矩陣乘積的不同定義及其應(yīng)用

趙小鵬 謝德曉

【摘要】：矩陣乘法在代數(shù)理論中用處廣泛，對(duì)于低階矩陣來(lái)說(shuō)往往比較容易。而對(duì)于高階矩陣，合理的分塊將對(duì)于矩陣?yán)碚撗芯坑兄陵P(guān)重要的作用，本文以常用分塊矩陣思想為出發(fā)點(diǎn)，剖析其矩陣乘積的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)。

【關(guān)鍵詞】：分塊矩陣? 矩陣乘積? 向量組的秩

一、矩陣的定義

1.矩陣乘積的一般定義：

i.矩陣的A列數(shù)等于矩陣B的行數(shù);

ii.矩陣乘積AB的行數(shù)等于矩陣A的行數(shù)，列數(shù)等于矩陣的列數(shù)。

2.分塊矩陣下矩陣乘積的定義：

我們知道對(duì)于任意m×n的矩陣，行與列都可切割成若干組，且行與列組成若干個(gè)子矩陣，如果把矩陣A看成是由若干個(gè)子矩陣組成的，那么就完成了矩陣的分塊。

對(duì)于矩陣A與B的乘積AB來(lái)說(shuō)，（以下假定矩陣AB有意義）矩陣A與B切割只要能使矩陣乘積AB有意義的切割都是可行的，以下列舉常用四種以分塊矩陣研究矩陣乘積定義的方法：

二、實(shí)例分析

典例1：利用分塊思想來(lái)證明矩陣乘積的秩的關(guān)系

典例2：分塊矩陣定義在解決高階行列式中的優(yōu)越性

三、總結(jié)

對(duì)于計(jì)算低階矩陣乘積來(lái)說(shuō)往往最基本的定義就已足夠，但大多情況下在研究高階矩陣時(shí)，不論是計(jì)算還是理論知識(shí)矩陣乘積一般定義就顯得不夠直觀(guān)，利用矩陣分塊的思想一分為二地的看待問(wèn)題時(shí)能夠簡(jiǎn)便許多;實(shí)踐證明：合理的切割分塊將有利于我們更好地去研究矩陣，這樣不僅把所謂的高階矩陣的“階數(shù)”降低而且使得分塊化的矩陣結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)潔明了。適當(dāng)?shù)奶幚砼c合理聯(lián)系矩陣其固有性質(zhì)有利于矩陣的秩、維數(shù)以及線(xiàn)性方程組的有關(guān)證明。

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