培養(yǎng)直覺思維能力，拓展解題視野

劉雪梅

[摘? 要] 文章結(jié)合教學(xué)案例，引導(dǎo)學(xué)生從整體上觀察和研究對象，鼓勵(lì)學(xué)生提出近似合理的猜想，數(shù)形兼顧、相輔相成，讓學(xué)生取得應(yīng)用知識(shí)解決問題的經(jīng)驗(yàn)等，從而讓學(xué)生拓展思路、提升視野，提高解題速度和解題質(zhì)量.

[關(guān)鍵詞] 課堂教學(xué);直覺思維;解題視野;創(chuàng)造性

直覺思維是一種直觀、直接的思維，它是指未經(jīng)過仔細(xì)的推敲和逐步的分析，就能直接揭示事物的本質(zhì)的思維方式，它從事物的總體出發(fā)把握研究對象，對問題的實(shí)質(zhì)進(jìn)行快速判斷，大膽地提出一些合理的推測和猜想，其中包括某些頓悟和靈感. 它具有敏捷性、獨(dú)立性、跳躍性、試探性和簡潔性等特點(diǎn). 在課堂教學(xué)中，鼓勵(lì)學(xué)生認(rèn)真觀察、合理想象、大膽猜測，就會(huì)防止學(xué)生機(jī)械地思考問題，從而提升直覺思維能力，促進(jìn)邏輯思維的發(fā)展. 那么怎樣才能達(dá)成以上目標(biāo)呢？筆者從幾個(gè)方面進(jìn)行詮釋.

引導(dǎo)學(xué)生從整體上觀察和研究對象

直覺思維要求直接從整體上去研究和把握對象，通過直接的觀察，快速縮小問題的突破口，捕捉到解決問題的契機(jī).

案例1小明和小強(qiáng)從同一地點(diǎn)出發(fā)去電影院，小明要走40分鐘，小強(qiáng)要走30分鐘，如果小明先走5分鐘，小強(qiáng)再出發(fā)，問小強(qiáng)要走幾分鐘才能追上小明？

這是初中階段常見的行程類應(yīng)用題. 見到這類問題，大部分師生第一反應(yīng)就是用“方程的思想”予以解決. 一般的解題方案是：

設(shè)小強(qiáng)要走x分鐘才能追上小明. 根據(jù)題意列方程，得x=（x+5），解得x=15.

如果長期以單一方式解決問題，就必然會(huì)限制學(xué)生的思維發(fā)展，使他們解決問題時(shí)帶有局限性. 我們可以嘗試換個(gè)角度，引導(dǎo)學(xué)生從整體上觀察問題，直接觸及問題的實(shí)質(zhì). 不難看出：這段路程小明要走40分鐘，小強(qiáng)要走30分鐘，而小明先走5分鐘，就必定比小強(qiáng)晚到5分鐘. 那么我們就可以得到，小強(qiáng)追上小明的時(shí)間應(yīng)是小強(qiáng)行至全程的中點(diǎn)時(shí)，故列式為：x=30÷2=15.

顯然，換個(gè)角度解決問題，既拓寬了學(xué)生的解題思路，又使數(shù)學(xué)充滿趣味.

案例2Rt△ABC中，∠ACB=90°. 分別以Rt△ABC的三邊為邊向外作正方形，過點(diǎn)C作直角三角形斜邊的垂線，交AB于點(diǎn)H，交DE于點(diǎn)I，如圖1，垂線將斜邊上的正方形分成兩個(gè)矩形. 求證：這兩個(gè)矩形的面積分別等于兩個(gè)直角邊上的正方形的面積.

按照常規(guī)思考方法去證明一般是這樣的：連接BF，CD，則△ABF≌△ACD（SAS），所以S=S. 因?yàn)镾=2S，S=2S（等底等高），所以S=S，同理S=S .

但如果我們先不急于連接輔助線，而是全面地審視條件和圖形，抓住“直角三角形斜邊的垂線”這一關(guān)鍵尋找突破口，就會(huì)發(fā)現(xiàn)射影定理在這里得到了妙用.

因?yàn)锳C2=AH·AB，AC2=S，而AH·AB=AH·AD=S，

所以S=S，同理，S=S .

鼓勵(lì)學(xué)生提出近似合理的猜想

估測、嘗試和猜想是直覺思維的顯著特征之一，從古至今，很多偉大的發(fā)現(xiàn)都源于大膽的猜想. 數(shù)學(xué)教學(xué)中常常可以讓學(xué)生抓住某些顯著的特征，通過大膽的猜想得到結(jié)論，然后再去驗(yàn)證結(jié)論的正確性.

案例3已知：如圖2，在梯形ABCD中，AD∥BC，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF⊥CD于點(diǎn)F，EF=4.5 cm，CD=8 cm，求梯形ABCD的面積.

本題乍看起來顯然無從下手. 因?yàn)椤癝=（AD+BC）·高”，而沒有一個(gè)已知條件與之相關(guān). 這時(shí)，如果教師鼓勵(lì)學(xué)生認(rèn)真觀察、大膽猜測，就會(huì)發(fā)現(xiàn)，EF是CD邊上的高，而高往往與面積有關(guān)，它的結(jié)果會(huì)不會(huì)是“8×4.5”，也就是“底×高”呢？

分析? 若此題的結(jié)果是“8×4.5”，即“底×高”，而“S=底×高”，則CD應(yīng)該是平行四邊形的底，EF應(yīng)該是它的高. 那么，我們可以構(gòu)造出一個(gè)平行四邊形嗎？于是過點(diǎn)E作CD的平行線，再通過兩個(gè)三角形全等將梯形面積轉(zhuǎn)化為平行四邊形的面積，求得梯形的面積為36. 猜想結(jié)果正確.

由此看來，猜想確實(shí)有其重要的作用. 在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要引導(dǎo)、鼓勵(lì)學(xué)生先去大膽猜想，猜結(jié)論、猜方法、猜定理，然后通過嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?、系統(tǒng)的方法進(jìn)行論證.

數(shù)形兼顧，相輔相成

數(shù)形結(jié)合是探索解決數(shù)學(xué)問題的重要途徑，它對提高學(xué)生的直觀思維能力、綜合運(yùn)用能力，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)都起著十分重要的作用.

1. 以形助數(shù)，直觀明快

圖形的直觀性不言而喻. 在教學(xué)中，教師要有意識(shí)地引導(dǎo)啟發(fā)學(xué)生挖掘形與數(shù)之間的關(guān)系，促使問題向直觀形象轉(zhuǎn)化，進(jìn)而溝通知識(shí)與知識(shí)之間、方法與方法之間的聯(lián)系，并從中發(fā)現(xiàn)新的解題思路，得到更好的解題方法，達(dá)成舉一反三、觸類旁通的教學(xué)目標(biāo). 這是一件多么了不起的事情.

案例4解方程x-4-x+2=2.

常規(guī)的解法是劃分三個(gè)區(qū)間進(jìn)行分類討論，去絕對值符號(hào)求解. 解法如下：①當(dāng)x≤-2時(shí)，4-x+x+2=2，得到6=2，矛盾，無解;②當(dāng)-24時(shí)，x-4-x-2=2，得到-6=2，矛盾，無解. 綜上，x=0.

如果我們聯(lián)想到絕對值的幾何意義，就會(huì)發(fā)現(xiàn)，方程的解是數(shù)軸上這樣的一個(gè)點(diǎn)：它與x=4的距離比與x=-2的距離大2，容易得到此點(diǎn)是x=0. 如圖3.

這樣的例子還有很多. 有時(shí)借助圖形或幾何意義來表示數(shù)量關(guān)系，能更直觀地確定參數(shù)的位置，從而避免煩瑣的分類討論和計(jì)算. 不僅使問題更簡潔直觀，同時(shí)還拓展了學(xué)生的解題視野.

2. 數(shù)賦形意，直擊要害

把具有一定關(guān)系的數(shù)量與圖形聯(lián)系起來，就會(huì)使抽象的概念和復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系得到整合，從而降低題目的難度，找到解題思路. 許多數(shù)式往往有著幾何背景，我們要善于根據(jù)問題的結(jié)構(gòu)特征，聯(lián)想到有關(guān)的幾何意義及其圖形，進(jìn)而巧妙地解決問題.

案例5如圖4，在?ABCD中，∠ABC=60°，AB=，AD=2，點(diǎn)E在AD上（點(diǎn)E不與點(diǎn)A，D重合）. 過點(diǎn)E作EF⊥BC且交DC的延長線于點(diǎn)F，連接BF. 在線段DF上是否存在一點(diǎn)H，使得四邊形ABFH是菱形？如果存在，請說明點(diǎn)E、點(diǎn)H分別在線段AD，DF上什么位置時(shí)四邊形ABFH是菱形，并證明;如果不存在，請說明理由.

本題如果單純地從找點(diǎn)E和點(diǎn)H的位置出發(fā)很難找到突破口，但是如果關(guān)注到“∠ABC=60°，AB=，AD=2”這一組條件，就會(huì)馬上聯(lián)想到這恰好是一個(gè)銳角為30°的直角三角形的一條直角邊和斜邊的長，進(jìn)而想到過點(diǎn)A作AH⊥DF于點(diǎn)H （如圖5），從而解決問題.

數(shù)形結(jié)合是一種需要扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)作為支撐的思想方法，應(yīng)用的關(guān)鍵在于聯(lián)系轉(zhuǎn)化. 根據(jù)數(shù)量關(guān)系找到幾何圖形的結(jié)構(gòu)特征，使問題變得簡單、直觀. 所以，在教學(xué)中應(yīng)注意挖掘和滲透. 只有把思想方法貫徹始終，才會(huì)不斷地提高學(xué)生對所學(xué)知識(shí)融會(huì)貫通的能力，培養(yǎng)學(xué)生思維的目的性和組織性.

讓學(xué)生取得應(yīng)用知識(shí)解決問題的經(jīng)驗(yàn)

直覺思維很大程度上產(chǎn)生于經(jīng)驗(yàn)，它是在觀察、歸納、類比和聯(lián)想的基礎(chǔ)上，有時(shí)以“頓悟”的形式出現(xiàn)，即通常所說的產(chǎn)生了“靈感”. 實(shí)際上它是認(rèn)知過程中的一種飛躍. 有時(shí)候我們解一道數(shù)學(xué)問題，會(huì)有一個(gè)百思不得其解的過程，然后在某一個(gè)點(diǎn)上忽然出現(xiàn)某種聯(lián)想而豁然開朗，找到了解決的方法或猜到了一條證明的途徑. 可見，“靈感”的產(chǎn)生、“頓悟”的出現(xiàn)并非憑空而來，而是需要雄厚的知識(shí)儲(chǔ)備、豐富的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)以及不斷總結(jié)、歸納、提升. 教師要讓學(xué)生懂得：靈感基于經(jīng)驗(yàn)的轉(zhuǎn)換（如比較、類比、推廣、相似變換、數(shù)形結(jié)合等），而經(jīng)驗(yàn)的轉(zhuǎn)化基于牢固的基礎(chǔ)知識(shí)，學(xué)會(huì)應(yīng)用知識(shí)去解決問題，并不斷總結(jié)這方面的經(jīng)驗(yàn)，就會(huì)提高自己的直覺思維能力，從而拓展解題視野的寬度.

以上討論了直覺思維的意義以及直覺思維能力的培養(yǎng)，強(qiáng)調(diào)了直覺思維的地位和作用，但這并不意味著可以忽略或減弱邏輯思維能力的培養(yǎng). 從上面的論述中可以看出，只有把直覺思維和邏輯思維有機(jī)地結(jié)合起來，才能有效地發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)造性思維，從而促使學(xué)生進(jìn)行多維思考，最大限度地發(fā)揮數(shù)學(xué)課堂的育人價(jià)值.