證明題在數(shù)學(xué)思維能力培養(yǎng)中的案例

張曉妍

有學(xué)生反映，特別是女生說數(shù)學(xué)證明題對她們來說就像老虎吃天，沒處下爪，拿到題不知道已知有什么用，學(xué)到的定理等不知道用哪個，怎么用，怎么思考，結(jié)論又如何而來。下面我以八年級數(shù)學(xué)探索平行線的條件一節(jié)中，探索內(nèi)錯角相等，兩直線平行為例說一下我是怎么培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的。

已知：如圖，∠1和∠2是直線a，b 被直線c截出的內(nèi)錯角，且∠1=∠2.那么a與b的位置關(guān)系是什么？為什么？

師：請大家認(rèn)真讀題，結(jié)合圖形，找出已知。

生：∠1和∠2是直線a，b 被直線 c 截出的內(nèi)錯角，且∠1=∠2.

師：未知什么？

生：a與b的位置關(guān)系。

師：同一平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系有什么？

生：平行或相交。

師：結(jié)合圖形和已知，你猜想a與b平行還是相交？

生：平行。

學(xué)生張：平行。因為從圖形能直觀看出來應(yīng)該是平行。

學(xué)生陳：平行。因為我們今天探究的是平行的條件，我猜應(yīng)該是平行。

（同學(xué)們不由得笑了，渴望的眼睛望向我）

師：同學(xué)們信服嗎？

生：只猜測不行，我們還應(yīng)該推理證明。

師：對！我們應(yīng)該用理論驗證一下這兩位同學(xué)的猜測，在我們所學(xué)過的知識中，有什么理論依據(jù)可以說明兩條直線平行？

學(xué)生王：平行于同一條直線的兩直線平行。

師：正確。平行于同一條直線的兩直線平行，但此題你看圖，你覺得得這一理論用到這兒合適嗎？

生：不合適。直線a和b與直線c都是相交，不是平行的關(guān)系，不能用這一理論。

師：不是所有證明平行的理論都能用，應(yīng)適當(dāng)選取判定兩直線平行的方法進(jìn)行。

師：那兩直線平行的條件還有什么？

生：兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行。

師：那只要在圖中找出什么？

生：相等的一對同位角。

師：圖中有同位角嗎？

生：∠2和∠3是直線a，b 被直線 c 截出的同位角。

生：那只要∠2和∠3相等就能得到a平行于b。

師：現(xiàn)在目標(biāo)明確，證∠2=∠3.它們相等嗎？

生：已知中沒有說相等。

師：怎樣能推出∠2和∠3相等？看已知。

（學(xué)生思考）

生：∠1=∠2.

師：圖中還能挖掘出條件嗎？

生：∠1=∠3（對頂角相等）.

師：∠1=∠2. ∠1=∠3.又能得到什么？

生：∠1=∠2. ∠1=∠3，則∠2=∠3 （等量代換）.

師：∠2=∠3 它又是一對同位角，又能推出什么？

生：a∥b（同位角相等，兩直線平行）.

師：請大家捋順一下思路，從已知出發(fā)，推理證明出結(jié)論。

師：哪位同學(xué)說一下證明過程？注意推理過程的嚴(yán)謹(jǐn)。

（一學(xué)生說出，其余聽）

證明：∵ ∠1=∠2（已知），

∠1=∠3（對頂角相等）.

∴∠3=∠2 （等量代換）.

∴ a∥b（同位角相等，兩直線平行）.

師：哪位同學(xué)能用語言敘述一下這個結(jié)論？

（學(xué)生敘述）

定理：兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯角相等，那么這兩條直線平行。

簡單說成：內(nèi)錯角相等，兩直線平行。

在這個探究過程中，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過平行于同一條直線的兩直線平行和同位角相等，兩直線平行這兩個平行的條件，讓學(xué)生在已有知識的基礎(chǔ)上解決這一問題，經(jīng)歷“觀察——猜想——證明”的過程，并學(xué)會這一數(shù)學(xué)思想方法。在探究中，充分發(fā)揮老師的主導(dǎo)作用和學(xué)生的主體作用，整個過程我設(shè)計成問題串的形式，老師問學(xué)生答，在老師循序漸進(jìn)一步一步的設(shè)問下，引導(dǎo)學(xué)生找出已知、未知，知道題中的條件什么可以利用，探究的方向是什么，再結(jié)合圖形猜想出結(jié)論，體會猜想的不縝密，對猜想再進(jìn)行推理驗證。推理中，學(xué)生嘗試用平行于同一條直線的兩直線平行這一依據(jù)，老師讓學(xué)生把這一依據(jù)放在題中再判斷合理不合理，啟發(fā)學(xué)生思考，學(xué)生馬上推翻這一依據(jù)。排除這一方法，后又另辟蹊徑想用同位角相等，兩直線平行這一依據(jù)，通過分析題意和嘗試，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，能靈活地選用判定直線平行的方法進(jìn)行說理。我就追問利用這一依據(jù)，關(guān)鍵找出什么，學(xué)生說一對相等的同位角，目標(biāo)明確后，引導(dǎo)學(xué)生看圖挖掘出一對對頂角相等，再看已知，結(jié)合已知根據(jù)等量代換得到同位角相等，再利用同位角相等，兩直線平行這個判定兩直線平行條件。整個過程在老師的提問啟發(fā)下，學(xué)生一步一步推出，驗證探索直線平行的條件的過程，經(jīng)歷觀察、操作、想象、推理、交流等活動，進(jìn)一步發(fā)展空間觀念、邏輯推理能力和有條理的表達(dá)能力，理解并學(xué)會執(zhí)因?qū)Ч蛨?zhí)果索因的思考方法。在小組合作學(xué)習(xí)中，鼓勵學(xué)生積極參與，交流互動，培養(yǎng)學(xué)生的合作意識和團(tuán)隊精神，并感受學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣，激發(fā)學(xué)習(xí)的積極性。

總之通過這一例題讓學(xué)生學(xué)會在證明題中怎么審題，怎么看圖挖掘條件，怎么對待已知未知，學(xué)會執(zhí)因?qū)Ч蛨?zhí)果索因的思維方法，學(xué)會怎么邏輯推理，真正提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。