拋物線在全國(guó)卷高考小題中的案例分析

徐興濤

摘 要：拋物線是圓錐曲線中的重要類(lèi)型之一，拋物線的定義、性質(zhì)又是高考中經(jīng)?？疾榈闹攸c(diǎn)和難點(diǎn)，而在小題中出現(xiàn)的頻率很高，因此本文借助高考真題，從拋物線焦點(diǎn)弦長(zhǎng)、性質(zhì)、與三角形和圓的綜合運(yùn)用及與平面向量的結(jié)合等方面進(jìn)行案例分析。

關(guān)鍵詞：拋物線;焦點(diǎn)弦;圓;三角形;平面向量

一、焦點(diǎn)弦性質(zhì)的應(yīng)用。

（1）我們清楚若直線為過(guò)焦點(diǎn)，傾斜角為θ，交于A，B的弦長(zhǎng)為|AB|=x1+x2+p;

如例題1（2017.全國(guó)卷Ⅰ.10.）已知F為拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)，過(guò)F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A，B兩點(diǎn)，直線l2與C交于D，E兩點(diǎn)，則|AB|+|DE|的最小值為（ ）.

A.16 B.14 C.12 D.10

如圖1所示，

，當(dāng)時(shí)取得“=”，從而得到正確選項(xiàng)A。

（2）在（1）的基礎(chǔ)上得到面積，如圖2，，

所以，

如例題（2014.全國(guó)卷Ⅱ10.）設(shè)F為拋物線C：y2=3x的焦點(diǎn)，過(guò)F且傾斜角為30°的直線交C于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△OAB的面積為（ ）

A. B. C. D.

得到面積為，選D

（3）以焦點(diǎn)弦為直徑的圓與準(zhǔn)線相切。

如例題（2018.全國(guó)卷Ⅲ.16）已知點(diǎn)M（-1，1）和拋物線C：y2=4x，過(guò)C的焦點(diǎn)且斜率為k的直線與C交于A，B兩點(diǎn).若∠AMB=90°，則k=________.

方法一：如圖3所示，以焦點(diǎn)弦AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切，根據(jù)拋物線的定義及直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半這一性質(zhì)，取AB的中點(diǎn)為N，可得MN為梯形APQB的中位線，。

又|MN|在x軸上的投影為|KH|，|MK|=|NH|=1，則，所以，即可得到，解得k=2。

方法二：由方法一得到MN為梯形APQB的中位線，設(shè)A（x1，y1），B（x1，x2），則，根據(jù)，得到y(tǒng)12-y22=4x1-4x2，即。方法二采用點(diǎn)差法進(jìn)行求解，從代數(shù)角度解決弦中點(diǎn)問(wèn)題。

二、拋物線的定義及性質(zhì)與幾何圖形的綜合運(yùn)用。

（1）拋物線的定義與三角形相似比的綜合運(yùn)用。

平面幾何中三角形、平行四邊形等圖形的幾何性質(zhì)與平面解析幾何融合考查是高考中的一熱點(diǎn)，體現(xiàn)知識(shí)的綜合性，對(duì)知識(shí)進(jìn)行整合，從而靈活運(yùn)用，如三角形中的平行問(wèn)題或三角形的相似問(wèn)題在高考題中考查頻率比較高。

如（2014.全國(guó)卷Ⅰ.10.）已知拋物線C：y2=8x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，P是l上一點(diǎn)，Q是直線PF與C的一個(gè)交點(diǎn)，若，則|QF|=

A. B. C.3 D.2

如圖4所示，過(guò)Q作QH⊥l，則QH/x軸，根據(jù)，得到，即可得到，解得，根據(jù)定義

選C。

又如（2017.全國(guó)卷Ⅱ.16）16.已知F是拋物線C：y2=8x的焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)，F(xiàn)M的延長(zhǎng)線交y軸于點(diǎn)N.若M為FN的中點(diǎn)，則|FN|=? ? ? ?.

如圖5所示，作MH垂直于準(zhǔn)線于H，交y軸于K，則，得到三角形相似，對(duì)應(yīng)邊成比例，，解得|KM|=1，所以|MF|+|KM|+2=3，|FN|=6

通過(guò)兩題可以看出，這兩題極為相似，可以說(shuō)屬于同一道題，考查拋物線的定義及三角形相似問(wèn)題進(jìn)行求解，比較起代數(shù)法求解，更加簡(jiǎn)潔，運(yùn)算不再?gòu)?fù)雜，得分率將會(huì)提升?？碱}中會(huì)借助中位線、相似比、平行線中的同位角及內(nèi)錯(cuò)角進(jìn)行綜合。

（2）拋物線的定義及性質(zhì)與圓的綜合運(yùn)用。

考題中會(huì)綜合圓的性質(zhì)、垂徑定理、圓冪定理等圓的相關(guān)知識(shí)，需要緊扣性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算。

如（2016.全國(guó)卷Ⅰ.10）以拋物線C的頂點(diǎn)為圓心的圓交C于A，B兩點(diǎn)，交C的準(zhǔn)線于D，E兩點(diǎn).已知|AB|=，|DE|=，則C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為

A.2 B.4 C.6 D.8

如圖6所示，設(shè)A（x，），解得，根據(jù)半徑，由勾股定理得到

，即有

解得p=4，根據(jù)p的幾何意義得到B

三、拋物線與平面向量的結(jié)合。

我們知道，平面向量是連接集合與代數(shù)的橋梁，平面向量與拋物線的綜合自然是高考中的一熱點(diǎn)，在運(yùn)算中常伴隨的是線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算，考慮從代數(shù)運(yùn)算著手。

如（2018.全國(guó)卷Ⅰ.8）設(shè)拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)（–2，0）且斜率為的直線與C交于M，N兩點(diǎn)，則=

A.5 B.6 C.7 D.8

如圖7所示，此題考查直線與拋物線相交問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算求解設(shè)，設(shè)直線的方程為，

聯(lián)立，解得，，解得，選D。

考題中常常還會(huì)三點(diǎn)共線問(wèn)題，向量垂直等問(wèn)題，用三角形法則或者平行四邊形法則進(jìn)行有效轉(zhuǎn)化，通過(guò)線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算進(jìn)行求解。

通過(guò)以上考題可以看出，小題中解答首先從圖形的幾何性質(zhì)入手，通過(guò)曲線的定義、幾何性質(zhì)等考點(diǎn)為著眼點(diǎn)，與直線、三角形、四邊形等幾何圖形融合，所以小題中優(yōu)先通過(guò)幾何法進(jìn)行解答;部分考題還需要考慮從代數(shù)運(yùn)算的角度進(jìn)行求解。

參考文獻(xiàn)

[1]普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)A版數(shù)學(xué)選修2-1[M].北京：人民教育出版社，2013.