培養(yǎng)學(xué)生“幾何直觀”能力的策略談

王紅宇

幾何直觀是指利用圖形描述和分析問題，它有助于探索、發(fā)現(xiàn)解決問題的思路，也有助力于理解和記憶得到的結(jié)果。由于小學(xué)生的思維正處于直觀形象思維的階段，為了較好地解決“抽象性”與“形象性”之間的矛盾，使隱性的知識顯性化，抽象的思維過程形象化，幾何直觀在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中能發(fā)揮重要的作用。

一、幾何直觀能力培養(yǎng)存在的問題

借助幾何直觀進行教學(xué)，符合學(xué)生的年齡特點和認(rèn)知規(guī)律，但是幾何直觀能力培養(yǎng)中存在著不少的現(xiàn)實問題。

（一）教材缺少具體的指導(dǎo)

教材對畫圖策略沒有一個具體的指導(dǎo)，教材在各領(lǐng)域知識，特別是解決問題過程中都比較重視運用畫圖策略，但都缺乏明確具體的指導(dǎo)，教材中的畫圖策略都是直接呈現(xiàn)或以問題形式提示學(xué)生，但具體該怎樣畫卻沒有體現(xiàn)。這樣就不利于教師準(zhǔn)確把握教材，也不利于學(xué)生更好地掌握畫圖策略。而且，教材從低段到高段，各種圖形的介入循序性不強。

（二）教師缺少系統(tǒng)的教學(xué)

部分教師對學(xué)生的畫圖意識還缺乏應(yīng)有的認(rèn)識和足夠的重視，畫圖意識被簡單化和弱化，習(xí)慣用語言來分析問題中的數(shù)量關(guān)系，讓學(xué)生自由地在頭腦中建構(gòu)圖形，進行抽象思考，這樣做的結(jié)果是教給了學(xué)生大量的應(yīng)用模式和一些特殊的操作方法，短時間內(nèi)能應(yīng)付考試，卻不利于學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的發(fā)展。例如教學(xué)“分?jǐn)?shù)應(yīng)用題”，部分教師就簡單地教給學(xué)生分?jǐn)?shù)問題的數(shù)量關(guān)系式，學(xué)生在解題時，依葫蘆畫瓢，找到這幾個數(shù)量，然后生搬硬套關(guān)系式，而對于分?jǐn)?shù)應(yīng)用問題數(shù)量間的真正關(guān)系，部分學(xué)生可能根本不理解。為了解題而解題，這樣的過程毫無思維含量可言。目前以考試為主的單一評價方法，也嚴(yán)重影響著師生對于畫圖意識的教與學(xué)的積極性。因為數(shù)學(xué)試卷中對畫圖的要求很少，對成績的功利性造成了教師忽視對畫圖的精細教學(xué)，缺少對畫圖意識的鼓勵。

（三）學(xué)生缺少主動畫圖的意識

學(xué)生個人擁有圖式數(shù)量的多少與品質(zhì)的優(yōu)劣，將決定其解決問題能力的強弱。然而在實際的教學(xué)中，小學(xué)生的數(shù)學(xué)畫圖意識缺失還是比較嚴(yán)重。例如：

缺少從畫圖的角度去思考問題，多數(shù)學(xué)生已經(jīng)習(xí)慣于用定理、規(guī)則解決那些熟悉的問題，當(dāng)面對一些新的題型，需要依靠自己的分析去尋找解決策略時，很少能主動地運用畫圖去思考、探索解決的途徑。缺乏用畫圖的技能去解決問題，面對題意中眾多的信息，到底該怎樣畫圖，才能使圖與題意相符合，這是很多學(xué)生不清楚的地方。或者圖畫出來了，學(xué)生卻不能通過圖式找出正確的數(shù)量關(guān)系，列出準(zhǔn)確的算式。從文到圖，再從圖到式，其中有一步出現(xiàn)問題就會導(dǎo)致畫圖的無效。五、六年級同學(xué)在解決分?jǐn)?shù)應(yīng)用問題時，雖然能夠用線段圖表示出數(shù)量關(guān)系，但是并不能順利解決問題的學(xué)生還是很多。

二、幾何直觀能力培養(yǎng)的策略探微

幾何直觀在整個數(shù)學(xué)習(xí)過程中都發(fā)揮著重要作用，它不僅存在于“圖形與幾何”教學(xué)之中，而且更廣泛地運用于其他領(lǐng)域內(nèi)容的學(xué)習(xí)中。其價值由此可見一斑。下面筆者結(jié)合教學(xué)實踐簡單論述如何培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀能力。

（一）創(chuàng)設(shè)有效情境，體會價值和作用

能力的培養(yǎng)取決于價值的認(rèn)同，教學(xué)中我們應(yīng)該讓學(xué)生體會幾何直觀的價值與作用。小學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，正處在以形象思維為主，向抽象思維過渡的階段。根據(jù)其年齡特點，讓學(xué)生在解決問題時自己在紙上涂一涂、畫一畫，借助線段圖或?qū)嵨飯D把抽象的數(shù)學(xué)問題具體化，還原問題的本來面目，使孩子讀懂題意、理解題意，拓展學(xué)生解決問題的思路，幫助他們找到解決問題的關(guān)鍵，從而提高學(xué)生解決問題的能力。因此，在教學(xué)中教師要善于創(chuàng)設(shè)體驗情境，讓學(xué)生在思考的過程中產(chǎn)生畫圖的需要，在自己畫圖的活動中體會方法、感悟策略、發(fā)展思維、獲得思想。

一位老師在教學(xué)例題“學(xué)校有一塊長方形的花圃，長9米，修建校園時花圃的長增加了2米，面積增加了12平方米，原來花圃的面積是多少平方米？”時，巧花心思，以放錄音的形式出現(xiàn)例題，讓學(xué)生傾聽題意。第一遍聽完后，讓學(xué)生說說題目里的信息。由于學(xué)生的記憶處于一種放松狀態(tài)，學(xué)生在腦海中來不及記憶，都愣在那兒了，這時老師問：“如果老師再讓你們聽一遍，你們能想到辦法迅速而準(zhǔn)確地記錄題目的意思嗎？”于是，有的學(xué)生想到先完整記錄全題再進行整理，有的學(xué)生想到了把關(guān)鍵的詞句記錄下來，也有學(xué)生想到了畫圖表示題意。聽完后，學(xué)生紛紛匯報自己的所得。通過比較，學(xué)生發(fā)現(xiàn)用畫圖的方法記錄，不僅便捷準(zhǔn)確，而且有助于幫助理解題意。在此基礎(chǔ)上，教師讓學(xué)生聽第三遍錄音，要求學(xué)生用畫圖的方法進行整理信息，直觀地呈現(xiàn)條件與問題，獨立地解決問題。通過教學(xué)設(shè)計的層層深入，讓學(xué)生在“想到畫圖”、“畫好圖”和“用好圖”這三個逐次遞進的教學(xué)過程中體驗、感受畫圖的好處，從而使學(xué)生對“畫圖”這一策略的價值有了深刻的認(rèn)識，從根本上幫助學(xué)生構(gòu)建了自己的學(xué)習(xí)策略的模型，自覺地體會到幾何直觀的作用。

（二）挖掘教材資源，學(xué)習(xí)畫圖策略

解讀教材時，要充分挖掘教材中的資源，將數(shù)與形有效結(jié)合，分析問題時引導(dǎo)學(xué)生能畫圖時盡量畫，將相對抽象的思考對象“圖形化”，盡量把問題、計算、證明等數(shù)學(xué)的過程變得直觀，便于發(fā)現(xiàn)規(guī)律、得出結(jié)論。如在教學(xué)“點陣中的規(guī)律”：計算：1+2+3+……+99+100+99+……+3+2+1=？時，引導(dǎo)學(xué)生把這里每個加數(shù)想像成一個個點，通過點陣的分布來找規(guī)律，最后求解。這樣教師引導(dǎo)學(xué)生利用表象、用聯(lián)系的觀點把握幾何直觀，從而拓展學(xué)生的想象空間。

如圖（1）所示，從上往下一層一層數(shù)：

總數(shù)：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1

通過仔細觀察，把圖（1）旋轉(zhuǎn)45°后發(fā)現(xiàn)與圖（2）一樣，變成正方形。所以總數(shù)為：10×10=100

根據(jù)上圖縮小變形后得出的規(guī)律再計算得出1+2+3+……+99+100+99+……+3+2+1=100×100=10000

數(shù)據(jù)的規(guī)律變化導(dǎo)致了圖形的規(guī)律變化，這樣的訓(xùn)練有助于培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力。

圖形是學(xué)生思維的腳手架。在這里，教師在學(xué)生最憤悱的時候，簡單地用一組圖使他們豁然開朗，學(xué)生深刻地感受到了畫圖在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要作用。

（三）抓住關(guān)鍵圖形，提高畫圖能力

幾何直觀教學(xué)，低、中、高段由淺入深、循序漸進，逐步滲透。要不斷強化學(xué)生的認(rèn)識，讓學(xué)生經(jīng)歷“感受——認(rèn)識——形成——內(nèi)化”四個由低到高的層次，把問題可以轉(zhuǎn)化成具象圖（實物圖）、點子圖、線段圖、平面圖形、立體圖形、網(wǎng)絡(luò)圖形等。對于低段學(xué)生，常采用更加具象的實物圖，常是教師引入運用，讓學(xué)生初步感悟幾何直觀；對于中段學(xué)生，可常采用點子圖或線段圖，幫助學(xué)生分析，鼓勵學(xué)生自主畫圖，讓學(xué)生逐步明朗幾何直觀；對于高段學(xué)生，在解決較難的問題時除采用線段圖，還可采用網(wǎng)絡(luò)圖，并檢查評價學(xué)生能否自主運用這些策略方法解決問題。

策略一：讀懂主題圖、點子圖（具象圖）。

仔細研讀教材，我們發(fā)現(xiàn)中低段教材采用了大量的主題圖，學(xué)生可以積累豐富的圖式經(jīng)驗（如上圖）。平時我們在教學(xué)時，往往把注意力都集中在主題圖上，而對于下面的點子圖卻敷衍了事，一筆帶過。但教材的真正意圖其實不是這樣的，點子圖是主題圖的抽象概括，又是數(shù)量關(guān)系的顯性體現(xiàn)，是主題圖與文字題之間的橋梁，點子圖在幫助學(xué)生理清問題本質(zhì)、解決問題，培養(yǎng)學(xué)生的形象思維和抽象邏輯能力等方面都有較大的作用。所以教學(xué)中，我們要重視點子圖的解讀和分析。

策略二：巧用線段（一維的圖）。

線段圖是理解抽象數(shù)量關(guān)系的形象化、視覺化的工具。借助線段圖，直觀形象地理清數(shù)量關(guān)系、優(yōu)化知識結(jié)構(gòu)，提高知識建構(gòu)的效果。特別是在解決問題的教學(xué)中，要經(jīng)常根據(jù)數(shù)量之間的關(guān)系畫好線段圖。要引導(dǎo)學(xué)生思考數(shù)量間部分與部分的關(guān)系，部分與整體的關(guān)系，怎么畫？同時，也經(jīng)常讓學(xué)生看通過讀線段圖來解決問題。

策略三：巧用方格圖（二維的圖）。

高段教學(xué)中，關(guān)于分?jǐn)?shù)或小數(shù)的計算教學(xué)，不能只停留在算法的模式化訓(xùn)練，更關(guān)鍵是要教學(xué)算理。我們可以通過方格圖幫助學(xué)生理解算理，從而更加清晰計算方法，實現(xiàn)“抽象的算法具體化”和“從具體中進行抽象”的統(tǒng)一。

例如，教學(xué)“求一個數(shù)的幾分之幾是多少”時，可以這樣引導(dǎo)學(xué)生理解算理：

引入：根據(jù)情境引入[15]×[14]、[15]×[34]、[45]×[34]這三個算式。

思考：分別用一幅圖表示上述三個算式所表示的意思。

交流：展示并講評形成下圖。

觀察：結(jié)合三幅圖，思考這三個算式的結(jié)果分別是多少？

觀察：[15]×[14]=[120]，[15]×[34]=[320]，[45]×[34]=[1220]，你認(rèn)為求一個數(shù)的幾分之幾該怎么求？

利用幾何直觀，幫助學(xué)生很快理解了“求一個數(shù)的幾分之幾是多少”的算理。

策略四：學(xué)生自己創(chuàng)造圖。

利用小學(xué)生喜歡畫畫，擅長畫畫的特點，當(dāng)然也可以讓學(xué)生用自己喜愛的方式畫圖，原生態(tài)的圖形，生動有趣，再現(xiàn)數(shù)量之間的關(guān)系，使數(shù)學(xué)與圖形結(jié)合，以畫促思，最終可以化復(fù)雜為簡單，化抽象為直觀，更好地分析和解決問題，從而得到答案。如學(xué)生在計算1.3×1.2時提出了這樣的方法：1×1+0.3×0.2，很多老師都會讓學(xué)生再算一遍，看看左右兩邊是不是一樣，如果不一樣，就是錯了。這樣學(xué)生不知道為什么錯了，下次還會出現(xiàn)同類的錯誤。這時老師要求學(xué)生自己創(chuàng)造圖形來表示這個乘法算式的意思。關(guān)于乘法，學(xué)生自然就會想到運用長方形面積來輔助理解。

從圖中知道1×1+0.3×0.2是涂色部分，而1.3×1.2是整個圖形的面積，它們是不相等的。這樣學(xué)生就很容易理解錯誤的原因。

幾何直觀通常被喻為“心智的磨刀石”，在數(shù)學(xué)研究中起著聯(lián)絡(luò)、理解、甚至提供方法的作用。培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀能力，有利于提高學(xué)生的解決問題能力和思維能力，從而促進學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的全面提升。