索的振動(dòng)頻率都較低?？紤]實(shí)際情況中不會(huì)出現(xiàn)4列列車同時(shí)以較高速度通過的情況，所以實(shí)際列車荷載作用下拉索與橋梁的振動(dòng)響應(yīng)幅值、頻率也應(yīng)當(dāng)是更小的。

計(jì)算雙車對(duì)開工況，正向行駛列車為圖4模型中從左到右行駛(v=+120 km/h)，逆向行駛車輛為從右到左(v=-90 km/h)，計(jì)算結(jié)果如圖30所示。

從圖30中可以看出，雙車對(duì)開導(dǎo)致的拉索最大響應(yīng)也較小，最大約0.04 m。32號(hào)拉索的振動(dòng)時(shí)程圖與單車過橋相比只是形狀與最大幅值有一定的變化，但無(wú)大幅振動(dòng)發(fā)生。

實(shí)際情況中單列車通過的情況最多，所以這里計(jì)算1列列車以不同速度(60 km/h～200 km/h)通過斜拉橋，拉索32的1/2點(diǎn)振動(dòng)時(shí)程圖如圖31所示。

圖31中，由于列車速度不同，所以X方向坐標(biāo)是第一輪對(duì)運(yùn)行距離，Y方向?yàn)椴煌俣热≈?，Z方向?yàn)槔?2的1/2點(diǎn)振動(dòng)位移。 從圖31可以看出，當(dāng)列車速度提高以后列車的等效動(dòng)力外激勵(lì)頻率有一定的提高，列車的動(dòng)力沖擊作用變大，拉索的振動(dòng)幅值有一定的增加，但總的來(lái)說(shuō)拉索的響應(yīng)幅值較小、頻率較低。

綜上所述，本文研究結(jié)果表明，對(duì)于大跨度重載鐵路斜拉橋，列車過橋更接近于一個(gè)靜力過程，橋梁不會(huì)進(jìn)入非線性振動(dòng)狀態(tài)，列車的動(dòng)力作用不會(huì)達(dá)到本文第4節(jié)研究中導(dǎo)致拉索大幅振動(dòng)的外激勵(lì)條件。

(a) 各個(gè)拉索最大響應(yīng)

(b) 主梁跨中1/2點(diǎn)振動(dòng)時(shí)程圖、頻譜圖

(c) 拉索32振動(dòng)時(shí)程圖、頻譜圖

圖30 雙車對(duì)開(v1=+120 km/h，v2=-90 km/h)主梁與拉索振動(dòng)計(jì)算結(jié)果

Fig.30 Calculation results of vibration of the main girder and cable by two trains on opposite directions(v1=+120 km/h,v2=-90 km/h)

(a) emf圖

(b) TIF圖

(c) bmp圖

圖31 不同列車速度下拉索32的1/2點(diǎn)位移響應(yīng)

Fig.31 The time-history curve of the 1/2 point of cable No.32 by a train at different speeds

4 結(jié) 論

本文通過建立算法與模型，針對(duì)天興洲大橋進(jìn)行了一系列的計(jì)算與分析，得到結(jié)論如下：

(1) 對(duì)于大跨度鐵路斜拉橋，正常運(yùn)營(yíng)較難使結(jié)構(gòu)進(jìn)入明顯的非線性振動(dòng)狀態(tài)。計(jì)算結(jié)果表明，全橋結(jié)構(gòu)主梁跨中振幅達(dá)到約1.5 m的時(shí)候才會(huì)進(jìn)入較為明顯的非線性振動(dòng)狀態(tài)，這個(gè)振幅數(shù)值對(duì)于全長(zhǎng)為1 100 m的大跨度斜拉橋系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，是弱非線性振動(dòng)狀態(tài)，但橋梁實(shí)際運(yùn)營(yíng)過程中顯然不會(huì)出現(xiàn)1.5 m的振動(dòng)幅度，所以使用線性動(dòng)力時(shí)程積分計(jì)算結(jié)構(gòu)在正常使用狀態(tài)下的動(dòng)力響應(yīng)結(jié)果也是可靠的。

(2) 斜拉橋中索與梁振動(dòng)的“相關(guān)”特性實(shí)際上是一個(gè)能量傳遞的過程。當(dāng)斜拉橋上存在導(dǎo)致大幅索-梁相關(guān)振動(dòng)的外激勵(lì)時(shí)，外激勵(lì)對(duì)斜拉橋系統(tǒng)注入能量，而能量通過主梁、橋塔傳遞到拉索上。具體的現(xiàn)象為：全橋結(jié)構(gòu)振動(dòng)時(shí)發(fā)生的索-梁相關(guān)振動(dòng)導(dǎo)致某根拉索發(fā)生共振時(shí)，沿全橋分布的與之頻率接近的拉索也會(huì)發(fā)生較大幅度振動(dòng)，這種非線性振動(dòng)類型通常為1∶1主共振，2∶1參數(shù)共振不容易發(fā)生。

(3) 當(dāng)外激勵(lì)作用位置在主梁上某拉索端點(diǎn)附近，激勵(lì)頻率與拉索1階自振頻率值接近2∶1的關(guān)系時(shí)，拉索容易發(fā)生2階的1∶1主共振(短時(shí)間內(nèi)振幅達(dá)到峰值)，而1階2∶1參數(shù)共振不容易發(fā)生，但當(dāng)激勵(lì)持續(xù)時(shí)間較長(zhǎng)時(shí)，拉索上2階主共振與1階參數(shù)共振可能同時(shí)發(fā)生。因此，在實(shí)際大跨度斜拉橋的分析中，可以只考慮拉索在索-梁相關(guān)振動(dòng)作用下發(fā)生的1∶1主共振，不需考慮2∶1參數(shù)共振。

(4) 保持外激勵(lì)幅值不變，外激勵(lì)頻率越高，激勵(lì)位置越遠(yuǎn)離跨中、靠近橋塔，外激勵(lì)越不容易使索-梁相關(guān)振動(dòng)導(dǎo)致拉索發(fā)生大幅振動(dòng)。因此，在實(shí)際分析中應(yīng)當(dāng)主要關(guān)注大跨度斜拉橋中跨和邊跨最長(zhǎng)拉索的索-梁相關(guān)振動(dòng)情況。

(5) 研究表明，在一般情況下，列車對(duì)大跨度鐵路斜拉橋的作用更接近一個(gè)靜力過程，不會(huì)達(dá)到拉索大幅索-梁相關(guān)振動(dòng)的外部激勵(lì)條件(1∶1主共振、2∶1參數(shù)共振)。這說(shuō)明，重載大跨度鐵路斜拉橋由于其本身設(shè)計(jì)剛度較大，結(jié)構(gòu)質(zhì)量以及規(guī)模較大，列車不會(huì)導(dǎo)致斜拉橋發(fā)生大幅度的非線性索-梁相關(guān)振動(dòng)。