一類具有Allee效應(yīng)的捕食-食餌模型正解的唯一性和漸近行為

摘 要：研究一類具有加法Allee效應(yīng)的捕食-食餌擴(kuò)散模型。首先利用特征值的比較原理和不動點指數(shù)理論給出正解存在的充要條件， 接著運用擾動理論討論參數(shù)c充分大時正解的唯一性和穩(wěn)定性。研究表明在一定條件下系統(tǒng)存在唯一的穩(wěn)定解。最后通過拋物系統(tǒng)的比較原理得到全局吸引子的存在條件。

關(guān)鍵詞：加法Allee效應(yīng);不動點指數(shù);擾動理論;唯一性;全局吸引子

中圖分類號：O175.26

文獻(xiàn)標(biāo)識碼： A

本文討論如下捕食-食餌擴(kuò)散模型：

N中帶有光滑邊界Ω的有界區(qū)域， u和v分別表示食餌和捕食者的濃度，a和d分別是u和v的最大增長率。mu+n是加法Allee效應(yīng)項，m和n是Allee效應(yīng)常量，反映了Allee效應(yīng)的強(qiáng)弱程度;若m>br，則表現(xiàn)為強(qiáng)Allee效應(yīng)，若m<br，則表現(xiàn)為弱Allee效應(yīng)。pu（1+bu）（1+cv）是Crowley￣Martin（C-M）反應(yīng)函數(shù)， 是一類依賴捕食者的經(jīng)典反應(yīng)函數(shù)之一。它與Beddington￣DeAngelis（B-D）反應(yīng)函數(shù)很像， 不同之處在于分母多了體現(xiàn)物種間相互干擾的一項bcuv。而且， C-M反應(yīng)函數(shù)認(rèn)為無論某個捕食者目前是否尋找或處理食餌， 都允許存在捕食者間的干擾， 這是比B-D反應(yīng)函數(shù)優(yōu)越之處， 也非常符合現(xiàn)實中的一些生物現(xiàn)象。因此研究帶有C-M 反應(yīng)函數(shù)的模型具有很大的生物意義。系統(tǒng)（1）中的參數(shù)a，m，n，b，c，d，p，

q，k都是正常數(shù)。u0（x），v0（x）是連續(xù)函數(shù)。

近年來，隨著全球環(huán)境的不斷變化，很多種群會受到Allee效應(yīng)的影響。Allee效應(yīng)會影響種群系統(tǒng)的穩(wěn)定性，甚至導(dǎo)致某些種群滅亡。因此， 具有Allee效應(yīng)的模型受到了生物學(xué)家和數(shù)學(xué)家的廣泛關(guān)注[1-8]，其中文獻(xiàn)[4-6]在齊次Neumann邊界條件下討論了具有加法Allee效應(yīng)的捕食-食餌模型，文獻(xiàn)[7]討論了具有加法Allee效應(yīng)和B-D反應(yīng)函數(shù)的捕食-食餌模型，利用穩(wěn)定性理論得到了正解的唯一性和穩(wěn)定性。然而由于加法Allee效應(yīng)項的引入使得系統(tǒng)的研究變得復(fù)雜， 所以目前在齊次Dirichlet邊界條件下對帶有加法Allee效應(yīng)和C-M反應(yīng)函數(shù)的捕食-食餌擴(kuò)散模型的研究很少見。

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（責(zé)任編輯：周曉南）