深度審題，合理建模

王德軍

審題是數(shù)學(xué)建模過程中的一個(gè)重要環(huán)節(jié).不少同學(xué)認(rèn)為審題就是讀懂題意，看清條件，不僅如此，審好題不可停留在表面，要深挖掘，抓住關(guān)鍵詞和關(guān)鍵數(shù)據(jù)，捕捉其中的數(shù)學(xué)意義和數(shù)學(xué)模型.

案例1 如圖1，一房產(chǎn)商競(jìng)標(biāo)得一塊扇形OPQ地皮，其圓心角∠POQ=π/3，半徑為R=200 m，房產(chǎn)商欲在此地皮上修建一棟平面圖為矩形ABCD的商住樓，若矩形ABCD的一邊AB在半徑OP上，C在圓弧上，D在半徑OQ上，怎樣設(shè)計(jì)能使地皮的使用率最大？

關(guān)鍵數(shù)據(jù) ∠POQ=π/3，半徑為R=200 m.

關(guān)鍵詞1 “扇形OPQ”、“矩形ABCD”

挖掘 我們應(yīng)充分挖掘各自的幾何特征以及扇形網(wǎng)心角、半徑基本量與矩形的長(zhǎng)與寬之間的關(guān)系.

關(guān)鍵詞2 “地皮的使用率”跟什么因素有關(guān)？

挖掘 1.明確問題研究的目標(biāo)，要表示矩形面積，需要表示矩形的長(zhǎng)與寬.

2.“矩形ABCD的長(zhǎng)與寬”怎么表示？

通過將矩形的長(zhǎng)AB或?qū)払C劃歸到不同的特定平面進(jìn)行嘗試，發(fā)現(xiàn)都無法直接解決，比較發(fā)現(xiàn)，Rt△OBC中，已知斜邊為OC為200 m，求直角邊BC，還缺一個(gè)量，設(shè)什么呢，不難想到設(shè)∠COB為x，則寬BC=Rsinx.

3.矩形的長(zhǎng)AB不好直接表示，還有其他辦法嗎？

化解難點(diǎn)，通過思考，先考慮在Rt△OAD中求出OA，而OB=Rcosx，則矩形的長(zhǎng)AB=Rcos x-√3/3Rsinx.

4.矩形ABCD的面積模型特點(diǎn)是什么？如何求其最大值？

由前面的鋪墊逐步實(shí)現(xiàn)建模S=Rsinx（Rcosx-√3/3sinx）.選取恰當(dāng)?shù)姆椒▉磉\(yùn)算.既要重視模式化的審題，更要重視本質(zhì)化的審題，進(jìn)一步拓展思維、提升數(shù)學(xué)建模能力.

案例2 一厲嚴(yán)商競(jìng)標(biāo)得一塊扇形OPQ地皮，其圓心角∠POQ=π/3，半徑為R=200 m，房產(chǎn)商欲在此地皮上修建一棟平面圖為矩形的商住樓，為使得地皮的使用率最大，準(zhǔn)備了兩種設(shè)計(jì)方案如圖2，方案一：矩形ABCD的一邊AB在半徑OP上，C在圓弧上，D在半徑OQ上;方案二：矩形EFGH的頂點(diǎn)在圓弧上，頂點(diǎn)G，H分別在兩條半徑上.請(qǐng)你通過計(jì)算，為房產(chǎn)商提供決策建議.

分析 分類討論，按照方案一、二的要求進(jìn)行討論.

方案一：連結(jié)OC，設(shè)∠POC=x，y∈（0，π/3），設(shè)矩形ABCD的面積為y，則y=AB·BC，通過代人化簡(jiǎn)，由三角函數(shù)的最值確定的條件，可以得出答案;方案二：作∠POQ的平分線分別交EF，GH于點(diǎn)M，N，連結(jié)OE.設(shè)∠MOE=α，α∈（ 0，π/6），設(shè)矩形EFGH的面積為S，求出S的式子，由三角函數(shù)的性質(zhì)求出最值.最后，比較二者最大值的大小，選出最大值即可得出答案.

解 按方案一：如圖3，連結(jié)OC，設(shè)∠POC=x，x∈（0，π/3），在Rt△OBC中，BC=Rsinx，OB=Rcosx，則DA=Rsinx，在Rt△OAD中，DA/OA=tanπ/3，得OA=√3/3DA=√3/3Rsin x，則AB=OB-OA=R（cosx-√3/3sin x）.設(shè)矩形ABCD的面積為y，則y= AB·BC=R2（sin xcos x-√3/3sin2x）=[√3/3sin （2x+π/6）-√3/6]R2，由X∈（0，π/3）得π/6<2x+π/6<5π/6.

所以當(dāng)2x+π/6=π/2，即x=π/6時(shí)，ymax=-（√3/3-√3/6）R2一√3/6R2.

按方案二：如圖4作∠POQ的平分線分別交EF，GH于點(diǎn)M，N，連OE.

設(shè)∠MOE=α，α∈（0，π/6），在Rt△MOE中，ME=Rsinα， OM=Rcosα，

在Rt△ONH中，NH/ON=tanπ/6，得ON=√3NH=√3Rsinα，則MN=OMON=R（cos α-√3sin α），

設(shè)矩形EFGH的面積為S，則S=2ME·MN=2R2 sin α（COSα-√3sin α）=R2 （sin 2α +√3cos 2α-√3）=2R2 sin（ 2α+π/3-√3R2，

由α∈（0，π/6），則π/3<2α+π/3<2π/3，所以當(dāng)2α+π/3=π/2，即α=α/12時(shí)，smax=（2-√3）R2.

因?yàn)椤?/6-2+√3=7√3-12>0，即ymax>Smax.

答：給房產(chǎn)商提出決策建議：選用方案一更好.

數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)應(yīng)注重審題，看清每個(gè)關(guān)鍵信息，通過對(duì)關(guān)鍵信息的挖掘來驅(qū)動(dòng)思維深入，啟發(fā)自己思考，化解難點(diǎn)，用數(shù)學(xué)的語言準(zhǔn)確翻譯出每個(gè)關(guān)鍵信息，再由問題驅(qū)動(dòng)來建構(gòu)模型，對(duì)題意的挖掘應(yīng)注意有效性和思維性，甚至能起到拓展的功能，數(shù)學(xué)建模如果能堅(jiān)持以對(duì)關(guān)鍵信息挖掘來驅(qū)動(dòng)思維，我們的建模能力才能進(jìn)步得更快.

案例3我們可以將摩天輪、水輪、大風(fēng)車等一類問題抽象為：如圖5，點(diǎn)P自點(diǎn)P0起，繞圓周按逆時(shí)針方向進(jìn)行勻速運(yùn)動(dòng)，顯然點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)是周期運(yùn)動(dòng).

思考一 如圖5，已知在以O(shè)為圓心、A為半徑的網(wǎng)上有一點(diǎn)P，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)是什么？如何刻畫點(diǎn)P的位置？

通過思考，有必要建立直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示點(diǎn)P，或把點(diǎn)P看成從x軸正半軸旋轉(zhuǎn)得到可以用角θ來刻畫點(diǎn)P.兩種方法的關(guān)系為{x=Acosθ，y=sinθ，從而自然想到用三角函數(shù)表示圓周上動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo).

思考二 如圖5在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P從P0處逆時(shí)針方向做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，角速度為ω（ rad/s），如何確定t（s）后點(diǎn)P的位置？

通過思考活動(dòng)得到，點(diǎn)P在t（s）后轉(zhuǎn)過的角為ωt，角度θ=ωt，所以{x=Acosωt，y=sinωt，此問題能讓同學(xué)們感受到引入ω后，點(diǎn)P坐標(biāo)可以表示為t的三角函數(shù).

思考三 如圖6，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若圓上有一點(diǎn)P從P0處開始逆時(shí)針勻速圓周運(yùn)動(dòng)，角速度為ω（ rad/t），如何確定t（s）后點(diǎn)P的位置？

通過研究，點(diǎn)P起始位置不在x軸，需要引入初始角Φ，Φ是以O(shè)x為始邊、OP0為終邊的任意角，此時(shí)θ=ωt+Φ，所以{x=Acos（ωt+Φ），y=Asin（ωt+Φ），這樣就基本上掌握了用三角函數(shù)刻畫勻速圓周的點(diǎn)P位置的方法，完成三角函數(shù)建模的過程.

案例4 如圖7，半徑為4 m的水輪繞著圓心O逆時(shí)針做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)4圈，水輪圓心O距離水面2m，如果當(dāng)水輪上點(diǎn)P從離開水面的時(shí)刻（P0）開始計(jì)算時(shí)間.

（1）求點(diǎn)P距離水面的高度y（m）與時(shí)間t（s）滿足的函數(shù)關(guān)系;

（2）求點(diǎn)P第一次到達(dá)最高點(diǎn)需要的時(shí)間.

解析 （1）以O(shè)為原點(diǎn)建立如圖7所示的直角坐標(biāo)系.

由于水輪繞著圓心O做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，可設(shè)點(diǎn)P到水面的距離y（m）與時(shí)間t（s）滿足函數(shù)關(guān)系y=Asin（ωt+Φ）+2（-π/2<Φ<π/2），

因?yàn)樗喢糠昼娦D(zhuǎn)4圈，所以T=60/4

2丌

2兀= 15，ω=2π/T=2π/15

又因?yàn)樗啺霃綖?m，所以A=4.

所以t=θ+15k（k∈Z）.

故當(dāng)k=0，即t=5（s）時(shí)，點(diǎn)P第一次達(dá)到最高點(diǎn).

在數(shù)學(xué)實(shí)際應(yīng)用中建好數(shù)學(xué)模型不是終極目標(biāo)，模型求解是一個(gè)重要環(huán)節(jié)，一個(gè)問題可能其變量形式有多種設(shè)法，模型結(jié)構(gòu)也大相徑庭，隨之帶來的計(jì)算難度也有差異.我們需要通過預(yù)設(shè)，觀察模型結(jié)構(gòu)，分析比較，才能選擇適宜運(yùn)算的函數(shù)模型.另外，處理好運(yùn)算，我們還需關(guān)注單位的一致性，函數(shù)定義域的正確確定，計(jì)算方法的正確使用，運(yùn)算結(jié)果回歸實(shí)際檢驗(yàn)等都是數(shù)學(xué)解模過程中我們不可忽視的環(huán)節(jié).