用非線性規(guī)劃方法證明均值不等式

王偉業(yè) 路宇 李曉寒

[摘 ?要：關(guān)于均值不等式的證明方法有很多，數(shù)學(xué)歸納法（第一數(shù)學(xué)歸納法或反向歸納法）、拉格朗日乘數(shù)法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等，都可以證明均值不等式。現(xiàn)在來(lái)考慮用非線性規(guī)劃的方法來(lái)證明[An≤Qn]，其中，[An=i=1nxin=x1+x2+…+xnn，Qn=i=1nx2in=x21+x22+…+x2nn]。非線性規(guī)劃研究的對(duì)象是非線性函數(shù)的數(shù)值最優(yōu)化問(wèn)題，它的理論和方法滲透到許多方面，特別是在軍事、經(jīng)濟(jì)、管理、生產(chǎn)過(guò)程自動(dòng)化、工程設(shè)計(jì)和產(chǎn)品優(yōu)化設(shè)計(jì)等方面都有著重要的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：非線性規(guī)劃;均值不等式;K-T條件]

一、非線性規(guī)劃概述

非線性規(guī)劃（nonlinear programming）是具有非線性約束條件或目標(biāo)函數(shù)的數(shù)學(xué)規(guī)劃，是運(yùn)籌學(xué)的一個(gè)重要分支。非線性規(guī)劃研究一個(gè)n元實(shí)函數(shù)在一組等式或不等式的約束條件下的極值問(wèn)題，且目標(biāo)函數(shù)和約束條件至少有一個(gè)是未知量的非線性函數(shù)。目標(biāo)函數(shù)和約束條件都是線性函數(shù)的情形則屬于線性規(guī)劃。非線性規(guī)劃是20世紀(jì)50年代才開(kāi)始形成的一門(mén)新興學(xué)科。1951年H.W.庫(kù)恩和A.W.塔克發(fā)表的關(guān)于最優(yōu)性條件（后來(lái)稱(chēng)為庫(kù)恩-塔克條件）的論文是非線性規(guī)劃正式誕生的一個(gè)重要標(biāo)志。在50年代還得出了可分離規(guī)劃和二次規(guī)劃的n種解法，它們大都是以G.B.丹齊克提出的解線性規(guī)劃的單純形法為基礎(chǔ)的。50年代末到60年代末出現(xiàn)了許多解非線性規(guī)劃問(wèn)題的有效的算法。20世紀(jì)80年代以來(lái)，隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的快速發(fā)展，非線性規(guī)劃方法取得了長(zhǎng)足進(jìn)步，在信賴域法、稀疏擬牛頓法、并行計(jì)算、內(nèi)點(diǎn)法和有限存儲(chǔ)法等領(lǐng)域取得了豐碩的成果。處理非線性的優(yōu)化問(wèn)題并非易事，它沒(méi)有一個(gè)像線性規(guī)劃中單純形法那樣的通用算法，而是根據(jù)問(wèn)題的不同特點(diǎn)給出不同的解法，因而這些解法均有各自的適用范圍。

二、用非線性規(guī)劃方法證明均值不等式

下文所提到的x均表示n維向量。我們只考慮帶約束的非線性規(guī)劃問(wèn)題[minf（x）s.t.gix≤0hjx=0]，求解這類(lèi)問(wèn)題的方法也稱(chēng)約束最優(yōu)化方法。引進(jìn)它的Lagrange函數(shù)如下：L（x，[α]，[β]）=f（x）+[i=1pαigi]（x）+[j=1qβjhj（x）]，其中系數(shù)[αi]、[βj]叫做Lagrange乘子。利用它的Lagrange函數(shù)，K-T條件可寫(xiě)為[?xLx，α，β=0αigi（x）βjhj（x），]，[?xLx，α，β]表示Lagrange函數(shù)對(duì)變量x的梯度向量。在一般情況下，K-T條件的解稱(chēng)為K-T點(diǎn)，作為K-T點(diǎn)，除了滿足上述條件之外，當(dāng)然還應(yīng)該滿足可行性的條件，求一個(gè)約束非線性化問(wèn)題的K-T點(diǎn)時(shí)，我們往往需要結(jié)合K-T條件與可行性條件。一個(gè)解是約束非線性規(guī)劃問(wèn)題的最優(yōu)解的必要條件是這個(gè)點(diǎn)是K-T點(diǎn)，在一定的凸性條件下，可以證明上述K-T條件亦是約束非線性規(guī)劃問(wèn)題最優(yōu)解的充分條件。

定理1：對(duì)于約束非線性規(guī)劃問(wèn)題，若f，[gi]，[hj]在點(diǎn)x處連續(xù)可微，若約束非線性規(guī)劃問(wèn)題的可行點(diǎn)x滿足它的K-T條件，且f，[gi]是凸函數(shù)，[hj]是線性函數(shù)，則x是約束非線性規(guī)劃問(wèn)題的最優(yōu)解。定理的證明從略。

K-T條件是由Kuhn和Tucker在1951年提出的關(guān)于約束非線性規(guī)劃問(wèn)題最優(yōu)解的著名必要條件。而且對(duì)于一些具有凸性要求的凸規(guī)劃問(wèn)題，Kuhn和Tucker的條件也是它的最優(yōu)解的充分條件。后來(lái)求解約束非線性規(guī)劃的著名方法簡(jiǎn)約梯度法就是基于K-T條件設(shè)計(jì)的。而Kuhn和Tucker提出條件時(shí)也運(yùn)用了數(shù)學(xué)中求極值時(shí)常用的一種方法——拉格朗日乘子法。

下面就利用約束非線性規(guī)劃問(wèn)題的K-T條件來(lái)證明所說(shuō)的均值不等式?？紤]如下凸規(guī)劃：[minfx=i=1nx2is.t.i=1nxi=c]，它的拉格朗日函數(shù)為L(zhǎng)（x，[α]，[β]）=[i=1nx2i]+[β（i=1nxi-c）]，所以可以寫(xiě)出它的K-T條件為[2xi+β=0i=1nxi-c=0]，解它的K-T條件可以得到這個(gè)約束非線性規(guī)劃問(wèn)題的K-T點(diǎn)為[xi]=[cn]，i=1，2，……，n。又因?yàn)榇思s束非線性規(guī)劃問(wèn)題是凸規(guī)劃，所以此解即為原問(wèn)題的最優(yōu)解。把最優(yōu)解帶入原問(wèn)題可得最優(yōu)值為f（x）=[i=1nx2i]=[c2n]=[An]，其中A=[（i=1nxi）2]，所以有n[i=1nx2i≥（i=1nxi）2]，整理即為[An≤Qn]。

可以看到，用非線性規(guī)劃的方法，準(zhǔn)確地說(shuō)是約束最優(yōu)化方法來(lái)證明均值不等式另辟蹊徑、方法新穎、更加簡(jiǎn)潔明了，而且它的意義是不言而喻的：這種證明方法不同于以往那些純代數(shù)的證明方法，它將更偏向于幾何的約束最優(yōu)化法同代數(shù)聯(lián)系了起來(lái)。