導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

裴霞

導(dǎo)數(shù)是高中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，是聯(lián)系多個(gè)方面內(nèi)容并解決相關(guān)問(wèn)題的重要工具。作為分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的重要工具，其近些年來(lái)都是考試和考察的重要內(nèi)容，因此，文章將對(duì)導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)中的實(shí)際應(yīng)用進(jìn)行闡述，并指出其在高中數(shù)學(xué)中的重要性。

一、導(dǎo)數(shù)的定義

導(dǎo)數(shù)的概念

高中數(shù)學(xué)中的導(dǎo)數(shù)，既是微積分中的重要基礎(chǔ)性概念，也是函數(shù)的局部性質(zhì)。指的是當(dāng)一個(gè)函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)描述了這個(gè)函數(shù)在這一點(diǎn)的變化率，且函數(shù)的自變量和取值都是實(shí)數(shù)時(shí)，那么函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)就是該函數(shù)所代表曲線在這一點(diǎn)上地切線斜率。其本質(zhì)就是通過(guò)一種基礎(chǔ)概念對(duì)函數(shù)進(jìn)行局部的線性逼近。然而，函數(shù)又具有可導(dǎo)性和不可導(dǎo)性，及相應(yīng)的可導(dǎo)函數(shù)和不可導(dǎo)函數(shù)。對(duì)于導(dǎo)數(shù)的定義，用數(shù)學(xué)符號(hào)表達(dá)為：

2.導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的基本性質(zhì)

導(dǎo)數(shù)和函數(shù)都具有兩個(gè)相同的基本性質(zhì)，即單調(diào)性和凹凸性，導(dǎo)數(shù)和函數(shù)性質(zhì)具有一定的相關(guān)性，當(dāng)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)大于零時(shí)，函數(shù)表現(xiàn)為單調(diào)遞增，反知當(dāng)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)小于零時(shí)，函數(shù)則表現(xiàn)為單調(diào)遞減。其中有一種特殊情況就是當(dāng)?shù)箶?shù)為零即出現(xiàn)函數(shù)駐點(diǎn)的時(shí)候，我們就需要進(jìn)行檢驗(yàn)，檢驗(yàn)方法就是帶入駐點(diǎn)左右兩邊的數(shù)值求導(dǎo)數(shù)正負(fù)判斷是否具有單調(diào)性。

可導(dǎo)函數(shù)的凹凸性與導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性具有相關(guān)關(guān)系，當(dāng)函數(shù)在某一個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞增時(shí)，該函數(shù)的區(qū)間軸向呈現(xiàn)出向下凹的狀況，反之則表現(xiàn)為向上凸的形態(tài)。而曲線的凹凸分界點(diǎn)稱作為曲線的拐點(diǎn)。

3.導(dǎo)數(shù)的計(jì)算與求導(dǎo)法則

所謂導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，其實(shí)就是指對(duì)已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)進(jìn)行計(jì)算，我們可以根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，運(yùn)用變化值的極限進(jìn)行計(jì)算。復(fù)合函數(shù)對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù)等于已知函數(shù)對(duì)中間變量的導(dǎo)數(shù)乘以中間變量對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù)，也可以成為鏈?zhǔn)椒▌t。在高中數(shù)學(xué)的導(dǎo)數(shù)計(jì)算中，運(yùn)用者必須要對(duì)簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)有一個(gè)整體的掌握，才能根據(jù)導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)法則推算復(fù)雜函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)。

所謂導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)法則，是由基本函數(shù)的和、差、積或者相互復(fù)合構(gòu)成函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，通過(guò)函數(shù)的求導(dǎo)法則來(lái)對(duì)導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)法則進(jìn)行推導(dǎo)地基本法則主要有四種，其一是求導(dǎo)的線性，通過(guò)線性組合求導(dǎo)，其實(shí)就是先對(duì)其中各個(gè)部分求導(dǎo)，然后再進(jìn)行線性的組合；其二是兩個(gè)函數(shù)乘積的導(dǎo)函數(shù)，其表現(xiàn)形式為一導(dǎo)乘二加上一乘二導(dǎo)；其三是兩個(gè)函數(shù)商的導(dǎo)函數(shù)是一個(gè)分式。即子導(dǎo)乘母減去子乘母導(dǎo)后，再除以母平方；其四是當(dāng)遇到復(fù)合函數(shù)時(shí)，就需要用鏈?zhǔn)椒▌t進(jìn)行求解。

二、導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

1.導(dǎo)數(shù)在不等式證明問(wèn)題中的應(yīng)用

不等式證明作為高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)，是一門綜合性較強(qiáng)的知識(shí)點(diǎn)，對(duì)學(xué)生的解題思維能力要求極高。通常情況下在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，當(dāng)遇到運(yùn)用常規(guī)的解題方法不能解決問(wèn)題時(shí)，就會(huì)采取導(dǎo)數(shù)的思維方法，以便于問(wèn)題的解決。通過(guò)運(yùn)用導(dǎo)數(shù)概念進(jìn)行不等式問(wèn)題解析，可以有效地引導(dǎo)學(xué)生更快完成問(wèn)題內(nèi)容。將不等式與函數(shù)相互結(jié)合起來(lái)，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的相關(guān)內(nèi)容河解題模式，可以快速解決問(wèn)題。

2.導(dǎo)數(shù)在求曲線的切線方程中的應(yīng)用

在解析幾何問(wèn)題的時(shí)候，也可以運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的概念進(jìn)行問(wèn)題分析。如f′（x0）所表示的的幾何意義為曲線y= f（x）在點(diǎn)（x0，f′（x0））處的切線的斜率，因此在數(shù)學(xué)運(yùn)算中，可以據(jù)此來(lái)研究其他更多的與曲線切線相關(guān)的問(wèn)題，同時(shí)利用倒數(shù)的概念，還可進(jìn)行解析幾何中的最值問(wèn)題的處理。在導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用中，求曲線的切線方程是重要的應(yīng)用之一，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的概念進(jìn)行切線方程計(jì)算的關(guān)鍵，在于首先要求出切點(diǎn)P（x0，y0）及該曲線的斜率，其運(yùn)算過(guò)程大致為：設(shè) P（x0，y0）是曲線y=f（x）上的一點(diǎn)，則以P為切點(diǎn)的切線方程為：y-y0=f′（x0）（x-x0）。若曲線y=f（x）在點(diǎn)P（x0，f（x0））的切線平行于y軸（即導(dǎo)數(shù)不存在）時(shí)，由切線定義可知，切線方程為x=x0。對(duì)于該類型問(wèn)題的解決方法，可以先設(shè)切點(diǎn)，再求切點(diǎn)，即運(yùn)用用待定切點(diǎn)法來(lái)求解。

3.導(dǎo)數(shù)在研究方程根的分布中的應(yīng)用

在進(jìn)行方程式根的計(jì)算過(guò)程中，我們也可以引用導(dǎo)數(shù)的概念進(jìn)行方程根的研究和探討。如：設(shè)函數(shù)f（x）在（a，b）上連續(xù)，f′（x）在（a，b）上保持符號(hào)，當(dāng)f（a）f（b）<0時(shí)，則可知函數(shù)f（x）=0在（a，b）上有一個(gè)唯一的實(shí)根，反之當(dāng)f（a）f（b）>0時(shí)，則函數(shù)在 f（x）=0在（a，b）上沒(méi)有實(shí)根。

由點(diǎn)到面，上述結(jié)論可以推廣到無(wú)窮區(qū)間的應(yīng)用之中，即：我們?cè)O(shè)函數(shù) f（x）在（a，+∞）上連續(xù)，f′（x）在（a，+∞）上保持符號(hào)，當(dāng)f（a）與 limx→+∞f（x）異號(hào)時(shí)，則f（x）=0在（a，+∞）上有一個(gè)唯一的實(shí)根，而當(dāng)f（a）與 limx→+∞f（x）同號(hào)時(shí)，則f（x）=0在（a，+∞）上沒(méi)有實(shí)根，在區(qū)間（-∞，a）上，也可以得到相類似的結(jié)論。

三、導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要作用

1.有利于學(xué)生更好的理解函數(shù)形態(tài)和掌握函數(shù)思想

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，實(shí)際上有許多數(shù)學(xué)問(wèn)題都是無(wú)法或者難以通過(guò)初等數(shù)學(xué)方法進(jìn)行解決的。但是，如果引入函數(shù)思想，將這些數(shù)學(xué)問(wèn)題抽象成為數(shù)學(xué)模型并建立起相關(guān)的函數(shù)關(guān)系，充分利用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用性和工具性，這些問(wèn)題都會(huì)得到很好的解決。而在函數(shù)的學(xué)習(xí)和運(yùn)用中，學(xué)生可以通過(guò)函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性、最值以及其區(qū)間等；而通過(guò)函數(shù)二階導(dǎo)數(shù)學(xué)生還可以判斷函數(shù)的拐點(diǎn)以及凸凹區(qū)間等，然后再結(jié)合極限的思想，便可以很容易的找出其垂直漸近線和水平漸近線，然后就可以較為準(zhǔn)確的畫出函數(shù)的圖像。

2.有利于學(xué)生學(xué)習(xí)其他自然學(xué)科

數(shù)學(xué)作為一門基礎(chǔ)性學(xué)科，具有基礎(chǔ)性和工具性，其與高中物理、化學(xué)等自然學(xué)科有著密切的聯(lián)系。前文講導(dǎo)數(shù)實(shí)際上是微積分中的重要概念，其研究的基本對(duì)象是函數(shù)，以函數(shù)的極限為基礎(chǔ)，主要涉及變量的“變化率”問(wèn)題，并被廣泛運(yùn)用在化學(xué)、物理、天文、工程等其他學(xué)科領(lǐng)域。

3.有利于發(fā)展學(xué)生的思維能力

通過(guò)導(dǎo)數(shù)的學(xué)習(xí)，學(xué)生可以擯棄以往靜態(tài)、有限的常量數(shù)學(xué)觀點(diǎn)，采取變化的動(dòng)態(tài)的以及無(wú)限的變量數(shù)學(xué)觀點(diǎn)來(lái)研究問(wèn)題、認(rèn)識(shí)世界。從而在學(xué)習(xí)的過(guò)程中逐步理解有限與無(wú)限、近似與準(zhǔn)確、常量與變量等對(duì)立與統(tǒng)一觀念，起到發(fā)展學(xué)生的辯證思維能力的作用。

四、結(jié)語(yǔ)

函數(shù)的應(yīng)用涉及范圍實(shí)際上非常廣泛，本文僅是列舉一二。 在實(shí)際的數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們要強(qiáng)調(diào)導(dǎo)數(shù)的重要性，不斷強(qiáng)化學(xué)生運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的意識(shí)，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升，為其他自然學(xué)科的學(xué)習(xí)打下良好的基礎(chǔ)。

參考資料：

[1]陳禹.淺析導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)中的地位與應(yīng)用[J].課程教育研究，2017（46）：125.

[2]周海鋒.高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)教學(xué)的再思考[J].教師，2015（32）：43.