數(shù)學閱讀：核心素養(yǎng)發(fā)展與測評的影響因素
——兼評2019年全國數(shù)學高考卷Ⅰ理科試題

(浙江師范大學教師教育學院，浙江 金華 321004)(舞陽縣第一高級中學，河南 舞陽 462400)

閱讀是人類汲取知識的主要手段和認識世界的重要途徑，與學生的數(shù)學學習密不可分.數(shù)學閱讀作為數(shù)學學習的一項基本技能，被明確寫在《義務教育數(shù)學課程標準(2011年版)》與《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版)》中.“閱讀自學”是學生多樣化學習方式之一.近幾年來，數(shù)學閱讀在高考中得到了更大的重視，也被提出了更高的要求[1]，這在核心素養(yǎng)時代將會變得更為突出[2].但鮮有研究直接探討數(shù)學閱讀與數(shù)學核心素養(yǎng)之間的關系，而這或將成為紙筆測試背景下數(shù)學核心素養(yǎng)測評的一個理論與現(xiàn)實問題.在此方面，一項以2018年全國數(shù)學高考卷Ⅰ理科試題為例，分析高考中數(shù)學核心素養(yǎng)考查情況的研究[3]，從側面表明了高考數(shù)學試題的語言表述與情境描述會影響數(shù)學核心素養(yǎng)的測評結果，由此間接指出數(shù)學閱讀可能會對數(shù)學核心素養(yǎng)測評產生影響.為此，本研究在基于心理學的視角厘清數(shù)學閱讀內涵的基礎上，嘗試探討數(shù)學閱讀與數(shù)學核心素養(yǎng)的發(fā)展與測評之間的關系.

1 數(shù)學閱讀的內涵

國內外學者分別從特征與心理過程等方面，對數(shù)學閱讀進行了深入的論述．貝爾指出了數(shù)學閱讀的一般性要求：精確、條理、靈活和精力集中[4]．邵光華進一步認為，數(shù)學閱讀需要較強的邏輯思維能力，其過程往往是讀寫相結合，并蘊含著頻繁的語意轉換與靈活的思維[5].喻平從心理學的角度認為，數(shù)學閱讀的心理過程包括內化、理解、推理與反省這4個階段[6]．楊紅萍具體考察了數(shù)學文本閱讀，指出其包含3個基本的認知心理過程：對字符(文字、符號與圖形的總稱)進行正確編碼，對文字、符號、圖形3種語言進行正確轉譯，并且能夠對文本進行綜合理解[7].

在學校數(shù)學背景下，依據(jù)閱讀內容的不同，數(shù)學閱讀一般可分為對教材的閱讀，問題解決中對題目也即給定的問題情境的閱讀，以及對課外數(shù)學材料的閱讀.無論是哪一種類型，閱讀材料中的信息特征與性質在一定程度上影響著數(shù)學閱讀的心理過程.具體而言，由于信息的顯現(xiàn)方式、飽和程度與呈現(xiàn)方式都可能會存在一些差異，或外顯或內蘊，或冗余、適中抑或缺失，或表征為文字、圖表抑或符號，因而數(shù)學閱讀需要個體將內蘊的信息變?yōu)橥怙@的，將冗余的信息篩選出來加以剔除，增添缺失的信息，進行表征之間的合理轉換，最終將信息轉化為最佳的心理表征.這一過程涉及到個體的選擇性編碼與語言轉譯兩個心理加工過程.當然，對閱讀材料的理解，要經過從局部到整體的精加工過程.另外，由于閱讀材料包含大量的概念、命題、法則、數(shù)學思想方法，以及從已知到未知的困境，這些內容都蘊含著大量的推理.要達到對閱讀材料的理解，就必須對推理的依據(jù)、方法和過程等有清楚的理解，因而，數(shù)學閱讀也是一個推理的過程.最后，在整個閱讀過程中，存在一種獨特的心理過程——元閱讀，它對整個過程進行必要的評估、監(jiān)控與調整.

據(jù)此可知，數(shù)學閱讀的心理過程具體包括選擇性編碼、語言轉譯、數(shù)學理解、邏輯推理與元閱讀共5個階段.數(shù)學閱讀能力則可看成是由編碼、轉譯、理解、推理與元閱讀等5個子能力復合而成的一種綜合能力.

2 數(shù)學閱讀指向學生數(shù)學核心素養(yǎng)的發(fā)展

數(shù)學閱讀是培養(yǎng)學生數(shù)學核心素養(yǎng)的重要途徑.這主要體現(xiàn)在學生通過對教科書的閱讀、問題解決中對題目的閱讀以及對課外數(shù)學材料的閱讀，不斷運用數(shù)學的眼光看待世界，運用數(shù)學的思維思考世界，以及運用數(shù)學的語言表達世界.

首先，對教材的閱讀是這一培養(yǎng)途徑的基礎.在學校數(shù)學中，教材是數(shù)學知識最為重要的來源與載體，對教材的閱讀,主要目的在于知識的建構.這不僅要求讀懂教材中的數(shù)學知識的字面意思，更要深入其中，明了這些知識產生、發(fā)展、形成的過程，理解它們在數(shù)學知識結構、體系中的地位和作用.這一過程自然會促使學生結合自己的生活、數(shù)學與經驗世界，從不同的視角認識數(shù)學對象，在此基礎上不斷地進行假設、預測、檢驗、推理、想象,不斷地通過觀察、比較、分析、綜合、抽象和概括等數(shù)學活動[8]，從而形成出知識的發(fā)展脈絡，并借助數(shù)學的語言進行符號化的表述.由此可知，通過教材文本的閱讀獲得數(shù)學知識，為學生的數(shù)學學習和數(shù)學核心素養(yǎng)的發(fā)展夯實了基礎.

其次，問題解決中對題目的閱讀是這一培養(yǎng)途徑的核心.在學校數(shù)學中，問題解決是數(shù)學的核心.對問題解決中題目的閱讀,重在知識的理解、掌握和應用.它不僅要求能夠識別題目中的關鍵信息，準確把握其確切的含義，厘清題目蘊含的各種數(shù)量關系、圖表信息與空間形式，也需要尋找已知通向未知或未知回溯到已知的可能路徑，還需要將發(fā)現(xiàn)的數(shù)學模式應用到現(xiàn)實世界中去解決實際問題.這一過程促進學生運用數(shù)學的語言準確刻畫現(xiàn)實世界與數(shù)學世界，借助數(shù)學的眼光和數(shù)學的思維廓清關系、探明解題的方向與思路的核心.

再次，對課外數(shù)學材料的閱讀是這一培養(yǎng)途徑的有機補充.課外閱讀就是從生活和學生感興趣的角度出發(fā)，讓數(shù)學知識走進學生的視野，鞏固課內知識，拓寬知識面，建立數(shù)學與其內部、數(shù)學內部與外部之間的聯(lián)系.因此，適當?shù)恼n外數(shù)學材料的閱讀對于學生開闊數(shù)學視野、豐富數(shù)學語言、優(yōu)化數(shù)學思維都有積極的補充作用.

3 數(shù)學閱讀影響數(shù)學核心素養(yǎng)的測評

數(shù)學閱讀是數(shù)學核心素養(yǎng)測評的重要影響因素.這不僅因為數(shù)學閱讀是培養(yǎng)學生數(shù)學核心素養(yǎng)的重要途徑，還與核心素養(yǎng)的測評方式有關.數(shù)學核心素養(yǎng)的測評主要是基于問題解決的過程與結果，而問題的解決離不開個體從問題情境中提取與組織信息，也即割舍不掉數(shù)學閱讀.以下分別從數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、數(shù)學運算、直觀想象和數(shù)據(jù)分析等6個數(shù)學核心素養(yǎng)的測評特征進行闡述，輔以2019年全國數(shù)學高考卷Ⅰ理科試題加以說明．

3.1 數(shù)學閱讀與數(shù)學抽象測評

數(shù)學閱讀對數(shù)學抽象素養(yǎng)測評的影響，與數(shù)學抽象的類型有關.數(shù)學抽象包含以下3種類型：第一種是指舍去事物的物理屬性，提取數(shù)學研究對象的思維過程；第二種是弱抽象，即從一個概念或命題本身出發(fā)，采用減小內涵的方式得到概括程度更高的概念或命題，使前者成為后者的特例；第三種是強抽象，與第二種抽象方式正好相反[9].

這3種類型的數(shù)學抽象，所依據(jù)的數(shù)學閱讀心理過程各有偏重.第一種抽象類型的測評環(huán)境是蘊含事物現(xiàn)實原型的具體背景，個體需要從數(shù)量或圖形性質角度進行選擇性編碼，運用邏輯推理抽象出一般規(guī)律或結構，并且選用恰當?shù)臄?shù)學符號、術語進行描述.第二、三種抽象類型的測評環(huán)境是一個或多個概念或命題，個體需要在數(shù)學理解的基礎上對選擇性編碼或語言轉譯的特定對象進行演繹推理(或合情推理)，減小(擴大)內涵而得到概括性高(低)的概念或命題.接下來以第15題為例，具體分析和探討數(shù)學閱讀對第一種抽象素養(yǎng)測評的影響．

例1甲、乙兩隊進行籃球決賽，采取七場四勝制(當一隊贏得四場勝利時，該隊獲勝，決賽結束).根據(jù)前期比賽成績，甲隊的主客場安排依次為“主主客客主客主”.設甲隊主場取勝的概率為0.6，客場取勝的概率為0.5，且各場比賽結果互相獨立，則甲隊以4∶ 1獲勝的概率是______.

(2019年全國數(shù)學高考卷Ⅰ理科試題第15題)

3.2 數(shù)學閱讀與邏輯推理測評

數(shù)學閱讀對邏輯推理素養(yǎng)測評的影響，是指數(shù)學閱讀是進行邏輯推理的前提條件和基礎.具體而言，邏輯推理是指從一些事實和命題出發(fā)，依據(jù)規(guī)則推出其他命題的素養(yǎng)[9]，對于推理起點的事實和命題的確定、理解，以及對于推理規(guī)則的把握和有效利用，都離不開數(shù)學閱讀的選擇性編碼、語言轉換和數(shù)學理解，甚至元閱讀等心理過程.由于邏輯推理主要包括合情推理(歸納推理和類比推理)和演繹推理兩類，前者是從特殊到一般，或者從特殊到特殊的推理；后者是從一般到特殊的推理．接下來，以第18題第1)小題為例，對數(shù)學閱讀對演繹推理素養(yǎng)測評的影響進行分析．

圖1

例2如圖1，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底邊是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E,M,N分別是BC，BB1，A1D的中點.

1)證明：MN∥平面C1DE;

2)略.

(2019年全國數(shù)學高考卷Ⅰ理科試題第18題)

這是一道關于線面平行的證明題.由線面平行的判定定理可知，需要在平面C1DE內選出或做出一條與MN平行的直線.該直線可能是DE，為了確認，需要證明直線MN與DE確定的四邊形MNDE為平行四邊形，也即MEND.又因為點E，M，N分別是BC，BB1，A1D的中點，所以只需證明B1CA1D.上述推理過程依次對應于選擇性編碼、數(shù)學理解和多次的語言轉譯等數(shù)學閱讀過程，這每一個心理過程的順利完成為演繹推理的有序進行提供了保障.

3.3 數(shù)學閱讀與數(shù)學運算測評

數(shù)學閱讀對數(shù)學運算素養(yǎng)測評的影響，不僅體現(xiàn)在對運算對象的理解與運算法則的把握上，也表現(xiàn)在通過邏輯推理和元閱讀方式對運算方向的探明和運算方法的選擇上，從而有利于運算呈現(xiàn)的設計.研究發(fā)現(xiàn)，2019年全國數(shù)學高考卷Ⅰ理科試題中的許多試題都體現(xiàn)了數(shù)學閱讀對數(shù)學運算素養(yǎng)測評的影響，下面以第20題第1)小題為例進行分析．需要特別說明的是，該題作為一道綜合題，主要測試學生的數(shù)學運算、邏輯推理、直觀想象等數(shù)學核心素養(yǎng)，這里側重于對數(shù)學運算素養(yǎng)測評影響的闡述.

例3已知函數(shù)f(x)=sinx-ln(1+x)，f′(x)為f(x)的導數(shù).證明：

2)略.

(2019年全國數(shù)學高考卷Ⅰ理科試題第20題)

通過對解題目標進行數(shù)學理解和邏輯推理，可知該題屬于函數(shù)的極值點問題——極值點存在性與唯一性的判定.借助元閱讀可進一步確定：本題直接的運算對象是函數(shù)f′(x)，運算方向是對f′(x)的單調性——先增后減性質的判斷，運算方法是求導法；實際上，間接的運算對象是f″(x)，運算方向是對f″(x)的取值符號進行判斷，運算方法是對函數(shù)f(x)進行二階求導.

3.4 數(shù)學閱讀與直觀想象測評

數(shù)學閱讀對直觀想象素養(yǎng)測評的影響，主要作用于以數(shù)量關系為外在表征、而內蘊幾何特征的對象之上，具體表現(xiàn)在對其數(shù)量關系的有效提取，并將這種關系合理轉換為空間形式的過程之中.直觀想象是指學習者能夠借助圖形、圖像或實物來感知對象的形態(tài)，由此理解問題和解決問題[9].這意味著直觀想象的初始對象雖然被描述成“數(shù)”的語言，但卻具有“形”的特性，可以在數(shù)與形之間實施有效的轉換.數(shù)學閱讀就是通過選擇性編碼，捕捉到數(shù)學問題中可被直觀想象的對象，圍繞這些對象將此數(shù)學問題描述成圖形語言，由此借助數(shù)與形的聯(lián)系來理解問題，從而幫助構建數(shù)學問題的直觀模型去理解問題和探索解決問題的思路，實現(xiàn)直觀想象素養(yǎng)的測評.下面以第7題為例，例證數(shù)學閱讀對直觀想象素養(yǎng)測評的影響.

例4已知非零向量a,b滿足|a|=2|b|，且(a-b)⊥b，則a與b的夾角為

( )

(2019年全國數(shù)學高考卷Ⅰ理科試題第7題)

圖2

本題涉及的運算對象是向量，兼具數(shù)與形雙重特征.無論是已知條件中向量的長度關系與位置關系，還是未知向量的夾角，都可從這兩個方面加以考量.為此，可將已知條件中的向量語言轉化為圖形語言，如圖2,在Rt△ABO中，OA=2OB，從而∠OAB=30°，于是a與b的夾角∠AOB=60°.由此可知，能否將本題中的向量語言轉譯為圖形語言，進而建構問題的直觀模型，會影響到本題的解答速度和直觀想象素養(yǎng)的測評.

3.5 數(shù)學閱讀與數(shù)學建模、數(shù)據(jù)分析的測評

首先，數(shù)學閱讀對數(shù)學建模素養(yǎng)測評的影響，具體體現(xiàn)在建模過程的各個階段.首先，選擇性編碼、語言轉譯、數(shù)學理解與元閱讀等心理過程會影響學習者從實際情境中發(fā)現(xiàn)、提出、分析問題與建立數(shù)學模型.其次，邏輯推理和語言轉譯會影響運算求解和數(shù)學答案的獲得.最后，語言轉譯、數(shù)學理解與元閱讀等會影響到模型的檢驗與改進、實際問題的解決.數(shù)學閱讀對數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)測評的影響，與數(shù)據(jù)分析的對象及其過程的特性有關.在數(shù)據(jù)分析過程中，個體需要從收集到的數(shù)據(jù)中獲得信息，也即對數(shù)據(jù)進行選擇性編碼，然后對文字、圖形或表格中的數(shù)據(jù)進行轉譯描述，并選用恰當?shù)哪Ｐ蛯?shù)據(jù)進行分析，選用恰當?shù)姆椒ń獯疬@個模型，從而解釋數(shù)據(jù)的現(xiàn)實意義.這一個過程還會涉及數(shù)學理解，甚至邏輯推理和元閱讀的參與.下面以第21題第2)小題為例，綜合分析數(shù)學閱讀對數(shù)學建模、數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)測評的影響．

例5為治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進行動物試驗.試驗方案如下：每一輪選取兩只白鼠對藥效進行對比試驗.對于兩只白鼠，隨機選一只施以甲藥，另一種施以乙藥.一輪的治療結果得出后，再安排下一輪試驗.當其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時，就停止試驗，并認為治愈只數(shù)多的藥更有效.為了方便描述問題，約定：對于每輪試驗，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得-1分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得-1分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分.甲、乙兩種藥的治愈率分別記為α和β，一輪試驗中甲藥的得分記為X.

1)略；

2)若甲藥、乙藥在試驗開始時都賦予4分，pi(其中i=0,1,…,8)表示“甲藥的累計得分為i時，最終認為甲藥比乙藥更有效”的概率，則

p0=0，p8=1，

pi=api-1+bpi+cpi+1(其中i=1,2,…,7)，

且a=P(X=-1)，b=P(X=0)，c=P(X=1).假設α=0.5，β=0.8.

①證明{pi+1-pi}(其中i=0,1,…,7)為等比數(shù)列；

②求p4，并根據(jù)p4的值解釋這種試驗方案的合理性.

(2019年全國數(shù)學高考卷Ⅰ理科試題第21題)

全國數(shù)學高考卷首次將概率與統(tǒng)計題后移至壓軸題位置，并將其與等比數(shù)列知識融合在一起，綜合考查了學生的數(shù)學建模、數(shù)據(jù)分析等素養(yǎng).但該試題為了降低難度，并沒有讓學生從數(shù)學的角度提出“合理的動物試驗方案”模型，而是間接給出了等比數(shù)列模型，由學生通過邏輯推理進行嚴格證明.

①證明由第1)小題及α=0.5，β=0.8可知

a=P(X=-1)=0.4，b=P(X=0)=0.5，c=0.1，

從而

pi=0.4pi-1+0.1pi+1+0.5pi，

即

5pi=4pi-1+pi+1，

則

pi+1-pi=4(pi-pi-1).

易知p1-p0≠0，從而{pi+1-pi}是以4為公比、p1-p0為首項的等比數(shù)列.

上述證明過程能否順利完成，又取決于學生能否從題目中提取出“兩種藥物的試驗是相互獨立的”等與變量X有關的有效信息，以及能否準確理解分布列的概念有關.

為了對試驗方案的合理性做出解釋，首先需要求出p4的值.基于對p4與數(shù)列{pi+1-pi}關系的理解和已知條件p0=0的確認，可推斷出需要首先求出p4-p0的值.具體運算過程如下：

②解由第①小題知

由p0=0,得

同理可得