兩道分點(diǎn)線三角形面積競(jìng)賽題的推廣

(常熟理工學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,江蘇 常熟 215500)(常熟外國(guó)語(yǔ)學(xué)校,江蘇 常熟 215500)

2018年青少年數(shù)學(xué)國(guó)際城市邀請(qǐng)賽和2001年普特南數(shù)學(xué)競(jìng)賽中有兩道求面積的競(jìng)賽題，都涉及到分點(diǎn)線三角形[1-2].三角形頂點(diǎn)與對(duì)邊分點(diǎn)的連線稱(chēng)為三角形的分點(diǎn)線，由三角形3條分點(diǎn)線圍成的三角形稱(chēng)為分點(diǎn)線三角形.筆者在題目給定的條件下解出了答案，接著考慮削弱條件后，看看能有什么結(jié)論，并把問(wèn)題推廣到一般情況.

圖1

例1一個(gè)三角形被分割成4個(gè)小三角形與3個(gè)四邊形，如圖1所示，每個(gè)小三角形的面積都為1 cm2.請(qǐng)問(wèn)四邊形CA0C0A1的面積為多少cm2?

(2018年青少年數(shù)學(xué)國(guó)際城市邀請(qǐng)賽隊(duì)際賽第8題)

解聯(lián)結(jié)AA0，C1C0.由S△AB0C1=S△A0B0C0，得S△AC1A0=S△AC0A0，從而

C1C0∥AA0，

同理可得

B1B0∥CC0，A1A0∥BB0,

設(shè)點(diǎn)A1,B1,C1分別內(nèi)分線段BC,CA,AB所成的比為正數(shù)a,b,c,則上面3個(gè)式子變?yōu)?/p>

消去b,c得

a2+a-1=0，

故3個(gè)四邊形面積都相等.設(shè)四邊形CA0C0A1的面積為xcm2，則

解答本題后再進(jìn)一步思考，如果在條件中除去小△A0B0C0，而其余3個(gè)小三角形的面積相等，又會(huì)有怎樣的結(jié)果呢？

例2如圖1所示,在△ABC中，設(shè)點(diǎn)A1,B1,C1分別內(nèi)分線段BC,CA,AB所成的比為正數(shù)a,b,c，△ABC的面積為Scm2，AA1,BB1,CC1圍成△A0B0C0，當(dāng)△AB1C1，△BA1C1，△CB1A1的面積相等時(shí)，求△A0B0C0的面積.

解△ABA1被直線C1B0C所截，由梅涅勞斯定理得

由3個(gè)小三角形等積，得連等式

這兩個(gè)連等式是關(guān)于字母a,b,c的輪換對(duì)稱(chēng)式，因此猜想連等式成立時(shí)，有a=b=c.

下面用反證法證明這一結(jié)論：假設(shè)a≥b≥c(兩個(gè)等號(hào)不同時(shí)成立，下同)，由a,b,c為正數(shù)知

綜上所知，當(dāng)3個(gè)小三角形等積時(shí)，a=b=c.

又S△A0B0C0=S-S△ABC0-S△BCA0-S△CAB0，經(jīng)過(guò)運(yùn)算得

圖2

例3如圖2所示，已知△ABC的面積為1，點(diǎn)E,F,G分別在邊BC,CA,AB上，AE平分線段BF于點(diǎn)R，BF平分線段CG于點(diǎn)S，CG平分線段AE于點(diǎn)T，求△RST的面積.

(第62屆普特南數(shù)學(xué)競(jìng)賽A-4題)

λ1λ2+λ1+1=λ2λ3+λ2+1=λ3λ1+λ3+1=2,

本題通過(guò)設(shè)三角形各邊上的點(diǎn)得到邊所分成的比，再利用已知的中點(diǎn)條件代入，求出這些比值，從而計(jì)算出所求三角形的面積.可以考慮如果R分BF，S分CG，T分AE所成的比是任意比，并且各不相同，那么如何算出△RST的面積呢？下面來(lái)探究這個(gè)問(wèn)題.

解與前面例3的過(guò)程相同，在△BCF中，由梅涅勞斯定理可得t1=λ1(1+λ2)，同理可得

t2=λ2(1+λ3)，t3=λ3(1+λ1).

解方程組

(4)

當(dāng)上式的根號(hào)前取負(fù)號(hào)時(shí)，λ1為負(fù)數(shù)，不符合題意故舍去.同理可得

將解方程得到的λ1,λ2,λ3的值代入上式，即可求得△RST的面積.