概率聯(lián)袂特征根 壓軸添別樣風(fēng)景
——全國(guó)數(shù)學(xué)高考卷Ⅰ理科第21題的教材之源與競(jìng)賽之流

(單縣第一中學(xué)，山東 單縣 274300) (昌邑市教研室，山東 昌邑 261300)

2019年全國(guó)數(shù)學(xué)高考卷Ⅰ理科試題凸顯學(xué)科素養(yǎng)導(dǎo)向，兼顧基礎(chǔ)性和創(chuàng)新性；確保試卷整體難度適當(dāng)增加，關(guān)注新教材的變化與銜接，融入數(shù)學(xué)文化與審美教育，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)應(yīng)用.第21題強(qiáng)化概率實(shí)際應(yīng)用，重視對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)、理性思維、邏輯推理和數(shù)學(xué)閱讀能力的考查，兼顧對(duì)信息獲取、分析與知識(shí)綜合應(yīng)用能力的測(cè)評(píng)；試題降低數(shù)據(jù)整理要求且增加了開(kāi)放性，給人耳目一新之感.

1 試題呈現(xiàn)

例1為了治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進(jìn)行動(dòng)物試驗(yàn)．試驗(yàn)方案如下：每一輪選取兩只白鼠對(duì)藥效進(jìn)行對(duì)比試驗(yàn)．對(duì)于兩只白鼠，隨機(jī)選一只施以甲藥，另一只施以乙藥．一輪的治療結(jié)果得出后，再安排下一輪試驗(yàn)．當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時(shí)，就停止試驗(yàn)，并認(rèn)為治愈只數(shù)多的藥更有效．為了方便描述問(wèn)題，約定：對(duì)于每輪試驗(yàn)，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得-1分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得-1分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分．甲、乙兩種藥的治愈率分別記為α和β，一輪試驗(yàn)中甲藥的得分記為X．

1)略.

2)若甲藥、乙藥在試驗(yàn)開(kāi)始時(shí)都賦予4分，pi(其中i=0,1,…,8)表示“甲藥的累計(jì)得分為i時(shí)，最終認(rèn)為甲藥比乙藥更有效”的概率，則

p0=0，p8=1，

pi=api-1+bpi+cpi+1(其中i=1,2,…,7)，

且a=P(X=-1)，b=P(X=0)，c=P(X=1)．假設(shè)α=0.5，β=0.8．

①證明：{pi+1-pi}(其中i=0,1,2,…,7)為等比數(shù)列；

②求p4，并根據(jù)p4的值解釋這種試驗(yàn)方案的合理性．

常規(guī)解答如下：

①證明a=0.4,b=0.5,c=0.1,則

5pi=4pi-1+pi+1(其中i=1,2,…,7),

即

pi+1-pi=4(pi-pi-1)

亦即

故{pi+1-pi}(其中i=0,1,…,7)為等比數(shù)列.

②解pi+1-pi=4i(p1-p0)=4ip1(其中i=1,2,…,7)，且

p8=(p8-p7)+(p7-p6)+…+(p1-p0)=

(1+4+42+…+47)p1,

解得

故

由p4的數(shù)值極小可知，當(dāng)i=4時(shí)，甲藥比乙藥有效的概率非常小，為小概率事件，即上述求解過(guò)程與甲、乙兩藥的初始賦分無(wú)關(guān)，只與兩種藥的效果有關(guān)，因此這種試驗(yàn)方案是合理的.

點(diǎn)評(píng)緣于試題知識(shí)結(jié)構(gòu)、現(xiàn)實(shí)背景和科學(xué)情境等因素，各地模擬檢測(cè)的概率題常停留于對(duì)往年試題模仿、改編；而以概率問(wèn)題壓軸，地方自主命題僅在2013年安徽省數(shù)學(xué)高考理科試題中出現(xiàn)過(guò)，全國(guó)卷獨(dú)有優(yōu)勢(shì)，試題命制的“材料言簡(jiǎn)意賅，內(nèi)涵豐富，數(shù)量關(guān)系隱藏于文字?jǐn)⑹鲋?，?shù)據(jù)分析融入其中，語(yǔ)言表述多樣化”風(fēng)格日趨成熟.本試題第2)小題以概率為命題背景，以證明特殊數(shù)列為知識(shí)載體，展現(xiàn)數(shù)學(xué)的科學(xué)性和實(shí)用性；數(shù)學(xué)閱讀量大，語(yǔ)言轉(zhuǎn)換過(guò)渡要求高，尤為注重對(duì)信息分析能力的考查，無(wú)痕落地“用數(shù)學(xué)的眼光觀(guān)察世界、用數(shù)學(xué)的思維思考世界、用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)世界”[1].命題者特意構(gòu)造數(shù)列{pp+1-pi}，引導(dǎo)考生轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列研究相鄰兩項(xiàng)的關(guān)系，展現(xiàn)設(shè)計(jì)的人文關(guān)懷；但又設(shè)置思考障礙，數(shù)列通項(xiàng)求解需要用到累加法，以此作為檢測(cè)能力的載體，以期達(dá)成試題的有效區(qū)分.

2 探源揭流

2.1 課本之源

命題遵循“來(lái)源于教材，高于教材”的原則[2]，該概率試題的數(shù)學(xué)知識(shí)背景是隨機(jī)過(guò)程中的馬爾科夫鏈，巧妙初等化為條件pi=api-1+bpi+cpi+1；解題降階為等比數(shù)列證明與數(shù)列通項(xiàng)求解，所需解法原理回歸教材.譬如人教A版《數(shù)學(xué)(必修5)》第69頁(yè)第6題：

例2已知數(shù)列{an}中，a1=5,a2=2,an=2an-1+3an-2(其中n≥3),對(duì)于這個(gè)數(shù)列的遞推公式作一研究，能否寫(xiě)出它的通項(xiàng)公式？

教師參考用書(shū)的標(biāo)準(zhǔn)答案為：由an=2an-1+3an-2(其中n≥3)，得

an+an-1=3(an-1+an-2)

與

an-3an-1=-(an-1-3an-2)，

從而

an+an-1=3n-2(a2+a1)=3n-2×7，

an-3an-1=(-1)n-2(a2-3a1)=(-1)n-2×13,

于是該數(shù)列的通項(xiàng)公式為

以上解答過(guò)程，較例1難度更大，因未設(shè)計(jì)過(guò)渡問(wèn)題，學(xué)生直接構(gòu)造特殊數(shù)列轉(zhuǎn)化，思維層次要求高；學(xué)生從數(shù)列連續(xù)3項(xiàng)遞推關(guān)系出發(fā)，構(gòu)造新的、特殊的數(shù)列，需經(jīng)歷類(lèi)比推理、數(shù)學(xué)猜想和邏輯證明等思維活動(dòng).即由an=2an-1+3(其中n≥3)，猜想新數(shù)列的形式為

an+λ=2(an-1+λ),

解得λ=3；進(jìn)而研究

an=2an-1+3an-2，

可類(lèi)比構(gòu)造為

an+λan-1=2(an-1+λan-2)，

故λ=-1或λ=3.

例2的參考答案未給出分析的過(guò)程，自然難度大；但作為高考試題的例1為考生搭好“腳手架”，讓他們可以拾級(jí)而上，不人為增加難度，目的是突出考查學(xué)科核心素養(yǎng).

2.2 巧解溯源

例1也為數(shù)學(xué)優(yōu)異生提供了能力施展的空間，其中5pi=4pi-1+pi+1(其中i=1,2,…,7)的處理可以作為甄別考生思維靈活性的極佳工具，讓會(huì)思辨、善思考的考生脫穎而出.上述遞推式已具備使用特征根求數(shù)列通項(xiàng)的基本條件，即對(duì)于an+1=pan+qan-1(其中n≥2，且p,q為常數(shù))的通項(xiàng)求解：令α,β為相應(yīng)的二次方程x2-px-q=0的兩個(gè)根(此方程又稱(chēng)為特征方程)，則

1)當(dāng)α≠β時(shí)，其通項(xiàng)公式為

an=Aαn+Bβn；

2)當(dāng)α=β時(shí)，其通項(xiàng)公式為

an=(A+Bn)αn-1，

其中A,B分別由初始條件a1,a2所得的方程組

唯一確定.

特征方程x2-5x+4=0的根為1,4，從而數(shù)列遞推式的通項(xiàng)形式為

pi=α+β·4n.

代入p0=0，p8=1可得

故數(shù)列通項(xiàng)公式為

顯然可證得數(shù)列{pi+1-pi}為等比數(shù)列,進(jìn)而求得p4.

以例2為例分析，解答中λ=-1,λ=3與an=2an-1+3對(duì)應(yīng)的特征方程x2-2x-3=0的兩根相同，印證構(gòu)造法和特征根法本質(zhì)上是一致的.本質(zhì)上，求二階線(xiàn)性遞推數(shù)列通項(xiàng)，將遞推數(shù)列

an+1=pan+qan-1(其中n≥2)

轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列，需構(gòu)造an+1=pan+qan-1為

an-1-tan=s(an-tan-1)，

即

an+1=(s+t)an-stan-1.

根據(jù)系數(shù)相等得方程組

故s,t為特征方程x2=px+q的根.

2.3 試題之流

數(shù)列特征根與概率知識(shí)綜合考查，在數(shù)學(xué)競(jìng)賽和名牌高校選拔試題中屢見(jiàn)不鮮.下面以3道競(jìng)賽試題為例，一窺兩者結(jié)合命題的概貌.

例3設(shè)一個(gè)袋子里有紅、黃、藍(lán)的小球各一個(gè)，現(xiàn)每次從中取出一個(gè)球，確定顏色后放回；直到連續(xù)兩次均取出紅色球?yàn)橹?，記此時(shí)取出的紅球次數(shù)為ξ，則ξ的數(shù)學(xué)期望為_(kāi)_____.

(2019年四川省高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽預(yù)賽試題第5題)

故

圖1

例4一只小蟲(chóng)在正八面體的表面上爬行，每秒從某一頂點(diǎn)等可能地爬往4個(gè)相鄰的頂點(diǎn)之一，則小蟲(chóng)在第8秒爬回初始位置的概率為_(kāi)_____.

(2018年中國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克希望聯(lián)盟夏令營(yíng)測(cè)試一第8題)

解在如圖1所示的八面體中，設(shè)n秒后小蟲(chóng)位于點(diǎn)P的概率為pn，位于點(diǎn)A,B,C,D的概率為qn，位于R的概率為rn,則

關(guān)于概率pn的關(guān)系為

類(lèi)似的問(wèn)題還有2017年清華大學(xué)暑期夏令營(yíng)數(shù)學(xué)測(cè)試第12題：投擲一枚均勻的硬幣，若連續(xù)出現(xiàn)兩次正面向上的情況即停止投擲，問(wèn)總投擲次數(shù)的數(shù)學(xué)期望.讀者可以自行研究.

數(shù)列遞推式的特征根應(yīng)用于概率，常見(jiàn)是如上通過(guò)求得數(shù)列的通項(xiàng)來(lái)研究概率，其核心仍是數(shù)列問(wèn)題.另一類(lèi)根據(jù)通項(xiàng)形式逆向求解遞推式也值得重視.

(2019年四川省高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽預(yù)賽試題第7題)

an+2=4an+1+an,

高考命題的導(dǎo)向性強(qiáng)，有待一線(xiàn)教師靜心研究，領(lǐng)悟命題者意圖和素養(yǎng)考查方式，尋求命題的知識(shí)背景、方法本原和思想內(nèi)涵.從應(yīng)試中脫身轉(zhuǎn)向素質(zhì)培養(yǎng)，教師必須精選典型問(wèn)題，縱向分析發(fā)展橫向看外延，問(wèn)題回歸教材、思想方法滲透于課堂[3].