淺議高考真題解法的靈活多樣性

摘 要：新課改下的高中數(shù)學(xué)課程更注重創(chuàng)新思維能力的培養(yǎng)，注重基礎(chǔ)，立足基礎(chǔ)，多方位，多角度，多元化已成為數(shù)學(xué)培養(yǎng)發(fā)展的方向。數(shù)學(xué)是思維的體操，思維是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的靈魂。對于某些數(shù)學(xué)知識可以從不同的角度加以分析、從不同的層次進行理解。我們可以考慮一題多解，讓課堂充滿靈動的數(shù)學(xué)思想，讓思維綻放精彩。

關(guān)鍵詞：多角度;多方位;靈活性;一題多解;數(shù)學(xué)思想;

多年以來，數(shù)學(xué)在高考中的比重一直居高不下，也是必考科目之一，在日常教育教學(xué)中，數(shù)學(xué)也被另眼相看，成了名副其實的主課，而數(shù)學(xué)它又是一門自然學(xué)科，有它自身的特點，數(shù)學(xué)是研究數(shù)量、結(jié)構(gòu)、變化以及空間模型等概念的一門學(xué)科.透過抽象化和邏輯推理的使用，由計數(shù)、計算、量度和對物體形狀及運動的觀察中產(chǎn)生.數(shù)學(xué)家們拓展這些概念，為了公式化新的猜想以及從合適選定的公理及定義中建立起嚴(yán)謹(jǐn)推導(dǎo)出的真理.因此在解題與解決實地問題的過程中，如果能夠經(jīng)常結(jié)合所學(xué)知識，多方位，多角度去思考問題，采用多樣化的方法去解題或解決問題，不但可以提高解題與運算能力，而且還可以培養(yǎng)創(chuàng)造能力，下面就從一道數(shù)學(xué)高考真題入手，來體驗一下高考真題解法的靈活多樣性。

題目：已知x≥0，y≥0，且x+y=1，則x2+y2的取值范圍是_______.

本題直觀上看是一道在一定條件下，求范圍問題。但實質(zhì)上出題者的本意可能并非如此，其目的可能有五個：（其一）可能通過考察二次函數(shù)求值域，來解決范圍問題。（其二）可能通過考察基本不等式求最值，來解決范圍問題。（其三）可能通過考察線性規(guī)劃求距離的平方，來解決范圍問題。（其四）可能通過考察變量代換，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)，應(yīng)用三角函數(shù)的各種公式，來解決范圍問題。（其五）可能通過考察參數(shù)方程，轉(zhuǎn)化為三角問題，來解決范圍問題。下面一一給出解法共同行們商討。

法一：函數(shù)構(gòu)造法

解：因為x+y=1，所以y=x-1，代入x2+y2得，

x2+y2=x2+（1-x）2=2x2-2x+1=;

又由于x≥0，y≥0，且x+y=1，所以x∈[0，1]，

當(dāng)x=0或x=1時，x2+y2取得最大值1，當(dāng)x=時，

x2+y2取得最小值，所以x2+y2的取值范圍是[，1]。

法二：采用不等式法

解：由基本不等式解得：當(dāng)x>0，y>0時，

可得：當(dāng)x>0，y>0時，，根據(jù)條件x+y=1，得：

當(dāng)x，y有一個為0時，結(jié)果顯然成立。

另一方面，當(dāng)x≥0，y≥0時，x2+y2≤x2+y2+2xy=（x+y）2=1

所以x2+y2的取值范圍是[，1]。

法三：線性規(guī)劃分析法x2+y2

解：設(shè)直線x+y=1與兩坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo)A（0，1），B（1，0）.

P（x，y）為線段AB上任意一點，

則P到原點的距離為，又，所以

所以x2+y2的取值范圍是[，1]。

法四：三角代換法

解：由已知條件得：設(shè)x=sin2θ，則y=cos2θ

x2+y2=sin4θ+cos4θ=（sin2θ+cos2θ）2-2sin2θcos2θ=1-sin22θ∈[，1]

所以x2+y2的取值范圍是[，1]。

法五：參數(shù)方程法

解：由已知條件得：令x2+y2=r2（r>0），設(shè)x=rcosφ，y=rsinφ，

根據(jù)x+y=1得：rcosφ+rsinφ=1，可化為：

即：，因為

即，所以

所以x2+y2的取值范圍是[，1]。

由上可知，高考試題可以根據(jù)知識之間的聯(lián)系，通過相互轉(zhuǎn)化，采用靈活多樣的解題方法，使問題得一圓滿解決。靈活多樣的解題方法不但能讓學(xué)生達到解題的目的，而且能拓展學(xué)生思維模式。激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使得枯燥的數(shù)學(xué)解題變得更加具有吸引性。

參考文獻

[1]曾凡藝;立足一題多解，讓思維綻放精彩《文理導(dǎo)航》

[2]許洪梅，惠井華;一題多解對學(xué)生創(chuàng)造性思維能力的培養(yǎng)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，

[3]王馳;實例分析初中數(shù)學(xué)的一題多解《數(shù)理化解題研究》

[4]禹鳳英;一題多解之我見《考試周刊》

作者簡介：馬度善，回族，甘肅天水人，理學(xué)士，一級教師，主要從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)工作