試論圓錐曲線在解題中的應(yīng)用

廖烈亮

【摘要】圓錐曲線是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，是高考必考內(nèi)容。眾所周知，圓錐曲線情境復(fù)雜，題型多變，計(jì)算煩瑣且有一定的技巧性，對學(xué)生解題能力的要求較高，是學(xué)生失分較為嚴(yán)重的知識點(diǎn)。因此，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)結(jié)合自身教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，向?qū)W生傳授相關(guān)解題技巧，提高學(xué)生的靈活應(yīng)用能力，使學(xué)生攻克這一學(xué)習(xí)難點(diǎn)。本文結(jié)合例題，分別探討了圓錐曲線定義、性質(zhì)、結(jié)論在解題中的應(yīng)用，以供參考。

【關(guān)鍵詞】圓錐曲線;高中數(shù)學(xué);解題方法

一、圓錐曲線定義的應(yīng)用

教材中對圓錐曲線的定義有明確的闡述，其中橢圓、雙曲線還存在第二定義。實(shí)踐表明，圓錐曲線的定義內(nèi)容較為簡單，學(xué)生對此不難理解，但要想做到靈活應(yīng)用并非易事。因此，在教學(xué)實(shí)踐中，教師應(yīng)優(yōu)先講解經(jīng)典例題，鼓勵(lì)學(xué)生認(rèn)真思考、解答，加深學(xué)生對橢圓定義的深刻理解，做到靈活應(yīng)用。

由該題可知，圓錐曲線類型的試題，通常和其他知識點(diǎn)結(jié)合在一起出題，如學(xué)生不注重回顧所學(xué)，很難找到解題思路。正如本題雖然是對圓錐曲線定義的考查，但需要應(yīng)用到余弦定理。因此，在教學(xué)實(shí)踐中，教師應(yīng)注重引導(dǎo)學(xué)生積極聯(lián)想所學(xué)，構(gòu)建合理的參數(shù)關(guān)系，應(yīng)用圓錐曲線定義內(nèi)容進(jìn)行巧妙解題。

二、圓錐曲線性質(zhì)的應(yīng)用

圓錐曲線的性質(zhì)較多，不僅需要學(xué)生牢固記憶，而且需要學(xué)生深刻理解。分析發(fā)現(xiàn)，在高中數(shù)學(xué)各類測試中，有關(guān)圓錐曲線性質(zhì)知識考查占有較高比例。部分學(xué)生往往理解不深刻，知識遷移能力較差，解題出錯(cuò)率較高。因此，在教學(xué)實(shí)踐中，教師應(yīng)為學(xué)生詳細(xì)講解不同圓錐曲線的性質(zhì)，依托經(jīng)典例題的講解，提高學(xué)生的應(yīng)用能力。

分析：離心率是圓錐曲線的重要內(nèi)容。其具有的幾何性質(zhì)為在橢圓中滿足a2=b2+c2，離心率e==。在雙曲線中滿足c2=a2+b2，離心率e==。拋物線的離心率e=1。本題目是對圓錐曲線離心率的直接考查。

由該題目可知，學(xué)生僅僅記憶圓錐曲線的性質(zhì)是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，關(guān)鍵在于如何應(yīng)用。該題目不僅涉及圓錐曲線離心率的知識，而且需要學(xué)生具備靈活的轉(zhuǎn)化能力，因此在教學(xué)實(shí)踐中，教師應(yīng)將提升學(xué)生的能力作為教學(xué)的重點(diǎn)，即講解圓錐曲線例題時(shí)，應(yīng)追求精而深，透徹講解各個(gè)知識點(diǎn)，如此才能做到靈活應(yīng)用，以不變應(yīng)萬變。

三、圓錐曲線結(jié)論的應(yīng)用

圓錐曲線的有關(guān)結(jié)論較多，包括焦點(diǎn)弦、切線、焦點(diǎn)三角形等。在教學(xué)實(shí)踐中，教師應(yīng)注重相關(guān)結(jié)論的講解，以簡化解題步驟，提高解題效率。同時(shí)，教師應(yīng)圍繞某一結(jié)論，精心篩選相關(guān)習(xí)題，對學(xué)生進(jìn)行專題訓(xùn)練，不斷提高學(xué)生相關(guān)結(jié)論的應(yīng)用能力，實(shí)現(xiàn)解題能力的進(jìn)一步提升。

圓錐曲線有很多結(jié)論可直接用于解答計(jì)算題、填空題，大大簡化了解題步驟，提高了解題的準(zhǔn)確性。因此，在教學(xué)實(shí)踐中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生注重解題總結(jié)，尤其是圍繞不同圓錐曲線推導(dǎo)出常用的結(jié)論。以橢圓為例，其包括的重要結(jié)論有（1）橢圓的焦點(diǎn)直角三角形中各邊的邊長為定值。這里分兩種情況：①當(dāng)PF1⊥F1F2時(shí)，則|F1F2|=2c，|PF1|=，|PF2|=;②PF1⊥PF2，則|PF1||PF2|=2b2，|yp|=。（2）焦點(diǎn)三角形的面積為S=b2tan（設(shè)∠F1PF2=）。（3）橢圓的焦半徑公式為|PF1|=a+ex，|PF2|=a-ex。在教學(xué)過程中，教師可要求學(xué)生自己推導(dǎo)雙曲線、拋物線的相關(guān)結(jié)論，以加深學(xué)生的記憶與理解，從而更好地應(yīng)用到解題中。

圓錐曲線學(xué)習(xí)中需要學(xué)生記憶的知識點(diǎn)較多，多數(shù)試題計(jì)算煩瑣，不易得出正確結(jié)果，讓很多學(xué)生“望而生畏”。因此，在教學(xué)實(shí)踐中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生回歸教材，切實(shí)夯實(shí)基礎(chǔ)知識。同時(shí)，做好圓錐曲線定義、性質(zhì)以及相關(guān)結(jié)論的應(yīng)用講解，鼓勵(lì)學(xué)生不斷做好解題總結(jié)，積累解題經(jīng)驗(yàn)，提高解題效率與正確性。

【參考文獻(xiàn)】

張家輝.圓錐曲線在高考試題中的總結(jié)與解題策略[J].科技經(jīng)濟(jì)導(dǎo)刊，2018，26（27）：131-132.