借點子圖之直觀解運(yùn)算律之算理

熊新艷　彭丹

點子圖在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用較廣。在教學(xué)中，利用點子圖這種直觀圖形，既能充分體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，又能體現(xiàn)出數(shù)學(xué)學(xué)科的重要性，還能使學(xué)生更容易理解和接受。

在運(yùn)算律的教學(xué)中，我們發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對運(yùn)算律中算理的掌握和區(qū)分感到困難。那么，在教學(xué)中，能不能利用點子圖，幫助學(xué)生解決運(yùn)算律中關(guān)于算理的困惑呢？又如何利用點子圖的直觀特點，讓點子圖成為一個有效載體，真正讓圖形直觀成為思維的源泉呢？下面筆者結(jié)合自己的教學(xué)實例，以乘法交換律、乘法結(jié)合律及乘法分配律為例，談?wù)勛龇ê腕w會。

理解乘法交換律

利用點子圖的直觀，可以抓住乘法意義的本質(zhì)，以知識本身為基本點，幫助學(xué)生理解、感悟，提升思維品質(zhì)。在乘法交換律中，如何利用點子圖來理解其算理呢？以下圖為例，筆者認(rèn)為可以這樣進(jìn)行，首先出示點子圖，如圖1所示：

橫著看，可以看成5個12相加，寫成乘法算式是12×5;豎著可以看成12個5相加，寫成乘法算式是5×12;接著進(jìn)一步指出，它們表示的是同一個點子圖，點子數(shù)量是不變的，也就是12×5=5×12。這樣，在復(fù)習(xí)鞏固乘法意義的同時，自然而然地就引出了乘法交換律。然后，可以出示更多的點子圖進(jìn)行擴(kuò)展、推廣，進(jìn)行驗證，最后用字母表示，得出乘法交換律的一般式a×b=b×a。這樣，用點子圖直觀呈現(xiàn)的方式，學(xué)生更容易理解，更容易接受，印象更深刻，同時，在這個過程中，逐步養(yǎng)成舉例驗證的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)求實的科學(xué)態(tài)度。

理解乘法結(jié)合律

在教乘法結(jié)合律時，都是通過對算式的計算來引入的。如通過計算（6×2）×5和6×（2×5），計算哪一個算式的速度快些，使學(xué)生自己體會到得到整十?dāng)?shù)、整百數(shù)等會使計算速度快的感悟。學(xué)生自己有了深刻的體驗，感受到學(xué)習(xí)乘法結(jié)合律的必要性，知道運(yùn)用乘法結(jié)合律可以使計算變得簡便。那么，為什么可以這樣算，其計算道理又在哪里？學(xué)生會感到一定困難，可以借助點子圖來幫助學(xué)生理解。根據(jù)上面的算式，可以出示點子圖，如圖2所示：

橫著看，每行的點子數(shù)是2個6，寫成算式是6×2，共5行，因此圖2中點子總數(shù)是：（6×2）×5。也可以看成每行有2個格子，有5行，共有2×5個格子，每個格子里面有6個點，圖2中點子總數(shù)是：6×（2×5）。接著進(jìn)一步指出，他們的表示的是同一個點子圖，點子數(shù)量是不變的，也就是：（6×2）×5=6×（2×5）;這樣一來，學(xué)生就理解到了數(shù)量的多少這一本質(zhì)沒有變。同理，我們可以出示更多的點子圖進(jìn)行擴(kuò)展、推廣，進(jìn)行驗證，最后用字母表示，得出乘法結(jié)合律的一般式（a×b）×c=a×（b×c）。在這個過程中，通過點子圖，采用數(shù)形結(jié)合的思想，使學(xué)生明白了乘法給合律的算理，掌握了其本質(zhì)，培養(yǎng)了數(shù)感，然后通過練習(xí)，達(dá)到熟練運(yùn)用的目的。

理解乘法分配律

在乘法分配律的教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生屢屢犯錯，其根本原因就是：沒有很好地在頭腦中構(gòu)建“形”和“質(zhì)”之間的聯(lián)系，沒有把握乘法分配律的形變而質(zhì)不變的（即量的守恒）這一本質(zhì)。乘法分配律成為小學(xué)生學(xué)習(xí)的難點和易錯點。如何突破乘法分配律的教學(xué)難點，讓學(xué)生理解其算理，讓學(xué)生靈活地掌握解決此類問題的方法，筆者認(rèn)為，借用點子圖的直觀，可以讓學(xué)生理解并掌握。如圖3所示：

先把每一行的12個點子分成兩個部分，即2個點和10個點，橫著看，每一行都是（2+10），共有5行，求總共的點子數(shù)，可以列式（2+10）×5個。再豎著看，分成左右兩個部分，左邊點子數(shù)是5個2，即（2×5）個，右邊點子數(shù)是5個10，即（10×5）個，總共的點子數(shù)就是2×5+10×5。不管從哪個角度看，不管用哪種方法算，數(shù)量的多少沒有變，即：（2+10）×5=2×5+10×5。

由此擴(kuò)展、推廣，進(jìn)行更多的驗證，從特殊到一般，進(jìn)行歸納總結(jié)，得出一般式：（a+b）×c=a×c+b×c。

在這個過程中，以點子圖作為支撐，采用數(shù)形結(jié)合的思想，加深對“量不變”這一本質(zhì)的理解，利用學(xué)生已有的知識經(jīng)驗和對圖形的敏感，真實、真正準(zhǔn)確地把握了乘法分配律的算理和本質(zhì)，突破學(xué)習(xí)難點。

借助點子圖的直觀，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，提供給學(xué)生支撐點，讓學(xué)生有思維的源泉，他們就能在其中找到并理解知識的本質(zhì)，既明白了聯(lián)系，又凸顯了區(qū)別，還能提升思維品質(zhì)，讓學(xué)生受益。

（作者單位：廣東省深圳市南山區(qū)同樂學(xué)校）