淺析數(shù)學(xué)概念教學(xué)設(shè)計(jì)的解決策略

陳文生

摘??要：數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)思維的基本形式，是數(shù)學(xué)基本技能形成與提高的必要條件，作為數(shù)學(xué)教學(xué)不可或缺的一個(gè)環(huán)節(jié)，概念教學(xué)關(guān)系到學(xué)生能否弄清相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)，正確理解并熟練運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題.在實(shí)際教學(xué)中，概念教學(xué)對(duì)例題引入和問(wèn)題設(shè)計(jì)的局限性使并沒(méi)有發(fā)揮出來(lái)其價(jià)值，為此，本文主要對(duì)概念教學(xué)中例題設(shè)計(jì)和問(wèn)題設(shè)計(jì)的解決策略進(jìn)行分析.

關(guān)鍵詞：概念教學(xué);例題設(shè)計(jì);策略

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)思維的基本形式，是基本技能形成與提高的必要條件，數(shù)學(xué)概念具有高度抽象性和概括性的特點(diǎn)，數(shù)學(xué)概念與它的性質(zhì)、公式、定理密切連系，比如“對(duì)數(shù)”這個(gè)概念理解不透徹，那么“對(duì)數(shù)函數(shù)”這個(gè)概念理解也不可能到位，更談不上理解“對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)”;比如“等差數(shù)列”這個(gè)概念只要能準(zhǔn)確理解和熟練掌握，那么等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式就能推出和記牢;比如“直線與平面垂直”這個(gè)概念如果不能正確理解和掌握，那么“直線與平面垂直的判定定理”就談不上理解記憶，而只能是死記硬背。

因此概念教學(xué)在數(shù)學(xué)教學(xué)中的地位非常突出，不少教師也都非常重視數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，并且很多有自己獨(dú)到的見(jiàn)解和體會(huì).而筆者所教的學(xué)生是學(xué)前專(zhuān)業(yè)的，她們以后所從事的工作多數(shù)是幼兒教育工作，針對(duì)這種情況，我認(rèn)為概念教學(xué)尤為重要，要擺在更加突出的地位。在這過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，目前概念教學(xué)最大的問(wèn)題并不是如何引人概念，如何剖析概念，如何應(yīng)用概念;而是有一些教師沒(méi)有選擇恰當(dāng)?shù)睦}與合適的問(wèn)題設(shè)計(jì)，沒(méi)有意識(shí)到例題的重要性，僅僅是形象性地、比喻性地給學(xué)生解釋概念，所以教學(xué)效果不好，既不能使學(xué)生準(zhǔn)確理解概念，也不能使學(xué)生正確掌握概念.為此，筆者就概念教學(xué)中的例題設(shè)計(jì)與問(wèn)題設(shè)計(jì)環(huán)節(jié)來(lái)談?wù)勛约旱男牡皿w會(huì)。

（一）概念引入時(shí)強(qiáng)調(diào)產(chǎn)生這個(gè)概念的問(wèn)題情境

從無(wú)到有，學(xué)生必須要有一個(gè)契合處，以緩解新的概念對(duì)思維產(chǎn)生的“碰撞”。概念的引人意在新舊知識(shí)點(diǎn)或數(shù)學(xué)模型中找到一個(gè)結(jié)契合點(diǎn)，以實(shí)現(xiàn)新知自然銜接、過(guò)渡的目的.從學(xué)生對(duì)知識(shí)的認(rèn)知規(guī)律來(lái)看，對(duì)抽象、概括事物的認(rèn)識(shí)、理解需要一個(gè)具體化、形象化的過(guò)程.因此，教師在概念的教學(xué)過(guò)程中，要想方設(shè)法借助學(xué)生熟悉的或引起興趣的問(wèn)題情境選取較多的合適的例題與問(wèn)題設(shè)計(jì)。

點(diǎn)滴滲透引出“數(shù)列”概念：

情景一、讓同學(xué)們看運(yùn)載火箭發(fā)射升空倒計(jì)時(shí)10、9、8、7、6、5、4、3、2、1瞬間激動(dòng)情景.讓學(xué)生從中抽象出一列數(shù).

情景二、從古語(yǔ)出發(fā)：一尺之棰，日取其半.萬(wàn)世不竭.讓學(xué)生做數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)“撕紙尺”。體會(huì)古語(yǔ)中的數(shù)學(xué)含義。

情景三、貼近學(xué)生的專(zhuān)業(yè)，分小組讓學(xué)生課前收集必須是帶數(shù)的兒歌，留作課上分享.然后在課上讓學(xué)生從兒歌中找出隱藏著數(shù).將它們組合成一列列數(shù)。不同的學(xué)生會(huì)得到不同的一列數(shù)。通過(guò)上述事例引出數(shù)列概念的講解。

突出數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)情境引出“橢圓”?概念：

在上“橢圓”這個(gè)概念教學(xué)時(shí)，因?yàn)閷W(xué)前專(zhuān)業(yè)的學(xué)生每人都有一個(gè)畫(huà)板，所以數(shù)學(xué)教師上課時(shí)可以讓學(xué)生取出事先準(zhǔn)備好的一條一定長(zhǎng)的細(xì)繩，把它的兩端固定在畫(huà)板上的和兩點(diǎn)上，當(dāng)繩長(zhǎng)大于和兩點(diǎn)間的距離時(shí)，用2B鉛筆尖在畫(huà)板上繃緊細(xì)線慢慢拖動(dòng)，這樣鉛筆就畫(huà)出一條曲線，教師問(wèn)：同學(xué)們手中畫(huà)的是什么圖形？學(xué)生回答：這是橢圓。教師又問(wèn)：你會(huì)畫(huà)橢圓嗎？學(xué)生回答：會(huì)畫(huà)。怎樣做才能使畫(huà)的圖形是橢圓？從而引出橢圓概念的講解。在講解“橢圓”概念時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生理解畫(huà)板相當(dāng)于平面，鉛筆尖相當(dāng)于動(dòng)點(diǎn)，細(xì)線繃緊相當(dāng)于動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)和上的距離之和為定長(zhǎng)。

問(wèn)題設(shè)計(jì)引出“補(bǔ)集”概念：

觀察下面三個(gè)集合：U={x|x是學(xué)前一系18（1）班的學(xué)生}，A={x|x是學(xué)前一系18（1）班的男學(xué)生}，B={x|x是學(xué)前一系18（1）班的女學(xué)生}。分析上面三個(gè)集合U，A，B的關(guān)系，從而引出補(bǔ)集的概念。

創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境和動(dòng)手做數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是概念引人中常用的方式方法，它不僅能夠?yàn)楦拍畹膶?dǎo)入做有效的鋪墊，而且還能夠引起學(xué)生的好奇心和求知欲。也能使學(xué)生對(duì)概念的理解起到很好的幫助作用。

（二）概念剖析時(shí)抓住概念內(nèi)在含義和本質(zhì)

引人概念之后，學(xué)生雖對(duì)其有了基本的印象，但仍處于初步理解的狀態(tài)，易出現(xiàn)概念的理解不到位現(xiàn)象，特別是數(shù)學(xué)概念大多抽象性和概括性較強(qiáng)，需要逐字逐句的分析、找出關(guān)鍵詞并剖析到位，只有這樣才能使學(xué)生準(zhǔn)確理解和掌握它。

（1）剖析概念中關(guān)鍵詞的含義???準(zhǔn)確掌握概念

某些關(guān)鍵詞能揭示概念的本質(zhì)，之所以有些學(xué)生對(duì)少數(shù)概念理解不到位，是由于沒(méi)能抓住關(guān)鍵詞。比如說(shuō)對(duì)原始概念的理解便是如此，從而為后繼知識(shí)的學(xué)習(xí)埋下隱患，使學(xué)習(xí)效果大打折扣.因此，教師必須要強(qiáng)調(diào)關(guān)鍵詞，并通過(guò)淺顯易懂的方式進(jìn)行講解和剖析，確保每一位學(xué)生都能真正理解和掌握。

如在“集合”的學(xué)習(xí)中，要強(qiáng)調(diào)“集合”是一個(gè)原始概念，是不可能下定義的，因此不能用“叫做”這兩個(gè)字，只能用描述性的語(yǔ)言表述為：在一定范圍內(nèi)某些確定的、不同的對(duì)象的全體能構(gòu)成一個(gè)集合。教師可通過(guò)實(shí)例：（1）我們班中的每一名學(xué)生都是確定的，而且也沒(méi)有相同的，因此我們班學(xué)生的全體能構(gòu)成一個(gè)集合。（2）我們班中的漂亮的女學(xué)生是不確定的，因?yàn)椤捌痢边@個(gè)詞沒(méi)有精確的定義，所以我們班漂亮的女學(xué)生不能構(gòu)成一個(gè)集合。（3）“hello”中的英文字母的全體”能構(gòu)成一個(gè)集合，因?yàn)樵摷现械牟煌⑽淖帜钢荒苁莌，e，l，o四個(gè)，盡管l這個(gè)字母在單詞“hello”出現(xiàn)過(guò)兩次，但也只能在該集合中看成一個(gè)。

通過(guò)以上實(shí)例讓學(xué)生們深刻理解“集合”這個(gè)概念中的“確定的”、“不同的”兩個(gè)關(guān)鍵詞的準(zhǔn)確含義。

如在“數(shù)列”的學(xué)習(xí)中，數(shù)列的定義為：按一定次序排列的一列數(shù).看似簡(jiǎn)單的一句話，學(xué)生理解起來(lái)卻并不樂(lè)觀.很多學(xué)生對(duì)于“一定次序”四個(gè)字理解不到位，怎么樣才算是‘一定次序’？”教師可以通過(guò)書(shū)本中一個(gè)例子：我國(guó)參加6次奧運(yùn)會(huì)獲金牌數(shù)依次為15，5，16，16，28，32，如果交換其中的數(shù)字5和16的位置，還能表達(dá)原來(lái)的含義嗎？

顯然不能，通過(guò)這個(gè)例子的講解來(lái)幫助學(xué)生理解“一定次序”的準(zhǔn)確含義;“同學(xué)們都知道1，3，5，7，…是數(shù)列，那么1，3，1，3，1，3，…是否也算是數(shù)列呢？?2，4，6，8，10和10，8，6，4，2是不是屬于同一數(shù)列？”在學(xué)生分組討論之后，教師強(qiáng)調(diào)關(guān)鍵詞?“一定次序”的含義，這樣學(xué)生自然就能得出結(jié)論：如果組成兩個(gè)數(shù)列的數(shù)是相同的而排列次序是不同的，那么它們就是不同的數(shù)列;既然定義中并沒(méi)有規(guī)定數(shù)列中的數(shù)必須不同，那么同一個(gè)數(shù)在數(shù)列中可以重復(fù)出現(xiàn)。

（2）逐層分析，通過(guò)歸納現(xiàn)象找出規(guī)律，從而抓住概念的內(nèi)在含義。

數(shù)學(xué)概念中符號(hào)式子具有高度的概括性，教師可以通過(guò)對(duì)符號(hào)式子進(jìn)行逐層分析來(lái)理清概念的內(nèi)在含義，從而達(dá)到抓住概念本質(zhì)的目的.因此，教師在概念教學(xué)的過(guò)程中，要注意逐層地對(duì)概念進(jìn)行展開(kāi)分析整理，一方面深化學(xué)生對(duì)概念的理解和掌握，另一方面以培養(yǎng)學(xué)生思維的周密性、嚴(yán)謹(jǐn)性。

如在“奇函數(shù)概念”的學(xué)習(xí)中，教師可將其從圖形與數(shù)式兩方面進(jìn)行分解，通過(guò)觀察圖形，發(fā)現(xiàn)當(dāng)自變量取一對(duì)相反數(shù)時(shí)，通過(guò)計(jì)算得亦取得相反數(shù)，可得出它們關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)對(duì)稱(chēng);例如，，…，進(jìn)一步分析可知圖像上的每一點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)都有對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，而每一點(diǎn)都和唯一的一個(gè)數(shù)對(duì)一一對(duì)應(yīng)，也就是它們的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)也互為相反數(shù)，用數(shù)學(xué)式子可高度概括表示為：。同樣在“偶函數(shù)概念”的學(xué)習(xí)中，教師可讓學(xué)生仿照“奇函數(shù)概念”的講解過(guò)程進(jìn)行類(lèi)比對(duì)照理解學(xué)習(xí)。然后再?gòu)?qiáng)調(diào)：（1）式子中的與的含義是代表著定義域中的任意一對(duì)相反數(shù)，即“函數(shù)的定義域必須關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)”;（2）“定義域內(nèi)任一個(gè)”是指對(duì)定義域內(nèi)的每一個(gè)（3）判斷函數(shù)奇偶性的第一步是看定義域。通過(guò)這樣由表及里的剖析、講解，學(xué)生對(duì)概念的理解也能夠從表層深人到其本質(zhì)。

如數(shù)列與數(shù)集的關(guān)系的學(xué)習(xí)，

解決方法：以問(wèn)題串的形式，逐層深入探究數(shù)列與數(shù)集的關(guān)系.

問(wèn)題1我們發(fā)現(xiàn)數(shù)列與我們學(xué)過(guò)的一個(gè)數(shù)學(xué)概念很像，那是什么？

是數(shù)集。

問(wèn)題2它們一樣嗎？能總結(jié)出二者的區(qū)別嗎？不妨小組討論一下.

不一樣。數(shù)列中的項(xiàng)要求按“一定次序”排列，數(shù)列中的項(xiàng)可以重復(fù);數(shù)集中元素的排列不要求按次序排列，但數(shù)集中的元素不允許重復(fù)。

問(wèn)題3數(shù)列不同于數(shù)集，最根本的原因是？

數(shù)列要求序號(hào)和數(shù)是一一對(duì)應(yīng)的，即序號(hào)和項(xiàng)是一一對(duì)應(yīng);而數(shù)集沒(méi)有以上要求。

從而又引出數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系的學(xué)習(xí)

解決方法：以問(wèn)題串的形式.逐層深入探究數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系.

問(wèn)題1函數(shù)有三要素，哪三要素？

問(wèn)題2數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系？

數(shù)列是特殊的函數(shù)：數(shù)列可以看成以正整數(shù)集（或它的有限子集{1，2，3，…，k?}）為定義域的函數(shù)，當(dāng)自變量按從小到大的順序依次取值時(shí)所對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值。

如數(shù)列?3，5，7，9，11

它可以看成自變量為的函數(shù)，即

（3）注意概念比較、歸納，區(qū)分概念的異同。

數(shù)學(xué)中有些概念之間聯(lián)系緊密，在表述上也只有微小的差別.不少學(xué)生對(duì)概念的記憶是機(jī)械的，因此常常把一些相似概念搞混淆.為了避免學(xué)生犯此類(lèi)低級(jí)錯(cuò)誤，教師在概念的教學(xué)過(guò)程中，要注意相似概念之間的比較，并通過(guò)歸納、總結(jié)概念之間的異同，來(lái)揭示它們之間的聯(lián)系和區(qū)別.

生活用語(yǔ)中的“或”與邏輯用語(yǔ)中的“或”的區(qū)別：生活用語(yǔ)中“或”的含義為兩者之一，不兼有;而數(shù)學(xué)的含義為兩者至少有一個(gè)，可兼有。

命題的否定與否命題的區(qū)別：命題“大于1的數(shù)是正數(shù)”的否定是什么？其否命題是什么？命題的否定：大于1的數(shù)不是正數(shù);其否命題：不大于1的數(shù)不是正數(shù)。命題的否定只否定結(jié)論;否命題則既否定條件也否定結(jié)論。

（三）概念應(yīng)用時(shí)注重探究質(zhì)疑

概念的應(yīng)用是用來(lái)檢驗(yàn)學(xué)生在現(xiàn)實(shí)生活中對(duì)已掌握的概念運(yùn)用情況，看看學(xué)生能否達(dá)到徹底吃透和掌握概念.概念應(yīng)用階段是從教師講授到學(xué)生自主探究的過(guò)程.從“概念引人”到“概念分析”，教師對(duì)學(xué)生的知識(shí)輸人已達(dá)到飽和狀態(tài)，此時(shí)教師要將自主權(quán)交還給學(xué)生，使他們最大限度地發(fā)揮自主性，以概念為切人點(diǎn)，對(duì)新知進(jìn)行探索，從而避免學(xué)生學(xué)習(xí)走人“紙上談兵”的誤區(qū)。

（1）倡導(dǎo)自主探究、協(xié)作交流

自主探究、合作交流是概念應(yīng)用過(guò)程中極其重要的一個(gè)環(huán)節(jié)，隨著學(xué)生對(duì)概念認(rèn)識(shí)的深化，以概念為抓手的數(shù)學(xué)探究活動(dòng)對(duì)于發(fā)散學(xué)生的思維、提高他們合作探究的能力具有重要的作用.因此，教師要在應(yīng)用的過(guò)程中給學(xué)生創(chuàng)造廣闊的自主探究平臺(tái)，使學(xué)生在動(dòng)手操作、協(xié)作交流討論的過(guò)程中對(duì)概念有更深層次的認(rèn)識(shí)和理解。

如在學(xué)習(xí)“數(shù)學(xué)建?！备拍钫n時(shí)，案例為利潤(rùn)最優(yōu)化模型。

【問(wèn)題表述】

上海某一個(gè)五星級(jí)賓館有1500個(gè)客房。經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的市場(chǎng)調(diào)查，客房部經(jīng)理得到一些數(shù)據(jù)：如果每間客房定價(jià)1600元，住房率為55%;每間客房定價(jià)1400元，住房率為65%;每間客房定價(jià)1200元，住房率為75%;每間客房定價(jià)1000元，住房率為85%。欲使每天收入最高，問(wèn)每間住房的定價(jià)應(yīng)為多少？

【模型分析】

從材料中你能獲得并收集到哪些有用的信息？首先，旅館的入住率是隨著客房定價(jià)的增加而降低的;其次，入住率是隨著客房定價(jià)的增加呈現(xiàn)的是線性遞減趨勢(shì)。

【模型假設(shè)】

為了便于建立旅館的收入模型，特做如下假設(shè)：

假設(shè)一??再無(wú)其他信息時(shí)，不妨假設(shè)每間客房的最高定價(jià)為1600元：

假設(shè)二??根據(jù)經(jīng)理提供的數(shù)據(jù)，設(shè)隨著房?jī)r(jià)的下降，住房率呈線性增長(zhǎng)：

假設(shè)三??設(shè)旅館每間客房定價(jià)相等。

【模型建立與求解】

從假設(shè)和已知數(shù)據(jù)中能得出一些有用的東西嗎？未知量與已知數(shù)據(jù)有什么聯(lián)系？根據(jù)題意，設(shè)旅館一天的總收入為y元，而為與1600元相比降低的房?jī)r(jià)。

由假設(shè)二，可得每降低1元房?jī)r(jià)，住房率增加為【模型討論】

能用具體數(shù)據(jù)檢驗(yàn)這個(gè)結(jié)果嗎？列舉幾個(gè)定價(jià)可以得到如下表所示的總收入：

實(shí)際上，1366875元在已知各個(gè)定價(jià)對(duì)應(yīng)的收入中是最大的，但是不可能實(shí)現(xiàn)，因?yàn)槎▋r(jià)為1350元，收入至少是10的倍數(shù)，這是理論與實(shí)際的差距。

【建模體會(huì)與反思】

用函數(shù)的方法研究實(shí)際問(wèn)題能夠獲得最大利潤(rùn)，能夠解決最優(yōu)化問(wèn)題，盡管得到的結(jié)果可能與實(shí)際有出入，但是，它的建模和求解過(guò)程已經(jīng)告訴我們答案了：數(shù)學(xué)是有用的，數(shù)學(xué)是可靠的。傳統(tǒng)數(shù)學(xué)應(yīng)用題的問(wèn)題明確，條件一般都是充分的，而數(shù)學(xué)建模的問(wèn)題一般來(lái)自實(shí)際，問(wèn)題中的條件往往是不充分的、開(kāi)放的或多余的，有時(shí)甚至要求學(xué)生自己動(dòng)手去收集數(shù)據(jù)、處理信息。在建模的過(guò)程中作一定的假設(shè)是必須的，而傳統(tǒng)數(shù)學(xué)應(yīng)用題一般不需要假設(shè)。數(shù)學(xué)建模的討論與驗(yàn)證比傳統(tǒng)數(shù)學(xué)應(yīng)用題的檢驗(yàn)要復(fù)雜得多，不僅要驗(yàn)證所得到的模型解是否符合，而且要考察它們與假設(shè)是否矛盾，與實(shí)際是否吻合等等。

通過(guò)小組成員之間的合作與探討從而加深對(duì)“數(shù)學(xué)建模”含義的理解。

（2）辨析質(zhì)疑

正如亞里士多德所說(shuō)：“思維從疑問(wèn)和驚奇開(kāi)始.”反思、質(zhì)疑是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)深化的重要途徑.在質(zhì)疑的過(guò)程中，學(xué)生往往能夠在細(xì)小的“漏洞”中，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題，窺見(jiàn)具有一般性的數(shù)學(xué)規(guī)律.因此，教師在概念的應(yīng)用過(guò)程中要鼓勵(lì)學(xué)生敢于質(zhì)疑、敢于發(fā)問(wèn)，以培養(yǎng)他們的思辨能力和質(zhì)疑精神。

如在學(xué)習(xí)“函數(shù)”的概念之后，不少學(xué)生雖然對(duì)“定義域”印象深刻，但在實(shí)際做題目的運(yùn)用中往往拋之腦后，忽略了定義域優(yōu)先的原則.可以通過(guò)下面例題進(jìn)一步加深對(duì)定義域優(yōu)先的理解。

例如：判斷下列哪些函數(shù)與是同一個(gè)函數(shù)你？說(shuō)明理由

當(dāng)做上述例題出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)，教師不必馬上點(diǎn)評(píng)，可以讓學(xué)生慢慢爭(zhēng)論理會(huì)，使同學(xué)們深刻理解函數(shù)概念中定義域和對(duì)應(yīng)法則的重要性。

除了上述解決方法外，概念教學(xué)中的例題設(shè)計(jì)還有很多應(yīng)當(dāng)值得注意的地方，筆者也不可能一一窮盡，謹(jǐn)以此文來(lái)達(dá)到拋磚引玉吧！總之，關(guān)鍵都在于要以學(xué)生為主體，尊重學(xué)生學(xué)習(xí)的實(shí)際，體現(xiàn)出數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本質(zhì)。