挖掘定點(diǎn)決定因素，另辟蹊徑巧妙解題

王磊　王成功

在解決直線和圓的問題時(shí)，不少同學(xué)的解題思路往往受到方程思想的禁錮，只會(huì)一味地設(shè)方程、列方程（組）來解決問題，導(dǎo)致有些問題解決起來既繁義雜，甚至做不出來，本文將介紹一類直線與圓中的定點(diǎn)問題，挖掘隱含定點(diǎn)，另辟蹊徑，即可輕松解決，

一、定點(diǎn)與參數(shù)范圍

例1 已知直線l：kx -y+1+2k=0（k∈R）不過第四象限，求k的取值范圍.

閱讀完題干，大部分同學(xué)很困惑，不知從哪下手解決問題，對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論是很多同學(xué)可能會(huì)想到的一個(gè)途徑，但是討論分類的依據(jù)是什么？往哪方面去討論都沒有明確的方向，

如果結(jié)合問題——求k的取值范圍，我們可以把所給直線方程整理為點(diǎn)斜式y(tǒng)-1=k（x+1），顯然，直線過定點(diǎn)（-2，1），因此直線不過第四象限，通過作圖易得，直線在y上的截距必須大于或等于1.

解 因?yàn)橹本€kx-y+1+2k=O（k∈R）可化為y-1=k（x+2），必過點(diǎn)（-2，1），所以直線不過第四象限，所以2k+1≥1，k≥0.

本題如果不挖掘隱含的定點(diǎn)問題，雖然也能通過設(shè)出方程，分別求出兩坐標(biāo)軸上的交點(diǎn)來解決，但是計(jì)算量比較大也容易導(dǎo)致錯(cuò)誤.

二、定點(diǎn)決定位置關(guān)系

例2 直線l：（1+3m）x+（3-2m）y+4m-17=0與圓x2+y2+2x-6y-15=0的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是____________________.

對(duì)于本題同學(xué)們拿到手就有不少思路，思路一：求出圓心到直線的距離，再比較距離和網(wǎng)半徑的大小關(guān)系進(jìn)行判斷;思路二：聯(lián)立方程組，利用判別式判斷方程組的解的個(gè)數(shù).

這兩種思路雖然都可以解決本題，但是第一種做法中距離含有參數(shù)，第二種做法解二元二次方程組計(jì)算量太大，顯然這兩種方法都不簡(jiǎn)潔.

如果我們把直線方程改寫成關(guān)于m的一元一次方程（3x-2y+4）m+x+3y-17=0，可知直線l必過兩條直線3x-2y+4=0與x+3y-17=0的交點(diǎn)，然后再判斷計(jì)算該定點(diǎn)在圓外、圓上還是圓內(nèi)即可.

解 依題意，直線l的方程可改寫成（3x-2y+4）m+x+3y-17=0，這個(gè)關(guān)于m的一元一次方程有不止一個(gè)解.所以各項(xiàng)系數(shù)為0，即3x-2y+4=0且x+3y-17=0.也就是直線l必過直線3x-2y+4=O與x+3y-17=0的交點(diǎn)，由{ 3x-2y+4=0，x+3y-17=0得交點(diǎn)D為（2，5），又圓心為C（-1，3），則CD=√13.又圖的半徑為5，且√13<5所以點(diǎn)（2，5）在圓內(nèi)，故直線與網(wǎng)必有兩個(gè)交點(diǎn).

通過判斷定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，顯然是解決本題的一條捷徑.

例3 圓x2+y2-4x+6y=0與圓x2+y2-6x=0相交于A，B兩點(diǎn)，則AB的垂直平分線的方程是_____.

本題很多同學(xué)的解決辦法是，聯(lián)立方程組求出交點(diǎn)A，B及兩點(diǎn)所在直線的斜率，再求中點(diǎn)，根據(jù)兩直線垂直的斜率之間的關(guān)系，確定垂線的斜率，進(jìn)而得到直線的方程.顯然，這樣做計(jì)算量很大.其實(shí)，根據(jù)圓的性質(zhì)可知，兩圓相交時(shí)，兩圓心的連線垂直平分公共弦，因此所求直線必然過兩個(gè)圓的圓心，這樣無需解方程，直接將兩個(gè)圓的圓心坐標(biāo)代人直線方程即可.

解 因?yàn)閳Ax2+y2-4x+6y=0與圓x2+y2-6x=0的圓心分別是C1（2，-3）和C2（3，0），所以兩圓公共弦AB的垂直平分線即為過C1（2，-3）和C2（3，0）的直線，易得直線方程為3x-y- 9=0.

三、挖掘定點(diǎn)，巧設(shè)方程

例4 求經(jīng)過直線l：2x+3y-5=O和直線l2：3x-2y-3=0的交點(diǎn)，且與直線2x+y-3=0平行的直線方程.

解決本題可以先聯(lián)立方程組，求出交點(diǎn)，再結(jié)合與已知直線平行，求出直線斜率，進(jìn)而求出直線方程，這樣必須解方程組.因?yàn)樗笾本€經(jīng)過兩直線的交點(diǎn)，所以可通過設(shè)過兩條直線交點(diǎn)的直線系方程，再結(jié)合與已知直線平行，無需解方程組即可解決本題.

解 依題意，可設(shè)直線方程為2x+3y5+λ（3x-2y-3）=0，即（2+3λ）x+（32λ）y-5-3λ=0.又直線與2x+y-3=0平行，所以2+3λ/-（3-2λ）=-2，解得λ=4/7，所以直線方程為26x+13y-47=0.

利用過兩條直線交點(diǎn)的直線系方程，可以在不求交點(diǎn)的情況下輕松求直線方程，

例5 已知兩圓M：x2+y2=1O和圓N：x2+y2 +2x+2y-14=0，求過兩圓交點(diǎn)，且圓心在直線x+2y-3=0上的圓的方程.

本題很多同學(xué)的思路是，先聯(lián)立方程組，求出兩圓交點(diǎn)，再設(shè)出同心，進(jìn)而利用圓心到兩交點(diǎn)的距離相等，列方程并求解，得到圓心和半徑，進(jìn)而求出圓的方程，這種做法需要多次解方程組和解方程，計(jì)算量很大.我們可以根據(jù)過兩圓交點(diǎn)的圓系方程，直接設(shè)出所求網(wǎng)的方程，進(jìn)而得出圓心，把圓心直接代人直線方程即可求出圓心和所求圓的方程，

解 依題意，可設(shè)所求圓的方程為x2+y2 +2x+2y-14+λ（x2+y2-10）=0，可化簡(jiǎn)為（1 +λ）x2+（1 +λ）y2+ 2x+2y-14-10λ=0，所以圓心坐標(biāo)為（-1/1+λ，-1/1+λ），又圓心在直線x+2y-3=0上，所以λ= -2，所以所求圓的方程為x2+y2-2x-2y-6=0.

通過以上幾例，我們不難看出在解決直線與同等有關(guān)問題時(shí)，如果所給條件或者是所求問題含有定點(diǎn)，應(yīng)充分挖掘出定點(diǎn)，發(fā)揮定點(diǎn)在問題中的作用，就可以另辟蹊徑解決問題.這樣，在多數(shù)情況下，都可以起到少解方程少計(jì)算，甚至直接得出答案的作用.