在課堂教學(xué)中幫助學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的策略

高紅梅

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011年版）》指出：模型思想的建立是學(xué)生體會和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑。建立和求解模型的過程包括：從現(xiàn)實生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)符號建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果并討論結(jié)果的意義。在課堂教學(xué)中引導(dǎo)和幫助學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，能夠?qū)⒊橄蟮臄?shù)學(xué)概念變得直觀，將復(fù)雜的計算問題變得清晰，將規(guī)律探索變得生動，將解決問題變得豐富。因此，我們應(yīng)該不斷地探究與思考構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的策略，以踐行課程標準的要求，為學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)。

數(shù)學(xué)概念的形成是一個漸進的過程，我們需要通過有效的教學(xué)方式，幫助學(xué)生在頭腦中一步一步的積累對概念的認知。而建立數(shù)學(xué)模型，并通過數(shù)學(xué)模型支撐概念的形成，是概念教學(xué)中的一種重要的策略。教師應(yīng)注重向?qū)W生提供感性材料，如學(xué)生熟知的生活實例、實物等，讓學(xué)生通過觀察、操作、分析、對比、抽象出對象的本質(zhì)，從而形成概念。在形成概念時我們應(yīng)注重引導(dǎo)學(xué)生建立相對應(yīng)的模型。

例如，在教學(xué)“三角形三條邊的關(guān)系”一節(jié)課時，一位教師通過學(xué)生所熟悉的教學(xué)用具，一步一步地幫助學(xué)生建立了數(shù)學(xué)模型，并通過數(shù)學(xué)模型，使學(xué)生理解了“三角形三條邊的關(guān)系”的本質(zhì)：

第一步，通過操作，初步認知。該教師將班級內(nèi)的學(xué)生進行了分組，并為每個小組的學(xué)生分別準備了學(xué)具：分別為11厘米、7厘米、6厘米、4厘米的小木棒。規(guī)定可以從這四根小棒中任意選取三根，并讓學(xué)生帶著“通過拼、圍，你發(fā)現(xiàn)了什么”的問題，通過小組合作，動手操作，互動交流去觀察、探索和發(fā)現(xiàn)。通過操作，學(xué)生發(fā)現(xiàn)：取到的三根小棒有的能圍成三角形，有的無法圍成三角形。教師接著引導(dǎo)：“你發(fā)現(xiàn)在能圍成三角形的三根小棒之間有什么規(guī)律？”學(xué)生通過探究，得出了初步結(jié)論：當“兩邊之和大于第三邊”時就能圍成三角形。

第二步，通過論證，深入建構(gòu)。學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)概念中的規(guī)律，這只是建立數(shù)學(xué)模型的第一步，發(fā)現(xiàn)規(guī)律后還應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生去質(zhì)疑、去爭辯，只有通過論證，才能讓學(xué)生對數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)更加理解，也才能讓概念變得直觀。鑒于此，該教師又選擇了長度分別為4厘米、6厘米、11厘米的三根小棒為一組，讓學(xué)生去猜想這一組小棒能否圍成三角形。根據(jù)第一步操作得出的結(jié)論，很多學(xué)生都認為可以圍成三角形，因為“6+11>4”。同時，也有很多學(xué)生認為不能圍成三角形，因為“4+6<11”。到了這里，學(xué)生就產(chǎn)生了疑問和爭議，他們都想證明自己的觀點是正確的。這時，教師就讓學(xué)生放手去操作。在操作的過程中，認為能圍成的學(xué)生邊操作邊開始了思考，并把任意的三根小棒拿出來一邊圍，一邊比較，他們很快發(fā)現(xiàn)了新的規(guī)律：要想圍成三角形必須“三組的兩邊之和都要大于第三邊”，也就是必須“任意兩邊之和大于第三邊”。這時，學(xué)生已經(jīng)能夠發(fā)現(xiàn)問題并深刻地理解了“任意”的意思，得出了“在三角形中任意兩邊之和都大于第三邊”的概念。這樣，通過一步一步的引導(dǎo)，學(xué)生逐漸建立了“任意兩邊之和都大于第三邊”的數(shù)學(xué)模型。

計算教學(xué)是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的重點部分，在計算教學(xué)中，相關(guān)的知識點有很多，每種知識點對學(xué)生來講都具有一定的抽象性。然而，計算教學(xué)中的很多知識點之間都是存在著一定聯(lián)系的，在教學(xué)中如果能利用知識點之間的聯(lián)系建立起數(shù)學(xué)模型，對幫助學(xué)生能夠順利地掌握這些知識點將會起到很好的效果。

例如，在教學(xué)“三位數(shù)乘兩位數(shù)”時，教學(xué)重點是要讓學(xué)生理解運算過程中的兩個積都是怎樣得到的，末位數(shù)應(yīng)該怎么去確定位置，為什么要這樣確定位置。在教學(xué)時，可以寫出一個或者一組例題，讓學(xué)生先嘗試進行計算，然后讓他們說一說是怎樣算的，為什么這么算，每一步的運算依據(jù)是什么。學(xué)生通過小組交流可以逐漸把算法統(tǒng)一起來，得出他們自己的結(jié)論。通過對比、討論，最終可以讓學(xué)生歸納概括出乘數(shù)是兩位數(shù)的乘法法則：第一步，先用乘數(shù)的個位上的數(shù)去乘被乘數(shù)，得數(shù)的末位和乘數(shù)的個位對齊;第二步，再用乘數(shù)的十位上的數(shù)去乘被乘數(shù)，得數(shù)的末位和乘數(shù)的十位對齊;第三步，把兩次乘得的數(shù)加起來。這樣，學(xué)生就概括出了三位數(shù)乘兩位數(shù)的計算步驟，也就在計算法則的基礎(chǔ)上構(gòu)建起了關(guān)于計算的數(shù)學(xué)模型。

探索發(fā)現(xiàn)規(guī)律實際上就是培養(yǎng)學(xué)生的模型思想，發(fā)現(xiàn)一個規(guī)律就是發(fā)現(xiàn)一個模式。在教學(xué)中，可以從學(xué)生所熟悉的生活經(jīng)驗出發(fā)，引導(dǎo)他們經(jīng)歷將實際問題初步抽象成數(shù)學(xué)模型并進行解釋與運用的過程，進而加深他們對數(shù)學(xué)知識的理解。

例如，一位教師在教學(xué)“乘法分配律”一課時，讓學(xué)生經(jīng)歷探索過程，自主構(gòu)建模型。第一步，讓學(xué)生嘗試解決“用不同的方法買8套衣服要多少錢”的問題，然后引導(dǎo)學(xué)生觀察等式，提問學(xué)生：“發(fā)現(xiàn)了什么？”第二步，讓學(xué)生結(jié)合自己的發(fā)現(xiàn)嘗試著寫出兩個不完整的等式，引導(dǎo)學(xué)生進行觀察比較，并提問“又發(fā)現(xiàn)了什么？”第三步，讓學(xué)生再舉出一些這樣的例子，引導(dǎo)學(xué)生感受到這樣的例子是寫不完的。這時，可以讓學(xué)生觀察黑板上的許多等式，并提問：“這些等式數(shù)據(jù)各不相同，但它們有一點是相同的，是什么呢？”學(xué)生認為：“它們都是把左邊的算式先加再乘，右邊則先把兩個加數(shù)分別乘共同的因數(shù)后再加?！苯處熢僮穯枺骸澳苤v一講相等的道理嗎？”在學(xué)生充分感悟的基礎(chǔ)上，師生再共同用語言來描述規(guī)律，這樣就引導(dǎo)學(xué)生自主構(gòu)建了教學(xué)模型，并抽象概括出了用字母表示的模型，即：（a+b）×c=a×c+b×c。

從具體的問題抽象、提煉、構(gòu)建出相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，并不是學(xué)生認識的終結(jié)。建立模型后，教師還應(yīng)將數(shù)學(xué)模型還原到具體的數(shù)學(xué)情境問題中，使已經(jīng)構(gòu)建的數(shù)學(xué)模型得以擴充和提升。

例如，在教學(xué) “三位數(shù)乘兩位數(shù)”一節(jié)課時，在學(xué)生三年級時就知道的“單價×數(shù)量 = 總價”這一基本模型的基礎(chǔ)上，一位教師安排了兩道例題：1.籃球每個80元，買3個多少錢？2.魚每千克10元，買4千克要多少錢？那么，這兩個問題有什么共同點？教學(xué)中要如何建立學(xué)生的模型思想呢？首先，呈現(xiàn)例題后，教師要引導(dǎo)學(xué)生認真觀察與思考，并說一說題中所描述的情境。通過描述，讓學(xué)生知道這兩道題是關(guān)于總價的實際問題，并明確這兩道題都是已知每件商品的價錢，我們把它叫作單價，買了多少，我們叫數(shù)量，求一共需要多少錢，我們把它叫作總價。建立了這些概念后，讓學(xué)生再看題，找一找題中的數(shù)學(xué)信息，明確第1題中出示的是籃球的單價是80元，數(shù)量是3個，也就是求3個80元是多少。第2題中出示的是魚的單價是10元，買了4千克，也就是求4個10元是多少。因此，都用乘法計算。通過計算后明確單價、數(shù)量與總價之間的關(guān)系是“單價×數(shù)量=總價”，從而建立起了模型，并通過鞏固應(yīng)用加深了對模型的理解。在這一單元的后面還有對“速度×?xí)r間=路程”這一模型建立的學(xué)習(xí)。同時，在第六單元除數(shù)是兩位數(shù)的除法中則是利用第四單元的乘法模型的變式模型“總價÷數(shù)量=單價”“總價÷單價=數(shù)量”“路程÷時間=速度”“路程÷速度=時間”來解決問題的。因此，這一模型思想的建立對后續(xù)這些相關(guān)的學(xué)習(xí)會起到很大的作用。

（責任編輯：楊強）