Zernike多項(xiàng)式在擬合光學(xué)表面面形中的應(yīng)用及仿真

楊佳文 黃巧林 韓友民

（北京空間機(jī)電研究所,北京 100076）

1 引言

光學(xué)主反射鏡是空間光學(xué)遙感器的重要組成部分,它的鏡面面形精度是影響空間光學(xué)遙感器分辨率的重要因素之一。在地面裝調(diào)過(guò)程中,反射鏡在光軸水平和光軸豎直兩種狀態(tài)下,由于重力場(chǎng)的作用,反射鏡的鏡面將會(huì)發(fā)生變形,因此在進(jìn)行光學(xué)反射鏡設(shè)計(jì)時(shí)需要做鏡面變形分析,用以檢驗(yàn)所設(shè)計(jì)的光學(xué)反射鏡是否滿足面形精度要求。鏡面變形包括剛體位移和表面變形,剛體位移會(huì)引起光學(xué)系統(tǒng)像傾斜、離軸和離焦,表面變形將影響光學(xué)系統(tǒng)的波前差。剛體位移可以通過(guò)調(diào)整光學(xué)元件之間的相對(duì)位置來(lái)消除,而表面變形無(wú)法消除。因此鏡面變形中的表面變形能夠真實(shí)反映光學(xué)反射鏡的面形精度[1-2]。本文以自由曲面鏡面為例,通過(guò)有限元分析得到面形數(shù)據(jù),用澤尼克（Zernike）多項(xiàng)式對(duì)變形后的面形進(jìn)行精確擬合,并分離出剛體位移部分得到表面變形云圖,計(jì)算出表面變形的表面變形均方根（RMS）和表面變形最大值與最小值之差（PV）。

2 Zernike多項(xiàng)式

理想的光學(xué)鏡子表面是光滑而連續(xù)的,而從有限元軟件中提取的變形數(shù)據(jù)是離散的,將離散的變形數(shù)據(jù)擬合成光滑連續(xù)的曲面稱為鏡面擬合。有很多方法可以用于鏡面擬合,如最小二乘法、Gram-Schmidt方法、協(xié)方差法和SVD法,最理想的一種方法是Zernike多項(xiàng)式法,Zernike多項(xiàng)式對(duì)于擬合鏡面面形具有如下優(yōu)點(diǎn)[3]:

1）在單位圓上正交。函數(shù)系的正交使不同多項(xiàng)式的系數(shù)相互獨(dú)立,對(duì)消除偶然因素的干擾很有利;

2）Zernike多項(xiàng)式容易與Seidel像差項(xiàng)對(duì)應(yīng),為有選擇地單獨(dú)處理各像差系數(shù)、優(yōu)化系統(tǒng)性能提供了有效方法;

3）Zernike多項(xiàng)式各項(xiàng)物理意義明了,是結(jié)構(gòu)分析與光學(xué)分析程序之間的接口工具[4]。

在直角坐標(biāo)系下N項(xiàng)Zernike多項(xiàng)式為:

式中 ai為Zernike多項(xiàng)式中第i項(xiàng)系數(shù);Zi為Zernike多項(xiàng)式的第i項(xiàng);N為Zernike多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù);x,y為數(shù)據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)值。

一般該表達(dá)式取到28項(xiàng)就足夠精確,因此,本文取28項(xiàng)多項(xiàng)式對(duì)鏡面面形進(jìn)行擬合。Zernike多項(xiàng)式各項(xiàng)在直角坐標(biāo)系中的表達(dá)式如表1所示[5]:在有限元軟件中對(duì)光學(xué)反射鏡進(jìn)行靜力分析后,可以得到鏡面變形輸出文件,輸出文件中的數(shù)據(jù)包括:鏡面上各節(jié)點(diǎn)變形前的坐標(biāo)值 xi、yi、zi,（i=1,2,3,…,m）,各節(jié)點(diǎn)變形后與變形前的坐標(biāo)差值Δxi、Δyi、Δ zi,（i=1,2,3,…,m）,m 為鏡面節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)。設(shè)有限元模型中光軸方向?yàn)閦軸,則將 xi、yi、Δ zi帶入N項(xiàng)Zernike多項(xiàng)式中得到:

表1 直角坐標(biāo)系中Zernike多項(xiàng)式各項(xiàng)表達(dá)式

令zij=Zj（xi+Δ xi,yi+Δ yi）,（i=1,2,3,…,m;j=1,2,3,…,n）,即第 i個(gè)點(diǎn)的第j項(xiàng)Zernike表達(dá)式賦值給zij,則上式可簡(jiǎn)記為:

式中 Z=（zij）為 m ×n 矩陣;A=（a1,a2,…,an）T;Z′=（Δ z1,Δ z2,…,Δ zm）T。

3 Zernike多項(xiàng)式擬合鏡面面形的仿真流程

鏡面面形的計(jì)算機(jī)仿真流程如圖1所示。首先在有限元分析軟件MSC.Patran中建立光學(xué)反射鏡模型,并對(duì)光學(xué)反射鏡模型在光軸水平和光軸豎直兩種狀態(tài)下分別進(jìn)行靜力分析,將分析獲得的光學(xué)表面數(shù)據(jù)文件輸出到Matlab軟件中,編程實(shí)現(xiàn)Zernike多項(xiàng)式擬合面形[6]。

圖1 鏡面面形的計(jì)算機(jī)仿真流程圖

根據(jù)所有節(jié)點(diǎn)變形后的坐標(biāo),利用Zernike多項(xiàng)式擬合出變形后的面形（如圖2所示）,并去除掉鏡面的剛體位移,得到只含有表面變形的鏡面面形,計(jì)算變形后的節(jié)點(diǎn)到這個(gè)擬合曲面在光軸方向的距離[7]。

圖2 鏡面變形圖

最后,根據(jù)公式（4）、（5）計(jì)算出面形RMS值和PV值,并繪出鏡面面形云圖。

式中 xi為變形后的節(jié)點(diǎn)到擬合曲面的距離為所有變形后的節(jié)點(diǎn)到擬合曲面的平均距離;N為節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)。

4 Zernike多項(xiàng)式擬合光學(xué)反射鏡面形的實(shí)例

本文對(duì)光學(xué)非球面反射鏡進(jìn)行鏡面的Zernike多項(xiàng)式擬合,反射鏡采用蜂窩夾心輕量化形式,支撐方式為背部六點(diǎn)支撐,主要尺寸見表2。反射鏡材料參數(shù)見表3。

表2 反射鏡結(jié)構(gòu)參數(shù)mm

表3 反射鏡材料參數(shù)

在有限元分析軟件MSC.Patran中用板單元建立幾何模型、劃分網(wǎng)格,并進(jìn)行靜力分析[8～9]。反射鏡有限元模型及其內(nèi)部結(jié)構(gòu)如圖3所示:

圖3 反射鏡有限元模型及其內(nèi)部結(jié)構(gòu)

采用有限元分析軟件MSC.Nastran對(duì)模型進(jìn)行靜力分析,得到光軸水平和光軸豎直狀態(tài)的鏡面面形云紋圖,如圖4所示。從圖4（a）中可以看到在光軸水平狀態(tài)下反射鏡鏡面產(chǎn)生了剛體平移和剛體的傾斜;圖4（b）中光軸豎直狀態(tài)鏡面面形只有重力方向的剛體平移,沒有產(chǎn)生剛體的傾斜。

有限元分析后將鏡面變形數(shù)據(jù)文件輸出,利用Matlab軟件強(qiáng)大的數(shù)據(jù)處理能力,編程實(shí)現(xiàn)Zernike多項(xiàng)式擬合面形。并將鏡面的剛體平移、傾斜與表面變形分離,最終得到去除剛體平移、傾斜后的鏡面RMS值、PV值。圖5、6、7分別表示反射鏡光軸水平狀態(tài)Zernike多項(xiàng)式擬合面形、反射鏡光軸水平狀態(tài)下鏡面的剛體位移和傾斜、反射鏡光軸水平狀態(tài)下去除剛體位移后的鏡面面形。

圖4 反射鏡鏡面面形云紋圖

圖5 反射鏡光軸水平狀態(tài)Zernike多項(xiàng)式擬合面形

圖6 反射鏡光軸水平狀態(tài)下鏡面的剛體位移和傾斜

由圖7可知,反射鏡光軸水平狀態(tài)時(shí),由于采用背部六點(diǎn)支撐,重心與支撐點(diǎn)不在一個(gè)平面內(nèi),會(huì)產(chǎn)生力矩,因此,在光軸水平狀態(tài)下反射鏡鏡面產(chǎn)生了明顯的剛體平移和剛體傾斜。

圖8、9、10分別表示反射鏡光軸豎直狀態(tài)Zernike多項(xiàng)式擬合面形、反射鏡光軸豎直狀態(tài)鏡面的剛體位移、反射鏡光軸豎直狀態(tài)去除剛體位移后的鏡面面形。

圖8 反射鏡光軸豎直狀態(tài)Zernike多項(xiàng)式擬合面形

圖9 反射鏡光軸豎直狀態(tài)下鏡面的剛體位移

圖10 反射鏡光軸豎直狀態(tài)下去除剛體位移后的鏡面面形

從圖10可看出,反射鏡在光軸豎直狀態(tài)下的鏡面變形包括鏡面的剛體位移和表面變形,而沒有剛體傾斜。

表4 仿真分析結(jié)果 nm

表4列出了反射鏡在光軸水平和光軸豎直狀態(tài)下去除剛體位移前后的鏡面面形RMS值和PV值。對(duì)仿真結(jié)果進(jìn)行分析可以看出反射鏡光軸水平狀態(tài)時(shí)的剛體位移和傾斜量較大,計(jì)算鏡面面形時(shí),若不將其與表面變形分離,計(jì)算出的RMS值和PV值誤差很大,而反射鏡光軸豎直狀態(tài)下剛體位移量很小,可以忽略不計(jì),去除剛體位移前后鏡面面形基本沒有改變。另外,反射鏡有限元模型網(wǎng)格的疏密在一定程度上對(duì)Zernike多項(xiàng)式擬合的精度也有影響:網(wǎng)格尺寸較大,則鏡面網(wǎng)格數(shù)據(jù)量小,擬合精度較低;網(wǎng)格尺寸小,雖然可以提高擬合精度,但會(huì)大大增加有限元計(jì)算和面形擬合的時(shí)間。因此,網(wǎng)格尺寸應(yīng)是在滿足擬合精度的條件下盡量大為宜。

5 結(jié)束語(yǔ)

本文介紹了Zernike多項(xiàng)式及其在計(jì)算機(jī)仿真分析中擬合非球面鏡面面形的一種方法,并舉例分析了反射鏡在光軸水平和光軸豎直兩種狀態(tài)下的鏡面變形,得到了去除剛體位移前后的鏡面面形的可視化分析結(jié)果,為今后進(jìn)一步設(shè)計(jì)滿足一定面形精度要求的大口徑輕量化反射鏡提供了有力保證。

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