“變題”的方法與技術(shù)

鄧彥軍

關(guān)鍵詞：變題；相似；創(chuàng)新；最小值

執(zhí)教二十年的我，隨時(shí)都在思考如何讓抽象的教學(xué)概念，數(shù)學(xué)問題與學(xué)生的生活實(shí)踐、知識(shí)儲(chǔ)備、思維規(guī)律相適應(yīng)，打造高效課堂，提高教育教學(xué)質(zhì)量，培養(yǎng)學(xué)生合作探究的習(xí)慣，提高發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題的能力。形成良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，為以后的學(xué)習(xí)和工作打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。帶著這個(gè)夢(mèng)想，我一直在教學(xué)一線上不斷嘗試“變題”的這一教學(xué)模式，使枯燥乏味的數(shù)學(xué)問題簡(jiǎn)單化，使學(xué)生輕松的走出題海，取得優(yōu)異的成績(jī)。

“變題”在數(shù)學(xué)教學(xué)中有著很重要的作用，通過變題可以加深對(duì)知識(shí)的理解，通過變題可以更加突出知識(shí)的本質(zhì)，揭示知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，豐富教學(xué)方式，幫助學(xué)生學(xué)學(xué)會(huì)、會(huì)學(xué)、活學(xué)知識(shí)，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的能力。變題方法在教學(xué)中老師要善于分析問題，對(duì)問題進(jìn)行有效重組，堅(jiān)持求同存異的原則，提高習(xí)題的質(zhì)量，這樣才能更好地進(jìn)行變題訓(xùn)練。

一、形式相似，本質(zhì)類同式變題。此類變題較普遍，一般是在新知識(shí)講解中運(yùn)用，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行正遷移，不僅利于掌握新知識(shí)，也能讓學(xué)生對(duì)已有知識(shí)加以鞏固。例如在講了平行線等分線線定理后有一道習(xí)題為：

已知：如圖1：AB//CD連接AC與BD相交于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作MN//AB交BC于點(diǎn)W

求證：

證明：∵AB//MN CD//MN

即：（1）+（2）得：

故：

變題1（如圖2）當(dāng)AB⊥BC CD ⊥BC垂足分別為點(diǎn)B C，連接AC，BD相交于點(diǎn)M ，過點(diǎn)M作MN ⊥BC ， 垂足為點(diǎn)N

結(jié)論 是否照樣成立？答案是肯定的。

∵AB⊥BC CD⊥BC MN⊥BC

∴AB//MN MN//CD 又回到上題中去了！

變題2（如圖3）若前提條件不變，AB=3 cm CD=4 cm

求 MN的長(zhǎng)（利用前面結(jié)論即可求出）

變題3（如圖4）：連接AC與BD相交于點(diǎn)M，不過點(diǎn)M作平行線或垂線而是連接AD

則易證：（1）SΔBCM = SΔAMD

（2）SΔBCM.·SΔBCM = SΔABM ·SΔCMD

這一結(jié)論的運(yùn)用在數(shù)學(xué)考試中會(huì)經(jīng)常出現(xiàn)。

通過這樣形式相似本質(zhì)類同的變題，可以讓學(xué)生將知識(shí)進(jìn)行內(nèi)在的聯(lián)系，主動(dòng)建構(gòu)知識(shí)，加深對(duì)知識(shí)的理解。

二、形式相似，本質(zhì)不同。此類變題是以學(xué)生看似很難，但它還是不會(huì)脫手課本上所學(xué)的基本知識(shí)，只有吃透、理解、思考時(shí)才會(huì)得心應(yīng)手，輕車熟路。例如，近幾年陜西中考題填空題的最后一題，都是求線段或面積的最大值或最小值，其實(shí)質(zhì)還是利用了課本上：直線外一點(diǎn)與已知直線上點(diǎn)的所有連線段中，垂線段最短。

（一）變題1（如圖5）若點(diǎn)C是⊙O中AB弦上的任意一點(diǎn)且OC⊥CD 若AB=2 ；求CD的最大值

分析：連接OD 易知OD=R，在RTΔOCD中斜邊一定，要求CD最大值，只須OC最小或最短，即過點(diǎn)O向AB作垂線，垂足為點(diǎn)C，根據(jù)垂徑定理易知

變題2（如圖6）在RTΔABC中，∠C =900 AC=3 BC=4， ⊙C 的半徑為1，P點(diǎn)是AB上的任意一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過P點(diǎn)向⊙C 引一條切線，則最短的切線長(zhǎng)。

分析：∵切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑

∴半徑一定，要切線長(zhǎng)最短，只能PC最短

故：P點(diǎn)的位置應(yīng)是過點(diǎn)C向AB做垂線時(shí)垂足的位置

易知

變題3（如圖7）在RTΔABC中，∠C=900 AC=BC=4，∠1=∠2，點(diǎn)Q和P分別是AD 和AC上任意一點(diǎn)，求CQ+PQ的最小值，且在圖中標(biāo)出Q和P的準(zhǔn)確位置。

分析：要使CQ+PQ最短，顯然要利用兩點(diǎn)之間線段最短，故過點(diǎn)C作CM⊥AB交AD于一點(diǎn)即為Q點(diǎn)，PQ要最短，易知過Q點(diǎn)作QP⊥AC，交點(diǎn)即為P點(diǎn)，易證QP=QM

所以，CQ+PQ=CQ+QM=CM=2

變題4（如圖8）在RTΔABC中∠C=900 AC=BC=2，D點(diǎn)是 AB上任意一點(diǎn)，求ΔPCD的周長(zhǎng)最小值。

分析：要求ΔPCD的周長(zhǎng)最小值CD的長(zhǎng)度一定，因此只要PC+PD最短，故過點(diǎn)C作CO⊥AB且OM=OC，連接BM，AM，PM 易知四邊形AMBC為正方形， PM=PC，

故，PC+PD+CD=PM+PD+CD=MD+CD= +1

（二）如圖4-3- 8，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1， 0），點(diǎn)B在直線y=x上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)線段AB最短時(shí)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（ ）.

A（0，0）

B（ ）

C（ ）

D（ ）

分析如圖4-3-8，先過點(diǎn)A作AB'⊥OB，垂足為B'，由垂線段最短可知，當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)B'重合時(shí)，AB最短。因?yàn)辄c(diǎn)B在直線y=x上運(yùn)動(dòng)，所以

∠AOB' =45°。

因?yàn)锳B'⊥OB，所以△AOB'是等腰直角三角形，過點(diǎn)B'作B'C⊥x軸，垂足為C，所以△B'CO為等腰直角三角形，因?yàn)辄c(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1， 0），所以 ，所以點(diǎn)B'的坐標(biāo)為（ ），即線段AB最短時(shí)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（ ）.

答案 B

（三）如圖4-Z-8，直線y= x+ 4與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A和B，C，D分別為線段AB，OB的中點(diǎn)，點(diǎn)P為OA上一動(dòng)點(diǎn)，PC+PD值最小時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（ ）

A.（﹣3，0）

B.（﹣6，0）

C.（﹣ ，0）

D.（﹣ ，0）

圖4-Z-8分析作點(diǎn)D關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)D'，連接CD′交x軸于點(diǎn)P，此時(shí)PC+PD值最小，如圖4-Z-8所示，令y= x+4中x=0，則y=4所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，4），令y= x+4中y=0，則 x+4=0，解得x=-6，所以點(diǎn)A的坐標(biāo)是（- 6，0）.因?yàn)镃， D分別為線段AB， OB的中點(diǎn)，所以C的坐標(biāo)為（ - 3， 2），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，2）因?yàn)辄c(diǎn)D'和點(diǎn)D關(guān)于x軸對(duì)稱，所以點(diǎn)D'的坐標(biāo)為（0， -2）.設(shè)直線CD'的函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b（k|0）.因?yàn)橹本€CD'過點(diǎn)C（ - 3，2）， D' （0， -2）， 所以b= - 2①， -3k+b=2②，把①代入②，得k=- ，所以直線CD'的函數(shù)表達(dá)式為y= -.令y= -中y=0，則0=-，解得x= - 所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣ ，0），故選C

答案C

三、對(duì)變題的反思

一個(gè)人智慧的高低，可以從他思維的靈敏度、清晰度、廣泛度反映出來，我們要培養(yǎng)和造就無數(shù)的有慧心、有靈氣、會(huì)學(xué)習(xí)、有創(chuàng)新能力的人，就要教會(huì)科學(xué)的思維方法，挖掘自身潛能，提高學(xué)習(xí)效率和整體素質(zhì)。通過變題的訓(xùn)練，開闊了學(xué)生的視野，同時(shí)又取得了舉一反三、觸類旁通的效果，變題不僅能鞏固基礎(chǔ)知識(shí)，而且能深刻提示問題的內(nèi)在本質(zhì)屬性。多層次，多角度地培養(yǎng)和鍛煉發(fā)散思維能力。因此老師在講變題時(shí)，首先應(yīng)注意基礎(chǔ)知識(shí)的教學(xué)，再發(fā)散他們的思維，但也不能設(shè)置過難、過偏的題形，這樣會(huì)讓學(xué)生感到不知所措?？傊?，變題后引導(dǎo)學(xué)生對(duì)問題進(jìn)行觀察、分析、歸納、類比、抽象、概括，讓學(xué)生體會(huì)變題帶來的樂趣，享受探究帶來的成就感，逐步養(yǎng)成學(xué)生獨(dú)立思考、積極探究的習(xí)慣，并懂得如何學(xué)數(shù)學(xué)。