弱單投射半模

曾慧平，張傳美，劉浩廣

(南昌航空大學(xué) 科技學(xué)院，江西 南昌 330034)

在對(duì)半環(huán)理論的半模研究工作中，國內(nèi)外專家學(xué)者都嘗試用模論的研究方法，將模的性質(zhì)推廣到半模中.但受半環(huán)與半模自身的條件限制及半模與模差異的制約，推廣工作并不順利.文獻(xiàn)[1-3]研究了條件較弱的投射半模，如投射半模、k-投射半模和平坦半模.此外，如偽k-投射半模[4]、擬主k-投射半模[5]、偽投射半模[6]等一系列關(guān)于投射半模的研究都試圖保留環(huán)上投射模的較好性質(zhì),這些研究成果極大地推動(dòng)了半模理論的發(fā)展.論文進(jìn)一步放寬投射半模的條件，引入弱投射半模的概念，盡可能地保留了投射模中的相關(guān)結(jié)論，研究了弱單投射半模的同調(diào)性質(zhì).證得：若P是正則半模，則P是弱擬單投射半模當(dāng)且僅當(dāng)P是投射半模.此外，論文還定義了弱擬單投射半模，給出完全可減、加法可消半環(huán)R上弱擬單投射半模的兩個(gè)等價(jià)條件.

定義1[1]對(duì)給定的半模P，若g:M→N是任意半模滿同態(tài)，對(duì)任意半模同態(tài)f:P→N，存在同態(tài)h:P→M，使得gh=f，則稱P是投射半模.

定義2[1]設(shè)f:M→N是半模同態(tài)，記Kerf={m∈M|f(m)=0}，f(M)= {f(m)|m∈M}，Imf={n∈N|n+f(m)=f(m′),?m,m′∈M}.若Imf=f(M)，則稱f是i-正則的；若對(duì)m,m′∈M,滿足f(m)=f(m′)，必存在k,k′∈Kerf，使得m+k=m′+k′，則稱f是k-正則的．

若序列

(1)

圖1 非水平同態(tài)交換圖

定義3[7]稱左R-半模M的子半模N是可減的當(dāng)且僅當(dāng)若m+m′∈N，其中m∈N，則有m′∈N,?m,m′∈M.稱M是完全可減半模若M的任意子半模都可減．文中其他未提及的概念同文獻(xiàn)[1-12]一致.

1 弱單投射半模

定義4[7]設(shè)N是M的子半模，若N只有平凡子半模，則稱N是M的單子半模.

定義5設(shè)g:M→A是半模同態(tài)，若Kerg是M的可減單子半模，則稱g是飽和同態(tài).

定義6對(duì)給定的半模M、P，若任意k-正則飽和滿同態(tài)g:M→N及半模同態(tài)h:P→N，存在同態(tài)γ:P→M，使得gγ=h，則稱P是相對(duì)M的弱單投射半模，也可稱P是M-弱單投射的.若對(duì)任意半模M，P是M-弱單投射的，則稱P是弱單投射半模.

定理2已知M和P均為半模，則下列論述等價(jià)：

(1)P是M-弱單投射的；

也是短真正合列，其中f是i-正則單同態(tài)，g是k-正則飽和滿同態(tài)，g*(α)=gα；

(3)L是半模M的任意可減單子半模,對(duì)任意同態(tài)α∈HomR(P,M/L)，存在γ∈HomR(P,M)，滿足α=πγ，其中π是自然滿同態(tài).

(3) ?(1).設(shè)g:M→N是k-正則飽和滿同態(tài).?f∈HomR(P,N) ，取L=Kerg及自然滿射π:M→M/L，顯然π也是k-正則飽和滿同態(tài).由文獻(xiàn)[8]中推論2知，存在半模同構(gòu)h:N→M/L，使得π=hg.取hf:P→M/L，由(3)知，存在γ:P→M,使得hf=πγ=hgγ，即f=gγ.證畢.

推論1已知P為半模，則下列論述等價(jià)：

(1)P是弱單投射半模；

也是短真正合列，其中f是i-正則單同態(tài)，g是k-正則飽和滿同態(tài)，g*(α)=αg；

(3)M是任意半模且N是M的任意可減子半模，對(duì)任意同態(tài)α:P→M/L，存在h∈HomR(P,M),滿足α=πh.

定理3若N是A-弱單投射的，B為A的可減子半模，則N是B-弱單投射的.

證明設(shè)X是B的任意可減單子半模，任意半模同態(tài)f:N→B/X.圖2為可減半模交換圖.如圖2所示，記π1，π2是自然滿同態(tài)，i1，i2是自然單同態(tài)，i2π1=π2i1顯然成立.因?yàn)镹是A-弱單投射的，故存在h:N→A，滿足i2f=π2h.?n∈N，因?yàn)棣?為滿同態(tài)，故存在b∈B，使得π1(b)=f(n)，有

π2h(n)=i2f(n)=i2π1(b)=π2i1(b).

(*)

定理4設(shè)(Pk)k∈Λ為半模族，則⊕k∈ΛPk是M-弱單投射的當(dāng)且僅當(dāng)Pk(?k∈Λ)是M-弱單投射的(證明過程同文獻(xiàn)[7]一致).

推論2(Pk)k∈Λ為半模族，則⊕k∈ΛPk是弱單投射的當(dāng)且僅當(dāng)Pk(?k∈Λ)是弱單投射的.

定理5已知P是投射半模.若P的商半模均是內(nèi)射的，則P的任意子半模是P-弱單投射的.

證明設(shè)K是P的任意子半模.圖3為商半模交換圖.如圖3所示，i，π分別表示自然單射和自然滿射，X是P的任意可減單子半模.?f∈HomR(K,P/X)，因P/X是內(nèi)射的，則有γ∈HomR(P,P/X)，滿足f=γi.又因P是投射的，故存在h∈EndR(P)，滿足γ=πh，即有f=γi=πhi.取g=hi:K→P，可得K是P-弱單投射的.

圖2 可減半模交換圖 圖3 商半模交換圖

也是真正合列.

是短真正合列.

定義η:M/Kerg→U為η(m/Kerg)=g(m).若η(m1/Kerg)=η(m2/Kerg)，則g(m1) =g(m2).因g是k-正則同態(tài)，故m1+k1=m2+k2，?k1、k2∈Kerg，有m1/Kerg=m2/Kerg，即得η是單同態(tài).圖4為同調(diào)非水平交換圖.

圖4 同調(diào)非水平交換圖

現(xiàn)考慮圖4,其中φ*(ξ)=φξ，η*(γ)=ηγ，ξ∈HomR(P,L),γ∈HomR(P,M/Kerg).若η*(ζ)=η*(γ)，ζ,γ∈HomR(P,M/Kerg)，即ηζ=ηγ.由η是單同態(tài)可得ζ=γ，即η*也是單同態(tài)，得非水平序列

是真正合列.

綜上所述，由定理1可得，序列

是真正合列.

定義7稱P是wk-正則的，若存在一個(gè)自由半模F和k-正則飽和滿同態(tài)f:F→P.顯然wk-正則半模必是k-正則半模.

定理7設(shè)P是wk-正則的，下列論述等價(jià)：

(1)P是弱單投射的半模；

(2)P是投射半模.

(2)?(1).顯然成立.

2 弱擬單投射半模

定義8若P是相對(duì)P的弱單投射半模，則稱P是弱擬單投射半模.

引理1[9]若R是完全可減半環(huán)，則R的任意非零自由半模F是完全可減的且任意k-正則半模是完全可減的.反之，若非零自由半模F是完全可減的，則R是完全可減的.

定理9設(shè)R是加法可消、完全可減半環(huán)，P是wk-正則的，則下列等價(jià)：

(1)P是弱擬單投射的；

(3) 存在自由半模F與半模K，滿足F?K⊕P.

證明(1)?(2).由引理1直接可得.

若η(m,p)=η(m1,p1)，即m+γ(p)=m1+γ(p1)，則有β(m)+βγ(p)=βm1+βγ(p1)，可得βγ(p)=βγ(p1).又由βγ=IP，可得p=p1，即m+γ(p)=m1+γ(p).由于R是加法可消半環(huán)，由文獻(xiàn)[9]中定理1.11可知，F(xiàn)也是加法可消，因此m=m1.證得η是單的.

?a∈F，則βη(0,β(a))=β(0+γβ(a))=βγ(β(a))=β(a).由于β是k-正則的，則a+m1=η(0,β(a))+m2，其中m1,m2∈M=Kerβ，顯然有a+η(m1,0)=η(0,β(a))+η(m2,0).因?yàn)镽是完全可減的，故F也是完全可減的，從而η(M⊕P)是可減的，可知a∈η(M⊕P)，即證η是滿同態(tài).證得η是同構(gòu).

(3)?(1). 設(shè)α:F?K⊕P→P是合成同態(tài)，其中第二個(gè)映射是自然投射，β:P→K⊕P?F是合成同態(tài)，其中第一個(gè)映 射是自然入射.圖5為自由半模交換圖.如圖5所示，對(duì)任意k-正則飽和滿同態(tài)f:P→M及任意同態(tài)g:P→M，由于F是投射半模，顯然也是弱單投射半模，因此存在γ1:F→P，使得fγ1=gα.取γ=γ1β:P→P，則有fγ=fγ1β=(gα)β=gIP=g，故P是弱擬單投射半模.證畢.

圖5 自由半模交換圖