幾何畫板輔助導數(shù)教學研究

李昌吉

摘要：導數(shù)是微積分的核心概念之一，是研究函數(shù)形態(tài)以及函數(shù)值近似計算的重要工具.利用幾何畫板輔助導數(shù)教學，通過動態(tài)、直觀的展示函數(shù)平均變化率到瞬時變化率的變化過程，加深學生對抽象導數(shù)定義以及導數(shù)幾何意義的理解和掌握.通過信息技術輔助教學，培養(yǎng)學生數(shù)學學習及數(shù)形結(jié)合思想方法研究問題的能力，同時促進教師的專業(yè)發(fā)展.

關鍵詞：幾何畫板；導數(shù)；教學

中圖分類號：G642 文獻標識碼：A 文章編號：1673-260X（2019）03-0018-04

1 引言

導數(shù)是研究函數(shù)單調(diào)性、極值、最值、凸性等性質(zhì)的重要工具，在日常生活中具有廣泛的應用.高中數(shù)學教材選修1-1和選修2-2中都設置了“導數(shù)及其應用”的模塊，在《高中數(shù)學課程標準》中對這一模塊的課程目標均要求通過實例，使學生經(jīng)歷由平均變化率到瞬時變化率的變化過程，了解導數(shù)概念的實際背景.理解數(shù)學概念是學好數(shù)學的重要前提，如何使學生在變化率的基礎上理解導數(shù)概念，進而了解導數(shù)在研究事物變化快慢和函數(shù)形態(tài)等問題中的重要作用是導數(shù)教學中的重點和難點.在數(shù)學教學中，信息技術是學生學習和教師教學的重要輔助手段，為師生交流、生生交流、人機交流搭建了平臺，為學習和教學提供了豐富的資源.因此，教師應重視信息技術的運用，優(yōu)化課堂教學，轉(zhuǎn)變教學與學習方式.[1]信息技術在帶來新的教學理念和教學模式的同時，教育也需要順應這種變化[2].幾何畫板是一種易于操作且功能強大的數(shù)學軟件，非常適合在中小學數(shù)學教學中使用.筆者結(jié)合幾何畫板的特點探討其在中學導數(shù)概念教學中的應用.

2 幾何畫板輔助導數(shù)教學

2.1 刻畫平均變化率

2.2 刻畫瞬時變化率與導數(shù)的幾何意義

高中數(shù)學關于極限的運算并不像高等數(shù)學中講述的那樣細致全面，學生在學習導數(shù)這部分內(nèi)容之前，幾乎沒有學過極限的相關計算，因此教學中對瞬時變化率的刻畫，可更多地借助幾何畫板來直觀地演示，待學生有了一定的極限計算基礎，再通過極限運算來驗證和求解瞬時變化率.在幾何畫板中拖動點T多演示幾遍，即使學生的基礎和想象力差一點，也會對這一從平均變化率到瞬時變化率的變化過程有一個直觀而又深刻的感受.如果不借助信息技術工具，僅靠黑板加粉筆的傳統(tǒng)教學方法是很難體現(xiàn)這種從平均變化率到瞬時變化率的連續(xù)動態(tài)變化過程.

2.3 函數(shù)過某點的切線

學生初學導數(shù)時容易混淆函數(shù)過某點的切線和函數(shù)在某點處的切線這兩種說法.函數(shù)在某點處的切線，包含著該點就在函數(shù)圖像上，且該點是切點的含義.函數(shù)過某點的切線則該點不一定是切點，或者不一定在函數(shù)圖像上.為使學生較好地區(qū)分這兩種情況，幾何畫板中，以三次函數(shù)y=x3-3x+2為例，通過另一動點C向點P（-2，0）趨近，容易發(fā)現(xiàn)函數(shù)在點P處的切線只有唯一一條（i1），如圖3所示.

若是過點P（-2，0）作函數(shù)圖像的切線則在上例的基礎上還多了一條切線PD即x軸，這是函數(shù)在點D（1，0）處的切線，一共可以作出兩條切線，如圖4所示.

在此基礎上，讓學生思考，若是過點M（2，0）作函數(shù)的切線可以作幾條，在幾何畫板中通過演示可得到3條切線（j1，j2，j3），如圖5所示.和關于曲線和切線的相對位置，由于圓或橢圓等曲線的位置完全位于其切線的同側(cè)，受先前數(shù)學知識的影響，很多學生對圖4，圖5中三次函數(shù)的切線與函數(shù)本身相交會感到困惑，結(jié)合圖像，再次引導學生理解函數(shù)的切線是由割線逼近生成的過程，讓學生區(qū)分和掌握這兩種作切線的方式.

2.4 數(shù)形結(jié)合驗證導數(shù)公式

對于二次函數(shù)、三次函數(shù)等多項式函數(shù)以及其他類型的函數(shù)導數(shù)，在幾何畫板數(shù)據(jù)菜單中有定義導函數(shù)功能，可直接求出這些函數(shù)的導數(shù)，可由此驗證利用導數(shù)定義法計算所得的導數(shù)公式是否正確.

以上例子較為簡單，易于學生理解，可以借此讓學生體驗數(shù)學結(jié)論從特殊到一般，從猜想到驗證的產(chǎn)生過程，培養(yǎng)學生積極動手，主動學習的能力，理解函數(shù)學習中數(shù)形結(jié)合思想方法的精妙.

2.5 導數(shù)不存在的典例

函數(shù)導數(shù)不存在的例子作為導數(shù)存在的反例并給出，其目的是引導學生從不同的角度分析和解決問題，拓展學生的思維，使學生更深刻地理解導數(shù)概念的要素和本質(zhì)，培養(yǎng)學生辯證分析問題的能力.

3 結(jié)論

現(xiàn)代信息技術在數(shù)學教學中的應用日益廣泛，信息技術與數(shù)學學科知識的整合對數(shù)學教學產(chǎn)生著深刻的影響.幾何畫板作為一種動態(tài)的演示工具，在實現(xiàn)快速精準作圖的同時，還能將傳統(tǒng)教學中靜態(tài)的知識以動態(tài)地、連續(xù)變化地、有效地方式展示給學生，將教學的重點和難點有效地化解，使學生對導數(shù)等概念的認識經(jīng)歷由靜至動，由特殊到一般的發(fā)生、發(fā)展直至最后水到渠成的過程，充分感受函數(shù)學習中數(shù)形結(jié)合思想的重要性，并由此培養(yǎng)學生數(shù)學學習的興趣.借助幾何畫板很好地深化了學生對導數(shù)的認識，改善了課堂教學的環(huán)境和效果.

我國《中小學教師教育技術能力標準》（2014版）以及《普通高中數(shù)學課程標準》（2017版）明確指出現(xiàn)代信息技術對教師專業(yè)發(fā)展的重要作用.信息技術一方面促進學生數(shù)學學習，另一方面能極大豐富和提升教師的教學經(jīng)驗，培養(yǎng)教師的信息技術能力，為教師專業(yè)發(fā)展提供有效的路徑.當然信息技術作為一種教學輔助手段，在實際教學中要根據(jù)需要合理使用，教師應加強信息技術與數(shù)學學科整合的研究，提高教學有效性.

參考文獻：

〔1〕中華人民共和國教育部制定.普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018.83.

〔2〕陳娬.現(xiàn)代教育技術[M].北京：北京師范大學出版社，2017.21.

〔3〕普通高中課程標準試驗教科書數(shù)學選修2-2[M].北京：人民教育出版社，2007.3.