淺議通過揭示問題表征提高學(xué)生的問題解決能力

肖華鳳

摘 要：培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力對(duì)學(xué)生的終身發(fā)展有重要的意義。美國(guó)現(xiàn)代認(rèn)知心理學(xué)家西蒙認(rèn)為：“表征是問題解決的一個(gè)中心環(huán)節(jié)。問題解決者必須準(zhǔn)確地表征問題，因?yàn)閷?duì)問題的表征如何，極大地影響著問題解決的難易程度。”數(shù)學(xué)教師肩負(fù)著培養(yǎng)學(xué)生解決問題能力的責(zé)任，若在日常的教學(xué)中，能引導(dǎo)學(xué)生不斷梳理、總結(jié)自己的思考過程，并通過畫圖、列式、構(gòu)造模型等方式，豐富問題表征，將能有效幫助學(xué)生提高思維能力，形成較好的問題解決能力。

關(guān)鍵詞：初中;數(shù)學(xué)教學(xué);問題表征;問題解決能力

中考?jí)狠S題的問題比較新，綜合性很強(qiáng)，對(duì)學(xué)生解決問題的能力提出了較高的要求。數(shù)學(xué)教師該如何幫助學(xué)生攻克難關(guān)，提高問題解決的能力呢？

一、分析學(xué)生的解題思路，弄清問題表征

引例：（引自2014年廣州市初中數(shù)學(xué)畢業(yè)生學(xué)業(yè)考試中的壓軸題第25題）如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，CD=5，點(diǎn)E為線段CD上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)C重合），△BCE關(guān)于BE的軸對(duì)稱圖形為△BFE，連接CF，設(shè)CE=x，△BCF的面積為S1，△CEF的面積為S2。當(dāng)△BFE的外接圓與AD相切時(shí)，求■的值。

有學(xué)生通過等面積法來解答，某學(xué)生在畫圓G的過程中，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)G為BE的中點(diǎn)，接著將半徑GQ=GE=■聯(lián)系起來。而GE又與EC=x通過勾股定理建立聯(lián)系。也有學(xué)生采用構(gòu)造法來解答，對(duì)相似的知識(shí)印象比較深刻，因此由切線會(huì)聯(lián)想到Rt△、相似三角形等知識(shí)，進(jìn)而尋找兩個(gè)相似的Rt△。這兩種解法，學(xué)生都經(jīng)過反復(fù)多次的觀察，嘗試各種思路，篩選方法，最后得出了此法。

在教學(xué)中，有時(shí)教師會(huì)忽略學(xué)生的這些思考過程，只關(guān)注他們成功解答的思路。其實(shí)每個(gè)學(xué)生因知識(shí)結(jié)構(gòu)、經(jīng)驗(yàn)等不同，對(duì)問題的表征不盡相同，但不同的表征，往往有不同的解決方案。若能將積極思考的學(xué)生的問題表征展現(xiàn)出來，師生之間進(jìn)行交流，彼此將會(huì)激發(fā)出更多的靈感。在相互學(xué)習(xí)借鑒中，將問題表征豐富、深化，那么，學(xué)生的問題解決能力將會(huì)不斷得到提高。

二、問題表征分類

數(shù)學(xué)問題解決就是學(xué)生主體創(chuàng)造性地應(yīng)用數(shù)學(xué)去解決問題的學(xué)習(xí)活動(dòng)。我國(guó)把提高學(xué)生解決問題的能力作為數(shù)學(xué)教學(xué)的主要目標(biāo)之一。美國(guó)現(xiàn)代認(rèn)知心理學(xué)家西蒙認(rèn)為：“表征是問題解決的一個(gè)中心環(huán)節(jié)。它說明問題在頭腦里是如何呈現(xiàn)和表現(xiàn)出來的。”要想問題得以解決，問題解決者必須準(zhǔn)確地表征問題。因?yàn)閷?duì)問題的表征如何，極大地影響著問題解決的難易程度。問題的表征有兩種方式：內(nèi)部表征（或心理表征）和外部表征。外部表征即把問題用圖形、表格、模型等外部的形式表示出來。借助外部表征，有利于問題的解決。問題解決者確定以什么策略來解決問題，一方面取決于他自身相關(guān)的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，另一方面取決于他如何表征問題。對(duì)問題的表征不同，所選擇的解決方法也不同。

三、數(shù)學(xué)問題不同表征的典型案例

學(xué)生將問題內(nèi)外表征展示出來，將有助于師生的深入交流，有利于學(xué)生在相互學(xué)習(xí)中提高問題解決的能力。

案例一：嚴(yán)謹(jǐn)性與靈活性相結(jié)合的案例

例一（引自2011年廣州市初中數(shù)學(xué)畢業(yè)生學(xué)業(yè)考試第23題）：已知Rt△ABC的斜邊AB在平面直角坐標(biāo)系的x軸上，點(diǎn)C（1，3）在反比例函數(shù)y=■的圖象上，且sin∠BAC=■。

（1）求k的值和邊AC的長(zhǎng);（2）求點(diǎn)B的坐標(biāo)。

案例分析：

1. 圖示（兩種情形，見圖一、圖二）。

思路一：解第（2）問，可以由已知sin∠BAC=■出發(fā)，根據(jù)sin的意義，用比例和勾股定理來計(jì)算。思維直接，很容易想到，但非常繁瑣，計(jì)算時(shí)間較長(zhǎng)。

思路二：解第（2）問，可以由sin∠BAC=■換函數(shù)名，用tan∠BAC=tan∠BCD=■或cos∠BAC=■，求得BD=■，此時(shí)求點(diǎn)B的坐標(biāo)，只需要用BD±1即可，即OB=■+1或者BO=-（■-1）。不需要再分成兩小題逐步重復(fù)計(jì)算。

2. 問題表征分析：（1）畫圖使解題更嚴(yán)謹(jǐn)。此問題沒有圖，通過審題畫圖，一部分思維嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)生將會(huì)發(fā)現(xiàn)A、B兩點(diǎn)的不確定性，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)問題的兩種可能。（2）好的問題空間使解題更靈活。問題空間比較好的學(xué)生，靈活地變換函數(shù)名，用tan來計(jì)算，計(jì)算更簡(jiǎn)便。（3）綜合歸納能力強(qiáng)的學(xué)生，進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)，求點(diǎn)B的坐標(biāo)，只需要用BD±1即可。教學(xué)中著重引導(dǎo)和展現(xiàn)不同思維層次學(xué)生的問題表征過程，學(xué)生將從中獲益匪淺。

案例二：發(fā)揮個(gè)人強(qiáng)項(xiàng)的案例

例二（引自2013年廣州市初中數(shù)學(xué)畢業(yè)生學(xué)業(yè)考試第10題）：如圖，四邊形ABCD是梯形，AD∥BC，CA是∠BCD的平分線，且AB⊥AC，AB=4，AD=6，求tanB的值。

案例分析：

方法一：（見圖一）

（1）主要運(yùn)用菱形的性質(zhì)。

（2）解答思路：過A作AE∥DC交BC于點(diǎn)E，連接DE，交AC于點(diǎn)O，先證AECD為菱形，得DE⊥AC，再求BC=12，AC=8■，從而tanB=2■。

（3）問題表征分析：①自身優(yōu)勢(shì)經(jīng)驗(yàn)（對(duì)菱形的知識(shí)比較擅長(zhǎng)）。②構(gòu)造模型（構(gòu)造出菱形）。③知識(shí)綜合（菱形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、tan的概念等）。

方法二：（見圖二）

（1）主要運(yùn)用三線合一。

（2）解答思路：過D作DO⊥AC，垂足為O，△ADC為等腰三角形，利用三線合一，O為AC中點(diǎn)?！鱀OC∽△BAC，得比例式，求得DO=2，AO=4■，且tanB=tan∠ADO=2■。

（3）問題表征分析：①自身優(yōu)勢(shì)經(jīng)驗(yàn)（對(duì)三線合一的知識(shí)比較擅長(zhǎng)）。②構(gòu)造模型（作出等腰三角形的高）。③知識(shí)綜合（等腰三角形的三線合一、三角形相似列比例式、求三角函數(shù)換等角等）。

方法三：（見圖三）

（1）主要運(yùn)用平行四邊形性質(zhì)。

（2）解答思路：過D作DE∥AB，交BC于點(diǎn)E，得ABED為平行四邊形，由AB⊥AC，得DE⊥AC，由△ADC為等腰三角形，三線合一，得O為AC中點(diǎn)，OE為△ABC的中位線，從而有OE=OD=2，AO=4■，tanB=tan∠ADE=2■。

（3）問題表征分析：①自身優(yōu)勢(shì)經(jīng)驗(yàn)（對(duì)平行四邊形的知識(shí)比較擅長(zhǎng)）。②構(gòu)造模型（構(gòu)造平行四邊形）。③知識(shí)綜合（平行四邊形、等腰三角形的三線合一、中位線、求三角函數(shù)換等角等）。

四、培養(yǎng)學(xué)生問題表征能力的途徑

學(xué)生要具備很好的解決問題的能力，首先要有扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和數(shù)學(xué)探索熱情。其次，在教學(xué)中，教師要重視不同學(xué)生的問題表征。課堂或課后，如果學(xué)生都樂于展示問題表征的話，將能大大提高學(xué)生解決問題的能力。教師可以從以下幾個(gè)方面有計(jì)劃地培養(yǎng)學(xué)生問題表征的能力：

首先，精心備課。選題、教學(xué)時(shí)，教師要做好示范，遇到問題從多角度思考。其次，從日常滲透，為學(xué)生提供展示自己的機(jī)會(huì)。無(wú)論問題大小，不一定要用壓軸題、綜合題去培養(yǎng)學(xué)生問題表征的能力，而應(yīng)在平常的教學(xué)中長(zhǎng)期去滲透培養(yǎng)。第三，豐富學(xué)生的問題表征。特別是對(duì)綜合性較強(qiáng)的解題任務(wù)，要更加重視學(xué)生問題表征的教學(xué)。此外，在教學(xué)中，教師要注重對(duì)學(xué)生進(jìn)行以下方面的培養(yǎng)：1. 相對(duì)思維的運(yùn)用。2. 數(shù)形結(jié)合思想。3. 培養(yǎng)學(xué)生歸納、整理、提升的能力。4. 思維嚴(yán)謹(jǐn)性與靈活性的培養(yǎng)。5. 相近知識(shí)的聯(lián)想。6. 善于運(yùn)用實(shí)際生活經(jīng)驗(yàn)。7. 加強(qiáng)知識(shí)的綜合運(yùn)用，發(fā)揮個(gè)人的強(qiáng)項(xiàng)。8. 重視對(duì)構(gòu)造法問題表征的教學(xué)。9. 數(shù)學(xué)興趣的培養(yǎng)等。

五、結(jié)語(yǔ)

綜上所述，教師應(yīng)通過多種渠道給學(xué)生充分展示問題表征的機(jī)會(huì)，加強(qiáng)課堂、課后深入和有效交流，以此來提高學(xué)生解決問題的能力。特別是在數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容上，遇到數(shù)學(xué)思想、方法方面的問題，如有關(guān)相對(duì)的思維、數(shù)形結(jié)合、思維的嚴(yán)謹(jǐn)性和靈活性、相近知識(shí)的聯(lián)想、實(shí)際生活經(jīng)驗(yàn)、各個(gè)知識(shí)的綜合運(yùn)用、構(gòu)造法等綜合性強(qiáng)的問題時(shí)，要特別給學(xué)生充分暴露問題表征的機(jī)會(huì)。這樣能很好地培養(yǎng)學(xué)生的分析、綜合、想象等能力，活躍學(xué)生的思維，提高學(xué)生解決問題的能力，增強(qiáng)學(xué)生挑戰(zhàn)難題的自信心，進(jìn)而使課堂教學(xué)效率得到提升。但由于課堂的時(shí)間有限，操作起來有一定的難度，特別是初三的壓軸題，一道題的透徹講解往往需要較長(zhǎng)的時(shí)間。因此，壓軸問題的詳細(xì)問題表征分析往往在初三的培優(yōu)課專題課中運(yùn)用較多。日常的教學(xué)滲透很重要，但是壓軸題的教學(xué)難以做到讓學(xué)生很充分地去分析問題的表征過程。這將是筆者今后要繼續(xù)思考的方向。