探尋聯(lián)系：運(yùn)算教學(xué)深層建構(gòu)的路徑

胡良梅

運(yùn)算學(xué)習(xí)的枯燥性和運(yùn)算出錯(cuò)頻率的高發(fā)性是當(dāng)前很多學(xué)生在學(xué)習(xí)運(yùn)算這一內(nèi)容時(shí)遇到的問題。由于學(xué)生對(duì)運(yùn)算背后的數(shù)的概念沒有深度理解，對(duì)相關(guān)的算理、法則、定律和技巧沒有完全掌握，導(dǎo)致了他們的運(yùn)算學(xué)習(xí)仍停留在孤立、浮躁的狀態(tài)，容易“只見樹木不見森林”，其零散膚淺的知識(shí)結(jié)構(gòu)缺乏再生力。問題出在哪？從教師教學(xué)的角度進(jìn)行剖析，目前的運(yùn)算教學(xué)的現(xiàn)狀還存在有如下誤區(qū)：重法則，輕本源;重操作，輕內(nèi)化;重算理，輕算法;重新授，輕練習(xí);重單一，輕豐富;重結(jié)果，輕思維。因此，教師要探尋運(yùn)算知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，凸顯隱藏在教材背后的深層網(wǎng)線，幫助學(xué)生形成系統(tǒng)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)和思維體系，讓學(xué)生的運(yùn)算思維走向通透，從而形成扎實(shí)豐富的運(yùn)算能力。

數(shù)的認(rèn)識(shí)和數(shù)的運(yùn)算之間有著內(nèi)在的聯(lián)系，數(shù)概念是運(yùn)算教學(xué)的基石，理解運(yùn)算技能背后的數(shù)概念的本質(zhì)，建立相關(guān)核心概念的聯(lián)系，是運(yùn)算教學(xué)的本源。整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)的加減乘除運(yùn)算，它們的運(yùn)算實(shí)質(zhì)都是都是對(duì)結(jié)果的“計(jì)數(shù)單位和計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)”的探尋。因此，數(shù)認(rèn)識(shí)的教學(xué)要突出對(duì)“計(jì)數(shù)單位”的理解，而數(shù)數(shù)活動(dòng)具有不可替代的作用。

（一）自然數(shù)是“數(shù)”，是數(shù)出來的累加單位

學(xué)生學(xué)習(xí)自然數(shù)，離不開數(shù)數(shù)，通過1個(gè)1個(gè)地?cái)?shù)、10個(gè)10個(gè)地?cái)?shù)，可豐富學(xué)生對(duì)“數(shù)”的認(rèn)識(shí)，透徹理解“數(shù)位、計(jì)數(shù)單位”等基本概念。加法的本質(zhì)就是“接著數(shù)計(jì)數(shù)單位”，減法是往后倒著數(shù)，乘法是幾個(gè)幾個(gè)地往前數(shù)，除法是幾個(gè)幾個(gè)地往后數(shù)。因此，教學(xué)中，教師一定要重視設(shè)計(jì)有價(jià)值的數(shù)數(shù)活動(dòng)，要讓兒童有數(shù)數(shù)的興趣和需求，并在數(shù)數(shù)的過程中有思維的投入，感受計(jì)數(shù)單位的重要性，積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

（二）分?jǐn)?shù)是“數(shù)”，是數(shù)出來的累加單位

通常情況下，在學(xué)生的思維中并不承認(rèn)分?jǐn)?shù)是個(gè)“數(shù)”，如果答案是一個(gè)分?jǐn)?shù)，學(xué)生一般都要化為小數(shù)，心里才踏實(shí)。是什么原因造成這樣的認(rèn)知偏差呢？主要原因是：分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)時(shí)，一直強(qiáng)調(diào)平均分，強(qiáng)調(diào)“比率”的關(guān)系。其實(shí)，同自然數(shù)、小數(shù)一樣，分?jǐn)?shù)也是其分?jǐn)?shù)單位累加的結(jié)果，即先產(chǎn)生分?jǐn)?shù)單位，再數(shù)一數(shù)單位的個(gè)數(shù)。從這樣的角度來學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)，自然數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)的結(jié)構(gòu)就一致了，就能更容易認(rèn)可分?jǐn)?shù)是一個(gè)“數(shù)”。這樣的認(rèn)識(shí)角度，更自然，更有生長(zhǎng)力，更加有利于學(xué)生理解分?jǐn)?shù)的四則運(yùn)算。

（三）小數(shù)是“數(shù)”，是可以數(shù)出來的

“位置制、十進(jìn)制”是小數(shù)與自然數(shù)的本質(zhì)聯(lián)系。在小數(shù)意義的學(xué)習(xí)中，體會(huì)計(jì)數(shù)單位的拓展非常重要，單位越小度量的結(jié)果越精確，因此需要產(chǎn)生更小的計(jì)數(shù)單位。自然數(shù)中，計(jì)數(shù)單位最小是1，更大的數(shù)可以看作是1的累積，而小數(shù)的計(jì)數(shù)單位，每次都是平均分10份，是對(duì)1的逐步分解?！坝?jì)數(shù)單位與其個(gè)數(shù)乘積的累加就得到全部‘?dāng)?shù)’”，自然數(shù)、分?jǐn)?shù)是這樣，小數(shù)也是如此。體會(huì)“單位”的意義，再將小數(shù)放在更加結(jié)構(gòu)化、抽象化的“數(shù)位順序表”中來認(rèn)識(shí)，則就建立了小數(shù)與自然數(shù)的相同結(jié)構(gòu)，同時(shí)也就建立了小數(shù)的運(yùn)算和自然數(shù)運(yùn)算的相同結(jié)構(gòu)。

理解算理、掌握算法是運(yùn)算教學(xué)的“一體兩翼”。算理是算法的理論依據(jù)，算法是對(duì)算理行為的提煉，使算理可以操作化。學(xué)生探索算理算法的過程一般會(huì)經(jīng)歷動(dòng)作、形象、語義、數(shù)學(xué)符號(hào)的表征方式。這四種方式不是單一的遞進(jìn)關(guān)系，而是相互交融的。適時(shí)恰當(dāng)?shù)淖穯柵c強(qiáng)化，可以幫助學(xué)生建立不同方式的內(nèi)在聯(lián)系，消除不同表征之間的模糊認(rèn)識(shí)，建立算理與算法之間的深層聯(lián)系。

（一）構(gòu)建動(dòng)作表征和數(shù)學(xué)符號(hào)的內(nèi)在聯(lián)系

為了直觀理解算理，許多教師會(huì)在教學(xué)實(shí)踐中設(shè)計(jì)一些操作活動(dòng)，但往往只停留在動(dòng)作表征的層面，沒能通過操作活動(dòng)促進(jìn)數(shù)學(xué)思維，沒能讓操作、算理和算法緊密結(jié)合并建立聯(lián)系。

例如，計(jì)算整數(shù)退位減“72-48”，在學(xué)生操作后的交流階段，可設(shè)計(jì)以下問題：①選擇小棒或算珠操作，所用學(xué)具不同，計(jì)算過程卻有一步是相同的，誰發(fā)現(xiàn)了？為什么都要拆換？（個(gè)位上“2-8”不夠減，）②個(gè)位“2-8”不夠減，怎么辦？用小棒是怎樣操作的？用算珠操作時(shí)又是怎么做的？③從整捆的小棒中取出一捆拆開，在豎式上怎么表示？為什么豎式中7的頭上有個(gè)“點(diǎn)”？這個(gè)“點(diǎn)”，它讓誰發(fā)生了改變？

這樣的適時(shí)追問，可以引導(dǎo)學(xué)生建立抽象的借位點(diǎn)與豐富的表象之間的聯(lián)系，可以促進(jìn)學(xué)生透過現(xiàn)象發(fā)現(xiàn)本質(zhì)，讓學(xué)生通融理解算理與算法之間的關(guān)系。

（二）構(gòu)建表象份數(shù)與抽象單位的內(nèi)在聯(lián)系

同分母分?jǐn)?shù)相加減，借助學(xué)生自己表示出的圖示和交流，可以發(fā)現(xiàn)，學(xué)生大多是從“直觀份數(shù)”的角度去理解算理，很少能想到計(jì)數(shù)單位。因此就需要教師在組織交流時(shí)適時(shí)追問：這里的一份用分?jǐn)?shù)表示就是多少？?jī)蓚€(gè)加數(shù)都和哪一個(gè)分?jǐn)?shù)有聯(lián)系？換個(gè)角度，更深入地思考，我們還可以怎樣想？這樣的追問，可以指引兒童思考：8等份中的4份加3份，實(shí)際上就是4個(gè)加3個(gè)，也是“相同計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)相加減”。

（三）構(gòu)建符號(hào)表征和本質(zhì)算理的內(nèi)在聯(lián)系

計(jì)算不同位數(shù)的小數(shù)加法，學(xué)生在自主探索中會(huì)出現(xiàn)“末尾添零對(duì)齊”的計(jì)算方法。之前三年學(xué)習(xí)的整數(shù)加減，都是個(gè)位對(duì)齊末尾對(duì)齊，這是學(xué)生在進(jìn)行自覺的同化和順應(yīng)，但是他們關(guān)注的只是表面的符號(hào)現(xiàn)象，對(duì)本質(zhì)的算理還沒有清晰的認(rèn)識(shí)。這時(shí)，教師可以通過合適的追問促進(jìn)深度理解：為什么要添零呢？為什么要補(bǔ)齊數(shù)位呢？末位對(duì)齊，最終目的是什么？從而可把學(xué)生的思維聚焦到“相同數(shù)位對(duì)齊，相同計(jì)算單位直接相加”的深層理解上。

當(dāng)然，理解算理，掌握算法，不能只是新課中的一次性學(xué)具操作，不能只是片刻的粉飾，還需要適時(shí)適量的形式豐富的鞏固練習(xí)。

運(yùn)算教學(xué)，既需要在直觀形象中理解算理，也需要讓學(xué)生掌握抽象的運(yùn)算法則，更需要引導(dǎo)在學(xué)生練習(xí)中逐步抽象出運(yùn)算規(guī)律，從而切實(shí)發(fā)展其運(yùn)算能力。

（一）在體驗(yàn)中獲取形式算法

如一位數(shù)乘兩位數(shù)的豎式計(jì)算，還有乘數(shù)中間有0 的乘法豎式等，在學(xué)生經(jīng)過自主探索，形成初始豎式后，教師不必過早地抽象出一般的簡(jiǎn)便算法，而應(yīng)該讓學(xué)生運(yùn)用這種初始模式鞏固練習(xí)幾組題目，再引導(dǎo)學(xué)生觀察比較，異中求同，在體驗(yàn)中產(chǎn)生簡(jiǎn)化豎式的需要，自然地抽象出簡(jiǎn)化模式。要讓學(xué)生充分體驗(yàn)由直觀運(yùn)算到形式化運(yùn)算的演變過程，達(dá)到對(duì)算理的深層理解和對(duì)算法的切實(shí)掌握。

（二）在觀察中獲得抽象規(guī)律

如把假分?jǐn)?shù)化成帶分?jǐn)?shù)，關(guān)鍵是理解這個(gè)假分?jǐn)?shù)里去掉整數(shù)部分之后還剩余多少個(gè)分?jǐn)?shù)單位，方法是分子除以分母。連續(xù)計(jì)算一組題目后，可引導(dǎo)學(xué)生觀察，抽象出規(guī)律：除得的商就是帶分?jǐn)?shù)的整數(shù)部分，余數(shù)是分子部分，分母不變。抽象出這樣清晰的規(guī)律后，學(xué)生在運(yùn)用時(shí)才會(huì)輕松快捷。

（三）在對(duì)比中習(xí)得自動(dòng)化技能

認(rèn)知、分解、組合、自動(dòng)化是把知識(shí)轉(zhuǎn)化成技能的四個(gè)階段。算理算法轉(zhuǎn)化成技能，需要一定的練習(xí)過程。如“9加幾”的計(jì)算，在學(xué)生掌握算法，能夠正確計(jì)算出結(jié)果之后，可進(jìn)行專項(xiàng)和對(duì)比練習(xí)，激活學(xué)生的練習(xí)經(jīng)驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生抽象出“9加幾，個(gè)位少1得十幾”的計(jì)算規(guī)律，適時(shí)縮減中間過程，幫助學(xué)生形成自動(dòng)化技能?？谒闶且磺羞\(yùn)算必不可少的步驟，口算的正確與速度直接決定著運(yùn)算能力的提高程度。

低年級(jí)段的新知教學(xué)立足于點(diǎn)，情有可原，但后續(xù)的計(jì)算教學(xué)就需要關(guān)注線和面，要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)同類板塊進(jìn)行對(duì)比分析，異中求同，幫助學(xué)生進(jìn)一步構(gòu)建更加系統(tǒng)穩(wěn)固的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

（一）溝通不同數(shù)運(yùn)算之間的算理聯(lián)系

如學(xué)習(xí)“異分母分?jǐn)?shù)加減法”之后，就可以引導(dǎo)兒童溝通整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)加減法的算理以及算法的聯(lián)系，可組織兒童計(jì)算：561-328， 6.8+2.74，在交流中及時(shí)引導(dǎo)兒童比較梳理：回顧這些加減法的計(jì)算，用到的數(shù)相同嗎？異中求同，還有相同之處嗎？從而發(fā)現(xiàn)規(guī)律：數(shù)字不同，計(jì)算方法不一樣，計(jì)數(shù)單位不一樣，但是算理都一樣，都是計(jì)數(shù)單位相同才能直接相加減。同理，乘除法運(yùn)算的本質(zhì)是計(jì)數(shù)單位及其個(gè)數(shù)同時(shí)相乘或相除。

（二）溝通不同運(yùn)算教學(xué)之間的過程聯(lián)系

同一類知識(shí)的教學(xué)一般都有著類似的推進(jìn)過程，如計(jì)算教學(xué)，一般按照“提出問題—探索算法—理解算理—?dú)w納法則—內(nèi)化算法”這一過程展開。明晰了這樣的學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)，才能形成有效的學(xué)習(xí)策略，才能明確思維的方向，學(xué)生的自主學(xué)習(xí)才會(huì)有跡可循，才能富有成效地遷移到類似的學(xué)習(xí)活動(dòng)中。

（三）溝通不同運(yùn)算之間的思想方法聯(lián)系

對(duì)運(yùn)算的學(xué)習(xí)還含有豐富的數(shù)學(xué)思想方法。在中高年段的學(xué)習(xí)中，教師要有意識(shí)地引導(dǎo)兒童去經(jīng)歷尋找內(nèi)在規(guī)律的過程，感受基本的數(shù)學(xué)思想，發(fā)展數(shù)學(xué)的思維能力。

計(jì)算和推理是相通的。實(shí)際上，所有的運(yùn)算都是在轉(zhuǎn)化、推理：8加幾轉(zhuǎn)化為10 加幾，小數(shù)、分?jǐn)?shù)加減回歸為整數(shù)加減，小數(shù)乘除轉(zhuǎn)化為整數(shù)乘除，分?jǐn)?shù)除法轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)乘法等。因此，在運(yùn)算教學(xué)中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注不同運(yùn)算背后所隱藏的思想方法，突出共性，建立聯(lián)系，深化學(xué)生對(duì)思想方法的領(lǐng)悟，形成更上位的方法論，實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)能力的新增長(zhǎng)。

運(yùn)算教學(xué)特別強(qiáng)調(diào)運(yùn)算中所蘊(yùn)含的思考價(jià)值。豐富運(yùn)算的內(nèi)容和形式，努力設(shè)計(jì)連點(diǎn)成線、連線成網(wǎng)的多維度的運(yùn)算學(xué)習(xí)，才能觸及學(xué)生的興奮點(diǎn)，才能整體推進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展。

（一）舉一反三，體驗(yàn)思維的深刻性

舍去形式的玄虛，突顯結(jié)構(gòu)的本質(zhì)，以類比學(xué)習(xí)運(yùn)算，才能促使學(xué)生的思維深刻性與靈活性發(fā)展。如解方程：56+8x=140，可變式為：14×4+8x=140，78-22+8x=140，41.8+8x+14.2=140，8×（7+x）=140，56+8x=14÷0.1等，計(jì)算之后，可以進(jìn)行觀察比較：這些方程和56+8x=140相比，有什么相同和不同？從中，你獲得了什么學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)？從而清晰地建構(gòu)解題方法：解方程時(shí)，把能夠直接計(jì)算的先算出來，再求解。

（二）逆向運(yùn)轉(zhuǎn)，貫通思維的靈活性

皮亞杰指出：“思維的可逆性是學(xué)生智力發(fā)展的重要標(biāo)志?！卑褩l件和問題互換，引導(dǎo)學(xué)生觀察比較，促進(jìn)知識(shí)結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，這是解決實(shí)際問題教學(xué)常用的方法。實(shí)際上，在運(yùn)算教學(xué)中也同樣適用。例如乘法的豎式計(jì)算，可出示乘積讓學(xué)生選擇算式：（ ?）×（ ?）=1692，兩個(gè)乘數(shù)分別是：①26和76，②46和47，③411和42，④36和47。這樣的逆向運(yùn)轉(zhuǎn)聯(lián)系，讓單一的計(jì)算練習(xí)融入了估算、推理等思維的策略和智慧。

（三）數(shù)形結(jié)合，領(lǐng)悟思維的神奇性

把數(shù)學(xué)運(yùn)算與幾何圖形結(jié)合進(jìn)行思考，讓邏輯思維和形象思維建立親密聯(lián)系，可讓學(xué)生領(lǐng)悟到運(yùn)算方法的神奇性。在小學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)中，數(shù)形結(jié)合的實(shí)例有很多，如觀察小棒圖尋找規(guī)律、正方形數(shù)和三角形數(shù)等。再如計(jì)算：=……=（1）。（如下圖）

可以先出示前5個(gè)數(shù)連加，學(xué)生通常會(huì)選擇用通分計(jì)算，伴隨著加數(shù)的增加，學(xué)生會(huì)因?yàn)椤巴ǚ直容^復(fù)雜”，而自主尋求更簡(jiǎn)便的策略。這時(shí)，可以再引導(dǎo)學(xué)生觀察加數(shù)的規(guī)律，啟發(fā)其進(jìn)一步的思考。這樣，通過數(shù)與形的結(jié)合，滲透了極限思想，學(xué)生還從中領(lǐng)悟到了思維方法的神奇性，感受到了探究數(shù)學(xué)奧秘的有趣性。當(dāng)然，此題還可以再進(jìn)行變式練習(xí)，如將題中所有的加號(hào)改為減號(hào)，去掉最后面的一些分?jǐn)?shù)等。

（四）定義運(yùn)算，領(lǐng)略思維的通透性

一種運(yùn)算就是兩個(gè)數(shù)與結(jié)果之間的一種對(duì)應(yīng)法則，如同樣的兩個(gè)數(shù)字30和15，中間添上加號(hào)，得數(shù)是45，若換成除號(hào)，得數(shù)就會(huì)變成2。因此，對(duì)應(yīng)法則不同就是不同的運(yùn)算。學(xué)生常用的運(yùn)算方法是加、減、乘、除，在實(shí)際的教學(xué)中，還可以定義一些新的運(yùn)算形式，以開拓學(xué)生的視野，讓他們領(lǐng)略抽象思維的通透性。例如，設(shè)A，B表示數(shù)，規(guī)定A*B =6×A+B÷4，試計(jì)算12*20。也可以開發(fā)一些非常規(guī)的運(yùn)算任務(wù)，讓學(xué)生通過嘗試反思，使其運(yùn)算思維的通透性走向多維。

對(duì)于聯(lián)系的突出強(qiáng)調(diào)是小學(xué)數(shù)學(xué)教育教學(xué)一個(gè)普遍的發(fā)展趨勢(shì)，因?yàn)樾W(xué)數(shù)學(xué)教育的核心是思維的教育，而數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系則是構(gòu)建思維體系的“骨架”。充分挖掘數(shù)學(xué)知識(shí)之間深藏著的聯(lián)系，讓學(xué)生的思維走向通透，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)眼光，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，才是數(shù)學(xué)教學(xué)的本真回歸。

（責(zé)任編輯：楊強(qiáng)）